Dobra liczba kwantowa

W mechanice kwantowej , $podanymi$ pod uwagę konkretny hamiltonian i operator ${\ Displaystyle O | q_ {j} \ rangle = q_ {j} | q_ {j} \ rangle}$ odpowiednimi wartościami własnymi i wektorami własnymi $przez$ , mówi się, że są to dobre liczby kwantowe ${\ Displaystyle q_ {j}}$ jeśli każdy wektor własny ${\ Displaystyle | q_ {j} \ rangle}$$pozostaje$ własnym z tą samą wartością własną w miarę upływu czasu.

Innymi słowy, wartości własne $liczbami$$jest$ kwantowymi, jeśli odpowiedni operator ruchu. Dobre liczby kwantowe są często używane do oznaczania stanów początkowych i końcowych w eksperymentach. Na przykład w zderzaczach cząstek:

1. Cząstki są wstępnie przygotowywane w przybliżonych stanach własnych pędu; pęd cząstki jest dobrą liczbą kwantową dla cząstek nieoddziałujących.

2. Cząsteczki zderzają się. W tym momencie pęd każdej cząstki ulega zmianie, a zatem pędy cząstek nie są dobrą liczbą kwantową dla oddziałujących cząstek podczas zderzenia.

3. Znaczny czas po zderzeniu cząstki są mierzone w stanach własnych pędu. Pęd każdej cząstki ustabilizował się i jeszcze długo po zderzeniu jest dobrą liczbą kwantową.

Twierdzenie : Warunkiem koniecznym i wystarczającym, aby $był$$.$ , jest to, $że$ pracy hamiltonianem

Poniżej podano dowód tego twierdzenia. Zauważ, że twierdzenie obowiązuje nawet wtedy, gdy widmo jest ciągłe; dowód jest w tym przypadku nieco trudniejszy (ale nie bardziej pouczający).

Dowód na widmo dyskretne

Będziemy pracować w obrazie Heisenberga. Niech będzie operatorem hermitowskim i niech $będzie$$kompletną$ , ortonormalną bazą stanów własnych o wartościach własnych $j}}$ . Jednostkowy operator translacji czasu to ${\ textstyle U (t) = e ^ {-iHt/\ hbar}}$ i ${\ textstyle O (t) = U (t) ^ {\ sztylet} OU (t)}$ tak, że ${\ Displaystyle {\ kropka {O}} (t) = i / \ hbar [H, O (t)]}$ . Główną obserwacją za dowodem jest

${\ Displaystyle {\ Frac {d} {dt}} q_ {j} (t) = (i / \ hbar) \ langle \ psi _ {j} | [H, O (t)] | \ psi _{j}\szereg }$

Jeśli $dojeżdża$$,$ to prawa strona znika i otrzymujemy, że są to liczby kwantowe Jeśli jednak założymy, że $są to$$dobre$ to lewa strona znika dla ; ponieważ są kompletne, oznacza to, że ${\ Displaystyle \ psi _ {j}}$${\ displaystyle [H, O] = 0}$ , co ustanawia równoważność.

Twierdzenie Ehrenfesta i dobre liczby kwantowe

Twierdzenie Ehrenfest podaje szybkość zmian wartości oczekiwanej operatorów. Brzmi następująco:

${\ Displaystyle {\ Frac {d} {dt}} \ langle A ( t)\rangle =\left\langle {\frac {\częściowe A(t)}{\częściowe t}}\right\rangle +{\frac {1}{i\hbar }}\langle [A(t) ,H]\zakres }$

Powszechnie występujące operatory nie zależą jawnie od czasu. Jeśli takie operatory dojeżdżają z hamiltonianem , to ich wartość oczekiwana pozostaje stała w czasie. $Teraz$ , jeśli system znajduje się w jednym ze wspólnych własnych $operatora$ ( i też), to system pozostaje w tym stanie własnym w miarę upływu czasu Każdy pomiar ilości ${\ displaystyle A}$ da nam wartość własną (lub dobrą liczbę kwantową) związaną ze stanami własnymi, w których znajduje się cząstka. W rzeczywistości jest to stwierdzenie zachowania w mechanice kwantowej i zostanie omówione bardziej szczegółowo poniżej.

Konserwacja w mechanice kwantowej

Przypadek I: Silniejsze stwierdzenie zachowania: gdy system znajduje się w jednym ze wspólnych stanów własnych ${\ displaystyle H}$ i ${\ displaystyle A}$

Niech $będzie$ operatorem , który dojeżdża $_$ z hamiltonianem . $Oznacza to$ że możemy mieć wspólne $własne$ i . Załóżmy, że nasz system znajduje się w jednym z tych wspólnych stanów własnych. Jeśli zmierzymy , z pewnością da to wartość własną $A}$$displaystyle$ (dobra liczba kwantowa). Dobrze znanym wynikiem jest również to, że stan własny hamiltonianu jest stanem stacjonarnym , co oznacza, że ​​nawet jeśli system pozostawi się do ewolucji przez jakiś czas przed wykonaniem pomiaru, nadal będzie dawał tę samą wartość własną. Dlatego, jeśli nasz system jest we wspólnym stanie własnym, jego wartości własne A (dobre liczby kwantowe) nie zmienią się w czasie.

Wniosek: Jeśli ${\ textstyle [A, H] = 0},$$Displaystyle$ system znajduje się we wspólnym stanie własnym i i $H}$ , wartości własne ${\ displaystyle A}$ (dobre liczby kwantowe) nie zmieniają się w czasie.

Przypadek II: Słabsze stwierdzenie zachowania: gdy system nie znajduje się w żadnym ze wspólnych stanów własnych ${\ displaystyle H}$ i ${\ displaystyle A}$

Jak przyjęto w przypadku I, ${\ textstyle [A, H] = 0}$ . Ale teraz $się w$$własnych$ z typowych stanów i . Tak więc system musi być w jakiejś $własne$ kombinacji podstawy utworzonej przez $wspólne$ i . Kiedy dokonuje się pomiaru , może on dać dowolną z wartości własnych. ZA $\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$ . A potem, jeśli zostanie wykonana $,$ liczba kolejnych pomiarów z pewnością dadzą ten sam wynik. W tym przypadku obowiązuje (słabsze) stwierdzenie zachowania: Korzystając z twierdzenia Ehrenfesta , ${\textstyle [A,H]=0}$ nie zależy wyraźnie od czasu:

${\ Displaystyle {\ Frac {d} {dt}} \ langle A \ rangle = \ lewo \ langle {\ frac {\częściowe A}{\częściowe t}}\right\rangle +{\frac {1}{i\hbar }}\langle [A,H]\rangle =0} To mówi,$ że wartość oczekiwana ${ \displaystyle A}$ pozostaje stała w czasie. Gdy pomiar jest wykonywany wielokrotnie na identycznych systemach, generalnie daje różne wartości, ale wartość oczekiwana pozostaje stała. Jest to słabszy warunek zachowania niż w przypadku, gdy nasz system był wspólnym stanem własnym $i$$Nie$ gwarantuje $się,$ że wartości własne wartość.

$Wniosek$ : jeśli $A }$ wyraźnie od czasu , a $displaystyle$ i , wartość oczekiwana $.$$zachowana$ , ale zachowanie wartości nie $zapewnione$

Analogia z mechaniką klasyczną

W mechanice klasycznej całkowita pochodna czasowa wielkości fizycznej jest podana jako: ${\ displaystyle A}$

${\ Displaystyle {\ Frac {dA} {dt}} = {\ Frac {\ częściowe A} {\ częściowe t}} + \ {A, H \ }}$

$gdzie$ nawiasy klamrowe się $do$ nawiasu Poissona i Jest to uderzająco podobne do twierdzenia Ehrenfesta . Oznacza to, że wielkość fizyczna $nawias$ zachowana, jeśli jej Poissona z hamiltonianem znika, a wielkość nie zależy wyraźnie od czasu. Ten warunek w mechanice klasycznej jest analogiczny do warunku w mechanice kwantowej dla zachowania obserwowalnego ( zgodnie z twierdzeniem Ehrenfesta : nawias Poissona jest zastąpiony komutatorem )

Układy, które można oznaczyć dobrymi liczbami kwantowymi

Układy, które można oznaczyć dobrymi liczbami kwantowymi, są w rzeczywistości stanami własnymi hamiltonianu . Nazywa się je również stanami stacjonarnymi . Nazywa się je tak, ponieważ system pozostaje w tym samym stanie w miarę upływu czasu, w każdy możliwy do zaobserwowania sposób. Stany zmieniają się matematycznie, ponieważ złożony współczynnik fazy zmienia się w sposób ciągły w czasie, ale nie można tego zaobserwować.

Taki stan spełnia:

${\ Displaystyle {\ kapelusz {H}}|\ Psi \ rangle = E _ {\ Psi} |\ Psi \ rangle}$ ,

Gdzie

• ${\ Displaystyle | \ Psi \ rangle}$ jest stanem kwantowym , który jest stanem stacjonarnym;
• ${\ Displaystyle {\ kapelusz {H}}}$ jest operatorem Hamiltona ;
• ${\ Displaystyle E _ {\ Psi}}$ jest wartością własną stanu energii ${\ Displaystyle | \ Psi \ rangle}$ .

Ewolucja ketu stanów jest regulowana równaniem Schrödingera :

${\ Displaystyle i \ hbar {\ Frac {\ częściowe}} {\ częściowe t}} |\ Psi \ rangle = E _ {\ Psi} | \ Psi \ rangle}$

Daje ewolucję w czasie stanu systemu jako:

${\ Displaystyle | \ Psi (t) \ rangle = e ^ {-iE _ {\ Psi} t / \ hbar} | \ Psi (0) \ rangle}$

Przykłady

Atom wodoru

W traktowaniu nierelatywistycznym i są dobrymi liczbami kwantowymi, ale w relatywistycznej mechanice kwantowej nie są już dobrymi liczbami kwantowymi, tak jak $displaystyle$$to$ L $L}$ i $\ displaystyle S}$ nie dojeżdżać z $Diraca$ ). ${\ Displaystyle J = L + S}$ jest dobrą liczbą kwantową w relatywistycznej mechanice kwantowej, ponieważ ${\ Displaystyle J}$ dojeżdża z ${\ displaystyle H}$ .

Atom wodoru: brak sprzężenia spin-orbita

W przypadku atomu wodoru (przy założeniu, że nie ma sprzężenia spinowo-orbitalnego ), obserwable, które dojeżdżają z hamiltonianem , to orbitalny moment pędu , spinowy moment pędu, suma spinowego momentu pędu i orbitalnego momentu pędu oraz składowe $powyższego$ momentu pędu Zatem dobrymi liczbami kwantowymi w tym przypadku (które są wartościami własnymi tych obserwabli) są $j}}$ . Pominęliśmy , ponieważ dla elektronu jest on zawsze stały i nie ma znaczenia, jeśli chodzi o oznaczanie $.$

Dobre liczby kwantowe i CSCO

Jednak wszystkie dobre liczby kwantowe w powyższym przypadku atomu wodoru (z pomijalnym sprzężeniem spin-orbita ), a mianowicie , a mianowicie ${\ displaystyle l, j, m _ {\ tekst {l }},m_{s},m_{j}}$ nie mogą być używane jednocześnie do określenia stanu. Oto, kiedy do gry wchodzi CSCO (kompletny zestaw obserwacji dojeżdżających do pracy) . Oto kilka ogólnych wyników, które mają ogólną ważność:

1. Pewna liczba dobrych liczb kwantowych może być użyta do jednoznacznego określenia określonego stanu kwantowego tylko wtedy, gdy obserwabli odpowiadające dobrym liczbom kwantowym tworzą CSCO .

2. Jeśli obserwable dojeżdżają do pracy, ale nie tworzą CSCO, to ich dobre liczby kwantowe odnoszą się do zbioru stanów. W tym przypadku nie odnoszą się one jednoznacznie do stanu.

3. Jeśli obserwable nie dojeżdżają do pracy, nie można ich nawet użyć w odniesieniu do jakiegokolwiek zestawu stanów, nie mówiąc już o odniesieniu się do jakiegokolwiek unikalnego stanu.

W przypadku atomu wodoru, ${\ Displaystyle L ^ {2}, J ^ {2}, L_ {z}, J_ {z}}$ nie tworzą dojazdów ustawić. Ale $_$ _ Tak więc w tym przypadku tworzą one zbiór dobrych liczb kwantowych. Podobnie ${\ displaystyle n, l, j, m _ {\ text {j}}}$ też tworzą zbiór dobrych liczb kwantowych.

Atom wodoru: w tym interakcja spin-orbita

Jeśli weźmiemy pod uwagę interakcję z orbitą spinową, musimy dodać dodatkowy termin w hamiltonianie , który reprezentuje energię interakcji dipola magnetycznego .

${\ Displaystyle \ Delta H _ {\ tekst {SO}} = - {\ boldsymbol {\ mu}} \ cdot {\ boldsymbol {B}}.}$

Teraz nowy hamiltonian z tym nowym $}$ dojeżdża do pracy z $}}$ i ${\ displaystyle {\ symbol pogrubienia {S}}}$ ; ale dojeżdża do pracy z całkowitym momentem pędu $. L$ ² , ² i . Innymi słowy, ${\ Displaystyle m _ {\ tekst {l}}, m_ {s}}$ nie $_$ liczbami

A ponieważ dobre liczby kwantowe są używane do oznaczania stanów własnych , odpowiednie wzory będące przedmiotem zainteresowania są wyrażone w ich kategoriach. Na przykład energia interakcji spin-orbita jest dana wzorem

${\ Displaystyle \ Delta H _ {\ tekst {SO}} = {\ beta \ ponad 2} ( j(j+1)-l(l+1)-s(s+1))}$

Gdzie

${\ Displaystyle \ beta = \ beta (n, l )=Z^{4}{\mu _{0} \over 4{\pi }^{4}}g_{\text{s}}\mu _{\text{B}}^{2}{1 \ponad n^{3}a_{0}^{3}l(l+1/2)(l+1)}}$

Jak widzimy, powyższe wyrażenia zawierają dobre liczby kwantowe, a mianowicie ${\ displaystyle l, s, j}$

Zobacz też

• Kompletny zestaw obserwacji dojeżdżających do pracy
• Hamiltonian (mechanika kwantowa)
• Stan stacjonarny
• Stała ruchu
• Liczba kwantowa
• Pomiar w mechanice kwantowej
• Twierdzenie Ehrenfesta
• Operator (fizyka)