Stan stacjonarny

Stan stacjonarny to stan kwantowy , w którym wszystkie obserwabli są niezależne od czasu. Jest to wektor własny operatora energii (zamiast kwantowej superpozycji różnych energii). Jest również nazywany wektorem własnym energii , stanem własnym energii , funkcją własną energii lub ketem własnym energii . Jest bardzo podobny do koncepcji orbitalu atomowego i orbitalu molekularnego w chemii, z pewnymi drobnymi różnicami wyjaśnionymi poniżej .

Wstęp

Oscylator harmoniczny w mechanice klasycznej (A – B) i mechanice kwantowej (C – H). W (A–B) kulka przymocowana do sprężyny oscyluje tam iz powrotem. (C – H) to sześć rozwiązań równania Schrödingera dla tej sytuacji. Oś pozioma to pozycja, oś pionowa to część rzeczywista (kolor niebieski) lub część urojona (kolor czerwony) funkcji falowej . (C, D, E, F), ale nie (G, H), są stanami stacjonarnymi lub falami stojącymi . Częstotliwość oscylacji fali stojącej pomnożona przez stałą Plancka jest energią stanu.

Stan stacjonarny nazywamy stacjonarnym , ponieważ system pozostaje w tym samym stanie w miarę upływu czasu, w każdy możliwy do zaobserwowania sposób. W przypadku hamiltonianu pojedynczej cząstki oznacza to, że cząstka ma stały rozkład prawdopodobieństwa dla swojej pozycji, prędkości, spinu itp . (Jest to prawdą przy założeniu, że środowisko cząstki jest również statyczne, tj. hamiltonian jest niezmienny w czasie). Sama funkcja falowa nie jest stacjonarna: stale zmienia swój ogólny złożony współczynnik fazowy , tworząc falę stojącą . Częstotliwość oscylacji fali stojącej pomnożona przez stałą Plancka jest energią stanu zgodnie z zależnością Plancka-Einsteina .

Stany stacjonarne to stany kwantowe , które są rozwiązaniami niezależnego od czasu równania Schrödingera :

{\ Displaystyle {\ kapelusz {H}}|\ Psi \ rangle = E _ {\ Psi} |\ Psi \ rangle,}

gdzie

{\ Displaystyle |\ Psi \ rangle}

jest stanem kwantowym , który jest stanem stacjonarnym, jeśli spełnia to równanie;

{\ Displaystyle {\ kapelusz {H}}}

jest operatorem Hamiltona ;

{\ Displaystyle E _ {\ Psi}}

jest liczbą rzeczywistą i odpowiada wartości własnej energii stanu

{\ Displaystyle | \ Psi \ rangle}

.

To jest równanie wartości własnej $} jest$ jest operatorem liniowym w przestrzeni wektorowej ${\ displaystyle {\ hat {H}}}$ $i$ własnym ${\ Displaystyle {\ kapelusz {H}}}$ jest jego wartością własną.

Jeżeli stan stacjonarny ${\ Displaystyle | \ Psi \ rangle}$ jest podłączony do zależnego od czasu równania Schrödingera, wynikiem jest

{\ Displaystyle i \ hbar {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy t}} | \ Psi \ rangle = E _ {\ Psi} | \ Psi \ rangle.}

Zakładając, że $dowolny$ niezależny od czasu (niezmienny w czasie), to równanie zachodzi przez $t$ . Dlatego jest to równanie różniczkowe opisujące, jak ${\ Displaystyle | \ Psi \ rangle}$ zmienia się w czasie. Jego rozwiązaniem jest

{\ Displaystyle | \ psi (t) \ rangle = e ^ {-iE_ {\ psi} t / \ hbar} | \ psi (0) \ rangle.}

$przez$ stacjonarny jest falą stojącą , która oscyluje z całkowitym złożonym współczynnikiem fazowym , a częstotliwość kątowa jej oscylacji jest równa jej energii podzielonej .

Właściwości stanu stacjonarnego

Trzy rozwiązania funkcji falowej zależnego od czasu równania Schrödingera dla oscylatora harmonicznego . Po lewej: Część rzeczywista (kolor niebieski) i część urojona (kolor czerwony) funkcji falowej. Po prawej: Prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w określonej pozycji. Dwa górne wiersze to dwa stany stacjonarne, a dolny to stan superpozycji

{\ textstyle \ psi _ {N} \ równoważnik (\ psi _ {0} + \ psi _ { 1})/{\sqrt {2}}}

, który nie jest stanem stacjonarnym. Prawa kolumna ilustruje, dlaczego stany stacjonarne nazywane są „stacjonarnymi”.

Jak pokazano powyżej, stan stacjonarny nie jest matematycznie stały:

{\ Displaystyle | \ psi (t) \ rangle = e ^ {-iE_ {\ psi} t / \ hbar} | \ psi (0) \ rangle.}

Jednak wszystkie obserwowalne właściwości stanu są w rzeczywistości stałe w czasie. Na przykład, jeśli ${\ Displaystyle | \ Psi (t) \ rangle}$ reprezentuje prostą jednowymiarową funkcję falową pojedynczej cząstki , prawdopodobieństwo, że cząstka ${\ Displaystyle \ Psi (x, t)}$ jest w miejscu $x$ jest

{\ Displaystyle | \ Psi (x, t) | ^ {2} = \ lewo | e ^ {-iE _ {\ Psi} t / \ hbar} \ Psi (x, 0) \ prawo | ^ {2} =\left|e^{-iE_{\Psi }t/\hbar }\right|^{2}\left|\Psi (x,0)\right|^{2}=\left|\Psi (x ,0)\prawo|^{2},}

który jest niezależny od czasu

t

.

Obraz Heisenberga jest alternatywnym matematycznym sformułowaniem mechaniki kwantowej , w którym stany stacjonarne są naprawdę matematycznie stałe w czasie.

Jak wspomniano powyżej, równania te zakładają, że hamiltonian jest niezależny od czasu. Oznacza to po prostu, że stany stacjonarne są stacjonarne tylko wtedy, gdy reszta systemu jest również nieruchoma i stacjonarna. Na przykład elektron 1s w atomie wodoru jest w stanie stacjonarnym, ale jeśli atom wodoru zareaguje z innym atomem, to oczywiście elektron zostanie zakłócony.

Spontaniczny rozpad

Rozpad spontaniczny komplikuje kwestię stanów stacjonarnych. Na przykład, zgodnie z prostą ( nierelatywistyczną ) mechaniką kwantową , atom wodoru ma wiele stanów stacjonarnych: 1s, 2s, 2p itd. to wszystkie stany stacjonarne. Ale w rzeczywistości tylko stan podstawowy 1s jest naprawdę „stacjonarny”: elektron na wyższym poziomie energii spontanicznie wyemituje jeden lub więcej fotonów , aby rozpaść się do stanu podstawowego. Wydaje się to przeczyć idei, że stany stacjonarne powinny mieć niezmienne właściwości.

Wyjaśnienie jest takie, że hamiltonian używany w nierelatywistycznej mechanice kwantowej jest jedynie przybliżeniem hamiltonianu z kwantowej teorii pola . Stany elektronów o wyższej energii (2s, 2p, 3s itd.) Są stanami stacjonarnymi zgodnie z przybliżonym hamiltonianem, ale nie stacjonarnymi zgodnie z prawdziwym hamiltonianem, z powodu fluktuacji próżni . Z drugiej strony stan 1s jest naprawdę stanem stacjonarnym, zarówno zgodnie z przybliżonym, jak i prawdziwym hamiltonianem.

Porównanie do „orbitalnego” w chemii

Orbital jest stanem stacjonarnym (lub jego przybliżeniem) jednoelektronowego atomu lub cząsteczki; dokładniej orbital atomowy dla elektronu w atomie lub orbital molekularny dla elektronu w cząsteczce.

W przypadku cząsteczki, która zawiera tylko jeden elektron (np. wodór atomowy lub H ₂⁺ ), orbital jest dokładnie tym samym, co całkowity stan stacjonarny cząsteczki. Jednak w przypadku cząsteczki wieloelektronowej orbital jest zupełnie inny niż całkowity stan stacjonarny, który jest stanem wielu cząstek wymagającym bardziej skomplikowanego opisu (takiego jak wyznacznik Slatera ). W szczególności w cząsteczce wieloelektronowej orbital nie jest całkowitym stanem stacjonarnym cząsteczki, ale raczej stanem stacjonarnym pojedynczego elektronu w cząsteczce. Ta koncepcja orbitalu ma sens tylko przy przybliżeniu, że jeśli zignorujemy warunki chwilowego odpychania elektron-elektron w hamiltonianie jako założenie upraszczające, możemy rozłożyć całkowity wektor własny cząsteczki wieloelektronowej na oddzielne wkłady z poszczególnych stanów stacjonarnych elektronów (orbitale), z których każdy uzyskuje się w przybliżeniu jednoelektronowym. (Na szczęście chemicy i fizycy mogą często (ale nie zawsze) używać tego „przybliżenia jednoelektronowego”.) W tym sensie w systemie wieloelektronowym orbital można uznać za stan stacjonarny pojedynczego elektronu w systemie .

W chemii obliczenia orbitali molekularnych zazwyczaj zakładają również przybliżenie Borna-Oppenheimera .

Zobacz też

Dalsza lektura

Stany stacjonarne , Alan Holden, Oxford University Press, 1971, ISBN 0-19-851121-3