Kompletny zestaw obserwabli dojazdowych

W mechanice kwantowej kompletny zestaw obserwabli dojeżdżających (CSCO) to zbiór operatorów dojeżdżających , których wspólne wektory własne można wykorzystać jako podstawę do wyrażenia dowolnego stanu kwantowego . W przypadku operatorów z widmami dyskretnymi CSCO to zbiór dojeżdżających obserwabli, których jednoczesne przestrzenie własne obejmują przestrzeń Hilberta, tak że wektory własne są jednoznacznie określone przez odpowiednie zestawy wartości własnych.

Ponieważ każda para obserwowalnych w zestawie dojeżdża do pracy, wszystkie obserwowalne są kompatybilne, więc pomiar jednego obserwowalnego nie ma wpływu na wynik pomiaru innego obserwowalnego w zbiorze. Nie jest zatem konieczne określanie kolejności, w jakiej mierzone są różne obserwable. Pomiar kompletnego zbioru obserwowalnych jest pomiarem kompletnym w tym sensie, że rzutuje stan kwantowy układu na unikalny i znany wektor w bazie zdefiniowanej przez zbiór operatorów. Oznacza to, że aby przygotować całkowicie określony stan, musimy arbitralnie przyjąć dowolny stan, a następnie wykonać serię pomiarów odpowiadających wszystkim obserwabliom w zbiorze, aż stanie się on jednoznacznie określonym wektorem w przestrzeni Hilberta ( do fazy ).

Twierdzenie o zgodności

Rozważmy dwa obserwowalne, i ${\ Displaystyle$ $B}$ , reprezentowane przez operatory i ${\ Displaystyle {\ kapelusz {A}}}$ ZA $\ Displaystyle {\ kapelusz {B}}}$ . Wtedy następujące stwierdzenia są równoważne:

${\ displaystyle A}$ i ${\ displaystyle B}$ są kompatybilnymi obserwowalnymi.
${\ Displaystyle {\ kapelusz {A}}}$ $i$ wspólną własną.
Operatory $dojeżdżają$ ${\ Displaystyle [{\ kapelusz {A}}, {\ kapelusz {B}}] = {\ kapelusz {A}} {\ kapelusz {B}} - {\ kapelusz {B}} {\ kapelusz {A} }=0}$ pracy $,$ co że .

Dowody

Dowód, że wspólna podstawa własna implikuje komutację

Niech ${\ Displaystyle \ {|\ psi _ {n} \ rangle \}}$ być zbiorem stanów ortonormalnych (tj. ${\ Displaystyle \ langle \ psi _ {m}|\psi _ {n}\rangle =\delta _{m,n}^{\,}} ), które tworzą$ kompletną podstawę własną dla każdego z dwóch zgodnych obserwowalnych i ${\ Displaystyle A}$ i $}$ ${\ displaystyle$ $Displaystyle {\ kapelusz {B}}}$ reprezentowane przez operatory samosprzężone i $\$ z odpowiednimi (o wartościach rzeczywistych) wartościami $\ displaystyle \ {a_ {n} \}}$ ${$ odpowiednio i ${\ displaystyle \ {b_ {n} \}} .$ To daje do zrozumienia ze

{\ Displaystyle {\ kapelusz {A}} {\ kapelusz {B}} | \ psi _ {n} \ rangle = {\ kapelusz {A}} b_ {n} | \ psi _ {n} \ rangle =a_{n}b_{n}|\psi _{n}\rangle =b_{n}a_{n}|\psi _{n}\rangle ={\kapelusz {B}}{\kapelusz {A }}|\psi _{n}\rangle ,}

dla każdego wzajemnego stanu własnego ${\ Displaystyle | \ psi _ {n} \ rangle}$ . Ponieważ baza własna jest kompletna, możemy rozszerzyć dowolny stan ${\ Displaystyle | \ Psi \ rangle}$ według

{\ Displaystyle |\ Psi \ rangle = \ suma _ {n} c_ {n} | \ psi _ {n} \ rangle,}

gdzie ${\ Displaystyle c_ {n} = \ langle \ psi _ {n} | \ psi \ rangle}$ . Powyższe wyniki na to wskazują

{\ Displaystyle ({\ kapelusz {A}} {\ kapelusz {B}} - {\ kapelusz {B}} {\ kapelusz {A}}) | \ psi \ rangle = \ suma _ {n }c_{n}({\kapelusz {A}}{\kapelusz {B}}-{\kapelusz {B}}{\kapelusz {A}})|\psi _{n}\rangle =0,}

dla dowolnego stanu ${\ Displaystyle | \ Psi \ rangle}$ . Zatem ${\ Displaystyle {\ kapelusz {A}} {\ kapelusz {B}} - {\ kapelusz {B}} {\ kapelusz {A }}=[{\hat {A}},{\hat {B}}]=0}$ , co oznacza, że dwaj operatorzy dojeżdżają do pracy.

Dowód, że obserwable dojeżdżające do pracy posiadają pełny zestaw wspólnych funkcji własnych

${\ displaystyle A}$ Gdy ma niezdegenerowane wartości własne:

Niech ${\ Displaystyle \ {|\ psi _ {n} \ rangle \}}$ być kompletnym zestawem ortonormalnych zestawów własnych operatora samosprzężonego ${\ Displaystyle A}$ odpowiadającym zbiorowi wartości własnych { \ Displaystyle A ${\ Displaystyle \ {a_ {n} \}}$ . Jeśli $ZA$ samosprzężone i dojeżdżają do pracy, możemy napisać $\ displaystyle A}$

{\ Displaystyle A (B | \ psi _ {n} \ rangle) = BA | \ psi _ {n} \ rangle = a_ {n} (B | \ psi _{n}\szereg )}

Więc jeśli ${\ Displaystyle B | \ psi _ {n} \ rangle \ neq 0}$ możemy powiedzieć, że $_ {n} \ rangle}$ $displaystyle$ $a_ {n}}$ eigenketem odpowiadającym wartości własnej za . Ponieważ zarówno ${\ Displaystyle B | \ psi _ {n} \ rangle}$ i ${\ Displaystyle |\ psi _ {n} \ rangle}$ są zestawami własnymi związanymi z tą samą niezdegenerowaną wartością własną ${\ displaystyle a_ {n}} .$ mogą różnić się co najwyżej o stałą multiplikatywną za Nazywamy tę stałą ${\ displaystyle b_ {n}}$ . Więc,

{\ Displaystyle B | \ psi _ {n} \ rangle = b_ {n} | \ psi _ {n} \ rangle}

,

co oznacza ${\ Displaystyle |\ psi _ {n} \ rangle}$ jest eigenketem własnym ${\ Displaystyle B}$ , a zatem jednocześnie ZA ${\ Displaystyle A}$ B $\ Displaystyle B}$ . W przypadku ${\ Displaystyle B | \ psi _ {n} \ rangle = 0}$ niezerowy wektor ${\ Displaystyle |\ psi _ {n} \ rangle}$ jest zestawem własnym ${\ Displaystyle B}$ z wartością własną ${\ Displaystyle b_ {n} = 0}$ .

${\ displaystyle A}$ Gdy ma zdegenerowane wartości własne:

Załóżmy $,$ jest $zdegenerowany$ . Niech odpowiednie ortonormalne eigenkety będą ${\ Displaystyle | \ psi _ {nr} \ rangle, r \ w \ {1,2, \ kropki, g \}}$ . Ponieważ ${\ Displaystyle [A, B] = 0}$ , rozumujemy jak powyżej, aby stwierdzić, że $_ {nr} \ rangle}$ ${$ jest eigenketem odpowiadającym zdegenerowanej wartości własnej $\ displaystyle a_ {n}}$ . Możemy więc rozwinąć ${\ Displaystyle B | \ psi _ {nr} \ rangle}$ ${\ Displaystyle a_ {n}}$ podstawie zdegenerowanych zestawów własnych za :

{\ Displaystyle B | \ psi _ {nr} \ rangle = \ suma _ {s = 1} ^ {g} c_ {rs} | \ psi _ {ns} \ rangle}

do ${rs}}$ to współczynniki rozszerzalności. Współczynniki ${\ displaystyle c_ {rs}}$ tworzą samosprzężoną macierz, ponieważ ${\ Displaystyle \ langle \ psi _ {ns} | B | \ psi _ {nr} \ rangle = c_ {rs}}$ . Następnym krokiem byłoby przekątowanie macierzy ${\ displaystyle c_ {rs}}$ . Aby to zrobić, sumujemy wszystkie ze stałymi $displaystyle$ \ $g}$ ${\ displaystyle d_ {r}}$ Więc,

{\ Displaystyle B \ suma _ {r = 1} ^ {g} d_ {r} | \ psi _ {nr} \ rangle = \ suma _ {r = 1} ^ {g} \ suma _ { s=1}^{g}d_{r}c_{rs}|\psi _{ns}\rangle }

Zatem ${\ Displaystyle \ suma _ {r = 1} ^ {g} d_ {r} | \ psi _ {nr} \ rangle} będzie zestawem własnym$ B $\ Displaystyle B}$ z wartością własną $b_{n}$ jeśli mamy

{\ Displaystyle \ suma _ {r = 1} ^ {g} d_ {r} c_ {rs} = b_ {n} d_ {s}, s = 1,2, ... g}

$d_ {r}}$ układ równań liniowych dla stałych $displaystyle$ . Rozwiązanie nietrywialne istnieje, jeśli

{\ Displaystyle \ det [c_ {rs} -b_ {n} \ delta _ {rs}] = 0}

Jest to równanie rzędu $w$ ma $displaystyle$ . sol ${$ } Dla każdego pierwiastka ${\ Displaystyle b_ {n} = b_ {n} ^ {(k)}, k = 1,2, ... g} mamy nietrywialne$ rozwiązanie, powiedzmy ${\ displaystyle d_ {r}}$ re $} ^ {(k)}}$ r Ze względu na samosprzężenie $wszystkie rozwiązania$ liniowo niezależne Dlatego tworzą nową podstawę

{\ Displaystyle |\ phi _ {n} ^ {(k)} \ rangle = \ suma _ {r = 1} ^ {g} d_ {r} ^ {(k)} | \ psi _ { nr}\zakres }

${\ Displaystyle |\ phi _ {n} ^ {(k)} \ rangle}$ jest jednocześnie eigenketem własnym ${\ Displaystyle A}$ i ${\ Displaystyle B}$ z wartościami własnymi ${\ Displaystyle a_ {n}}$ i ${\ Displaystyle b_ {n} ^ {(k)}}$ odpowiednio.

Dyskusja

Rozważamy dwie powyższe obserwable i $}$ $\ displaystyle B$ . Załóżmy, że istnieje kompletny zestaw ketów ${\ Displaystyle \ {|\ psi _ {n} \ rangle \}}$ którego każdy element jest jednocześnie zestawem własnym ZA $\ Displaystyle A}$ i ${\ Displaystyle B}$ . $kompatybilne$ mówimy $,$ i są . _ ${\ Displaystyle |\ psi _ {n} \ rangle}$ $oznaczymy$ wartości i $|$ _ odpowiednio przez ${\ Displaystyle a_ {n}}$ i ${\ Displaystyle b_ {n}}$ , możemy napisać

{\ Displaystyle A | \ psi _ {n} \ rangle = a_ {n} | \ psi _ {n} \ rangle}

{\ Displaystyle B | \ psi _ {n} \ rangle = b_ {n} | \ psi _ {n} \ rangle}

Jeśli system znajduje się w jednym ze stanów własnych, powiedzmy ${\ Displaystyle |\ psi _ {n} \ rangle}$ , wtedy zarówno można mierzyć jednocześnie z dowolnym poziomem precyzji, a ${\ displaystyle a_ {n}}$ otrzymamy ${\ displaystyle A}$ i ${\ displaystyle B}$ odpowiednio i ${\ displaystyle b_ {n}} .$ Pomysł ten można rozszerzyć na więcej niż dwa obserwabli.

Przykłady zgodnych obserwabli

Składowe kartezjańskie operatora pozycji to $}$ $y}$ , $displaystyle$ i ${\ displaystyle z}$ . Wszystkie te komponenty są kompatybilne. Podobnie, składowe kartezjańskie operatora pędu $,$ czyli , p $\ displaystyle p_ {y}$ $}$ p ${z}}$ $\$ są również zgodne.

Definicja formalna

Zbiór obserwabli ${\ displaystyle A, B, C...}$ nazywa się CSCO, jeśli:

Wszystkie obserwable dojeżdżają parami.
Jeśli określimy wartości własne wszystkich operatorów w CSCO, zidentyfikujemy unikalny wektor własny (do fazy) w przestrzeni Hilberta systemu.

Jeśli mamy CSCO, możemy wybrać bazę dla przestrzeni stanów złożoną ze wspólnych wektorów własnych odpowiednich operatorów. Możemy jednoznacznie zidentyfikować każdy wektor własny (aż do fazy) na podstawie zestawu wartości własnych, którym odpowiada.

Dyskusja

Miejmy operatora $,$ który ma wszystkie niezdegenerowane wartości własne $} }$ $\ Displaystyle \ {a_$ . W rezultacie istnieje jeden unikalny stan własny odpowiadający każdej wartości własnej, co pozwala nam oznaczyć je odpowiednimi wartościami własnymi. $Na$ przykład stan $jako$ odpowiadający ${\ Displaystyle | a_ {n} \ rangle}$ oznaczyć . Taki obserwowalny sam w sobie jest samowystarczalnym CSCO.

Jeśli jednak niektóre wartości własne $)$ ( na przykład zdegenerowane poziomy energii , to powyższy wynik już nie obowiązuje. W takim przypadku musimy rozróżnić funkcje własne odpowiadające tej samej wartości własnej. Aby to zrobić, wprowadza się drugi obserwowalny (nazwijmy go ), który jest zgodny z $}$ $\ displaystyle A$ . Twierdzenie $o zgodności mówi$ $, że$ można znaleźć własnych i . Teraz, jeśli $utworzyliśmy$ para wartości własnych $B \}}$ stanu tej podstawy, twierdzimy, . Degeneracja w $całkowicie$ .

Może się jednak zdarzyć, że degeneracja nie zostanie całkowicie zniesiona. $nie$ istnieje co najmniej jedna para, identyfikuje jednoznacznie $\ displaystyle$ dodając kolejną obserwowalną , która jest kompatybilna zarówno z $A}$ , $iz$ . Jeśli podstawa wspólnych funkcji własnych , ${\ Displaystyle {\ kapelusz {B}}}$ $i$ do $}}$ jest wyjątkowa , to znaczy jednoznacznie określony ${\ Displaystyle (a_ {n}, b_ {$ zbiór wartości własnych wtedy utworzyliśmy CSCO: ${\ Displaystyle \ {A, B, C \}}$ . Jeśli nie, dodajemy jeszcze jedną zgodną obserwowalną i kontynuujemy proces, aż do uzyskania CSCO.

Ta sama przestrzeń wektorowa może mieć różne kompletne zestawy operatorów komutujących.

Załóżmy, że mamy skończoną CSCO ${\ Displaystyle \ {A, B, C, ..., \}}$ . Wtedy możemy rozwinąć dowolny ogólny stan w przestrzeni Hilberta jako

{\ Displaystyle | \ psi \ rangle = \ suma _ {i, j, k, ...} {\ mathcal {C}} _ ​​{i, j, k,...} | a_ {i}, b_ {j},c_{k},...\rangle }

gdzie ${\ Displaystyle | a_ {i}, b_ {j}, c_ {k}, ... \ rangle}$ są zestawami własnymi operatorów ${\ Displaystyle {\ hat {A}} ,{\hat {B}},{\hat {C}}}$ i tworzą przestrzeń bazową. To jest,

{\ Displaystyle {\ kapelusz {A}} | a_ {i}, b_ {j}, c_ {k}, ... \ rangle = a_ {i} | a_ {i}, b_ {j}, c_ { k},...\rangle }

itd

Jeśli mierzymy ${\ Displaystyle A, B, C,...}$ w stanie ${\ Displaystyle | \ psi \ rangle}$ to prawdopodobieństwo, że jednocześnie mierzymy ${\ Displaystyle a_ {i}, b_ {j}, c_ {k},...}$ jest podane przez ${\ Displaystyle | {\ mathcal {C}} _ {i, j, k,...} | ^ {2}}$ .

Dla kompletnego zestawu operatorów komutujących możemy znaleźć transformację jednostkową, która jednocześnie diagonalizuje je wszystkie.

Przykłady

Atom wodoru bez spinu elektronu lub protonu

Dwie składowe operatora momentu pędu nie dojeżdżają do pracy, ale spełniają relacje komutacji: ${\ displaystyle \ mathbf {L}}$

{\ Displaystyle [L_ {i}, L_ {j}] = i \ hbar \ epsilon _ {ijk} L_ {k}}

Tak więc żaden CSCO nie może obejmować więcej niż jednego składnika ${\ displaystyle \ mathbf {L}}$ . Można pokazać, że kwadrat operatora momentu pędu , dojeżdża z $^ {2}}$ $displaystyle$ .

{\ Displaystyle [L_ {x}, L ^ {2}] = 0, [L_ {y}, L^{2}]=0,[L_{z},L^{2}]=0}

H ${\ Displaystyle {\ kapelusz {H}} = - {\ Frac {\ hbar ^ {2}} {2 \ mu}}$ nabla ^ $r$ jest funkcją tylko i ma niezmienniczość obrotową, gdzie jest zmniejszoną masą ${\ displaystyle \ mu}$ system. Ponieważ składniki są generatorami rotacji, można to pokazać ${\ displaystyle \ mathbf {L}}$

{\ Displaystyle [\ mathbf {L}, H] = 0, [L ^ {2}, H] = 0}

Dlatego zestaw dojazdów składa się z jednego składnika (który jest $}$ za $) i$ ${2}$ ${\ displaystyle H.}$ . Rozwiązanie $,$ spin elektronów Niech ${\ Displaystyle | E_ {n}, l, m \ rangle}$ być dowolnym stanem bazowym w przestrzeni Hilberta atomu wodoru. Następnie

{\ Displaystyle H | E_ {n}, l, m \ rangle = E_ {n} | E_ {n}, l, m \ rangle}

{\ Displaystyle L ^ {2} | E_ {n}, l, m \ rangle = l (l + 1) \ hbar ^ {2} | E_ {n}, l, m \ rangle }

{\ Displaystyle L_ {z} | E_ {n}, l, m \ rangle = m \ hbar | E_ {n}, l, m \ rangle}

$,m\}}$ zbiór wartości własnych , $, m }$ $\$ całkowicie określa unikalny stan własny atomu wodoru.

Wolna cząsteczka

W $_$ cząstki hamiltonian _ Tłumaczenie dojeżdża z hamiltonianem: ${\ Displaystyle [H, \ mathbf {\ kapelusz {T}}] = 0}$ . Jeśli jednak wyrazimy $ma$ na podstawie operatora translacji, przekonamy się, że podwójnie zdegenerowane wartości własne. Można pokazać, że aby w tym przypadku utworzyć CSCO, potrzebujemy innego operatora zwanego operatorem $}$ , takiego , że ${\ Displaystyle [H, \ Pi ] = 0$ . ${\ Displaystyle \ {H, \ Pi \}}$ tworzy CSCO.

Ponownie niech ${\ Displaystyle | k \ rangle}$ i ${\ Displaystyle | -k \ rangle}$ być zdegenerowanymi stanami własnymi odpowiadającymi wartości własnej $Displaystyle$ $H_ {k} = {\ Frac {{\$ , tj

{\ Displaystyle H | k \ rangle = {\ Frac {{\ hbar ^ {2}} {k ^ {2}}} {2m}} | k \ rangle}

{\ Displaystyle H | -k \ rangle = {\ Frac {{\ hbar ^ {2}} {k ^ {2}}} {2m}} | -k \ rangle}

Degeneracja w $p$ usuwana przez operatora pędu $\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {p}}}$ .

{\ Displaystyle \ mathbf {\ kapelusz {p}} | k \ rangle = k | k \ rangle}

{\ Displaystyle \ mathbf {\ kapelusz {p}} | -k \ rangle = -k | -k \ rangle}

Więc ${\ Displaystyle \ {\ mathbf {\ kapelusz {p}}, H \}}$ tworzy CSCO.

Dodanie momentu pędu

Rozważamy przypadek dwóch układów, 1 i 2, $i$ operatorami $pędu$ i Możemy zapisać stany własne i ${\ Displaystyle J_$ $}$ ^ ${\ Displaystyle | j_ {1} m_ {1} \ rangle}$ i ${\ Displaystyle J_ {2} ^ {2}}$ i ${\ Displaystyle J_ {2z}}$ jak ${\ Displaystyle | j_ {2} m_ {2} \ rangle}$ .

{\ Displaystyle J_ {1} ^ {2} | j_ {1} m_ {1} \ rangle = j_ {1} (j_ {1} + 1) \ hbar ^ {2} | j_ {1 }m_{1}\rangle }

{\ Displaystyle J_ {1z} | j_ {1} m_ {1} \ rangle = m_ {1} \ hbar | j_ {1} m_ {1} \ rangle}

{\ Displaystyle J_ {2} ^ {2} | j_ {2} m_ {2} \ rangle = j_ {2} (j_ {2} + 1) \ hbar ^ {2} | j_ {2 }m_{2}\rangle }

{\ Displaystyle J_ {2z} | j_ {2} m_ {2} \ rangle = m_ {2} \ hbar | j_ {2} m_ {2} \ rangle}

Wtedy stany bazowe całego systemu to ${\ Displaystyle | j_ {1} m_ {1}; j_ {2} m_ {2} \ rangle}$ podane przez

{\ Displaystyle | j_ {1} m_ {1}; j_ {2} m_ {2} \ rangle = | j_ {1} m_ {1} \ rangle \ czasami | j_ {2} m_ {2 }\zakres }

Dlatego dla całego systemu zbiór wartości własnych jest następujący: ${\ Displaystyle \ {j_ {1}, m_ {1}, j_ {2}, m_ {2} \} }$ całkowicie określa unikalny stan bazowy i ${\ Displaystyle \ {J_ {1} ^ {2}, J_ {1z}, J_ {2} ^ {2},J_{2z}\}}$ tworzy CSCO. Równoważnie istnieje inny zestaw stanów bazowych dla systemu, pod względem operatora całkowitego momentu pędu ${\ Displaystyle \ mathbf {J} = \ mathbf {J_ {1}} + \ mathbf {J_ {2}} }$ . Wartości własne to $jot$ ${\ Displaystyle j (j + 1) \ hbar ^ {2}}$ gdzie jot 2 $Displaystyle j}$ ${\ Displaystyle j_ {1} + j_ {2}, j_ {1} + j_ {2} -1, ..., | j_ {1} -j_ {2} |}$ i $z}}$ ${\ Displaystyle$ ${\ Displaystyle m = -j, -j + 1, ... j-1, j}$ są $gdzie$ = . Stany bazowe operatorów i ${ \ Displaystyle J_$ $z}$ { ${\ Displaystyle | j_ {1} j_ {2}; jm \ rangle}$ . W ten sposób możemy również określić unikalny stan bazowy w przestrzeni Hilberta całego systemu przez zbiór wartości własnych ${\ Displaystyle \ {j_ {1}, j_ {2}, j, m \}}$ , a odpowiedni CSCO to ${\ Displaystyle \ {J_ {1} ^ {2}, J_ {2} ^ {2}, J ^ {2},J_{z}\}}$ .

Zobacz też

Gasiorowicz, Stephen (1974), Fizyka kwantowa , Nowy Jork: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-29281-4 .
Cohen-Tannoudji, Claude ; Diu, Bernard; Laloë, Franck (1977). Mechanika kwantowa . Tom. 1. Nowy Jork: Wiley. ISBN 978-0-471-16433-3 . OCLC 2089460 .
Cohen-Tannoudji, Claude ; Diu, Bernard; Laloë, Franck (1977). Mechanika kwantowa . Tom. 2. Nowy Jork: Wiley. ISBN 978-0-471-16435-7 . OCLC 45727993 .
Dirac, PAM (1958). Zasady mechaniki kwantowej . Oksford: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-851208-0 . OCLC 534829 .
RP Feynman, RB Leighton i M. Sands: Wykłady Feynmana z fizyki , Addison-Wesley, 1965
R Shankar, Zasady mechaniki kwantowej , wydanie drugie, Springer (1994).
JJ Sakurai, Modern Quantum Mechanics , wydanie poprawione, Pearson (1994).
BH Bransden i CJ Joachain, Quantum Mechanics , wydanie drugie, Pearson Education Limited, 2000.
Do dyskusji na temat twierdzenia o zgodności, notatki z wykładów Szkoły Fizyki i Astronomii Uniwersytetu w Edynburgu. http://www2.ph.ed.ac.uk/~ldeldebb/docs/QM/lect2.pdf .
Slajd na CSCO w notatkach z wykładów prof. S Gupta, Tata Institute of Fundamental Research, Mumbai. http://theory.tifr.res.in/~sgupta/courses/qm2013/hand3.pdf
Sekcja dotycząca cząstek swobodnych w notatkach z wykładów prof. S Gupty z Tata Institute of Fundamental Research, Mumbai. http://theory.tifr.res.in/~sgupta/courses/qm2013/hand6.pdf