Twierdzenie Ehrenfesta

Twierdzenie Ehrenfesta , nazwane na cześć Paula Ehrenfesta , austriackiego fizyka teoretycznego z Uniwersytetu w Lejdzie , wiąże pochodną czasową wartości oczekiwanych operatorów położenia i pędu x i p z wartością oczekiwaną siły ${ \ Displaystyle F = - V '(x)}$ na masywnej cząstce poruszającej się w potencjale skalarnym ${\ Displaystyle V (x)}$ ,

${\ Displaystyle m {\ Frac {d} {dt}} \ langle x \ rangle = \ langle p \ rangle, \; \; {\ Frac {d} {dt}} \ langle p \ rangle = - \ lewo \ kąt V'(x)\prawy\kąt ~.}$

Twierdzenie Ehrenfesta jest szczególnym przypadkiem bardziej ogólnej relacji między oczekiwaniem dowolnego operatora mechaniki kwantowej a oczekiwaniem komutatora tego operatora z hamiltonianem układu

${\ Displaystyle {\ Frac {d} {dt}} \ langle A \ rangle = {\ Frac {1} {i\hbar}}\langle [A,H]\rangle +\left\langle {\frac {\częściowe A}{\częściowe t}}\right\rangle ~,}$

gdzie A ⟨A⟩ jest jest pewnym operatorem mechaniki kwantowej, a jego wartością oczekiwaną .

Jest to najbardziej widoczne w obrazie mechaniki kwantowej Heisenberga , gdzie sprowadza się tylko do wartości oczekiwanej równania ruchu Heisenberga. Zapewnia matematyczne wsparcie dla zasady korespondencji .

Powodem jest to, że twierdzenie Ehrenfesta jest ściśle związane z twierdzeniem Liouville'a mechaniki hamiltonowskiej , które obejmuje nawias Poissona zamiast komutatora. Praktyczna reguła Diraca sugeruje, że twierdzenia w mechanice kwantowej, które zawierają komutator, odpowiadają twierdzeniom w mechanice klasycznej, gdzie komutator jest zastępowany nawiasem Poissona pomnożonym przez iħ . To sprawia, że ​​​​wartości oczekiwane operatora są zgodne z odpowiednimi klasycznymi równaniami ruchu, pod warunkiem, że hamiltonian jest co najwyżej kwadratowy we współrzędnych i pędach. W przeciwnym razie równania ewolucji mogą nadal obowiązywać w przybliżeniu , pod warunkiem, że fluktuacje są niewielkie.

Związek z fizyką klasyczną

Chociaż na pierwszy rzut oka mogłoby się wydawać, że twierdzenie Ehrenfesta mówi, że oczekiwane wartości mechaniki kwantowej są zgodne z klasycznymi równaniami ruchu Newtona, w rzeczywistości tak nie jest. $,$ para spełniać drugie prawo

$${\ Displaystyle -V '\ lewo (\ lewo \ langle x \ prawo \ rangle \ prawo),}$$

co zwykle nie jest tym samym co

$${\ Displaystyle - \ lewo \ langle V '(x) \ prawo \ rangle.}$$

$}$ potencjał jest $)$ proporcjonalny do , to jest kwadratowy ( $^ {3}}$ proporcjonalny do ${\ displaystyle x ^ {2}}$ ). Oznacza to, że w przypadku drugiego prawa Newtona prawa strona miałaby postać , podczas gdy w twierdzeniu Ehrenfesta ma postać $}$${\ Displaystyle \ langle x ^ {2} \ rangle}$ . Różnica między tymi dwiema wielkościami jest kwadratem niepewności w $zera$ .

$występuje w przypadku$$,$ gdy klasyczne równania ruchu są liniowe, to znaczy gdy , a liniowe. $V$ szczególnym przypadku i $lewo$ zgadzam się. Tak więc w przypadku kwantowego oscylatora harmonicznego oczekiwana pozycja i oczekiwany pęd są dokładnie zgodne z klasycznymi trajektoriami.

W przypadku systemów ogólnych, jeśli funkcja falowa jest silnie skoncentrowana wokół punktu $Displaystyle$ to $)}$$V'\ lewo (\ lewo \ langle x \ prawo \ rangle \ po$$V '(x_{0})}$ i będą prawie $x$ będą w przybliżeniu równe . W takim przypadku oczekiwana pozycja i oczekiwany pęd będą w przybliżeniu zgodne z klasycznymi trajektoriami, przynajmniej tak długo, jak funkcja falowa pozostaje zlokalizowana w pozycji.

Wyprowadzenie w obrazie Schrödingera

Załóżmy, że jakiś układ jest obecnie w stanie kwantowym Φ . Jeśli chcemy poznać chwilową pochodną czasu wartości oczekiwanej A , to znaczy z definicji

$${\ Displaystyle {\ begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\langle A\rangle &={\frac {d}{dt}}\int \Fi ^{*}A\Fi \,d^{3}x \\&=\int \left({\frac {\częściowe \Phi ^{*}}{\częściowe t}}\right)A\Fi \,d^{3}x+\int \Phi ^{*} \left({\frac {\częściowe A}{\częściowe t}}\right)\Phi \,d^{3}x+\int \Fi ^{*}A\left({\frac {\częściowe \Phi }{\częściowe t}}\right)\,d^{3}x\\&=\int \left({\frac {\częściowe \Phi ^{*}}{\częściowe t}}\right)A \Phi \,d^{3}x+\left\langle {\frac {\częściowe A}{\częściowe t}}\right\rangle +\int \Phi ^{*}A\left({\frac {\ częściowe \Fi }{\częściowe t}}\prawo)\,d^{3}x\end{wyrównane}}}$$

gdzie integrujemy się w całej przestrzeni. Jeśli zastosujemy równanie Schrödingera , znajdziemy to

$${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe \ Phi} {\ częściowe t}} = {\ Frac {1} {i \ hbar}} H \ Phi}$$

Biorąc złożony koniugat, który znajdujemy

$${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe \ Phi ^ {*}} {\ częściowe t}} = - {\ Frac {1} {i \ hbar}} \ Phi ^ {*} H ^ {*} = - { \frac {1}{i\hbar }}\Phi ^{*}H.}$$

Uwaga   H = H ^∗ , ponieważ hamiltonian jest hermitowski . Umieszczając to w powyższym równaniu mamy

$${\ Displaystyle {\ Frac {d} {dt}} \ langle A \ rangle = {\ Frac {1} {i \ hbar}} \ int \ Phi ^ {*} (AH-HA) \ Phi ~ d ^ { 3}x+\left\langle {\frac {\częściowy A}{\częściowy t}}\right\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [A,H]\rangle +\left \langle {\frac {\częściowy A}{\częściowy t}}\right\rangle .}$$

Często (ale nie zawsze) operator A jest niezależny od czasu, więc jego pochodna wynosi zero i możemy zignorować ostatni wyraz.

Wyprowadzenie na obrazie Heisenberga

W obrazie Heisenberga wyprowadzenie jest proste. Obraz Heisenberga przenosi zależność systemu od czasu do operatorów zamiast wektorów stanu. Zaczynając od równania ruchu Heisenberga,

$${\ Displaystyle {\ Frac {d} {dt}} A (t) = {\ Frac { \częściowe A(t)}{\częściowe t}}+{\frac {1}{i\hbar }}[A(t),H],}$$

Twierdzenie Ehrenfesta wynika po prostu z rzutowania równania Heisenberga na ${\ Displaystyle | \ Psi \ rangle}$ od prawej i ${\ Displaystyle \ langle \ Psi |}$ od lewej lub przyjmując wartość oczekiwaną, więc

$${\ Displaystyle \ lewo \ langle \ Psi \ lewo | {\ Frac {d} {dt}} A (t) \ prawo | \ Psi \ prawo \ rangle = \ lewo \ langle \ Psi \ lewo | {\ frac {\częściowe A(t)}{\częściowe t}}\right|\Psi \right\rangle +\left\langle \Psi \left|{\frac {1}{i\hbar }}[A(t ),H]\prawo|\Psi \prawo\rangle ,}$$

Można wyciągnąć d / dt z pierwszego wyrazu, ponieważ wektory stanu nie są już zależne od czasu w obrazie Heisenberga. Dlatego,

$${\ Displaystyle {\ Frac {d} {dt}} \ langle A (t) \ rangle = \ lewo \ langle {\ Frac {\ częściowe A (t)} {\ częściowe t}} \ prawo \ rangle + {\ frac {1}{i\hbar }}\left\langle [A(t),H]\right\rangle .}$$

Ogólny przykład

Wartości oczekiwane twierdzenia są jednak takie same również w obrazie Schrödingera . Dla bardzo ogólnego przykładu masywnej cząstki poruszającej się w potencjale , hamiltonian jest prosty

$${\ Displaystyle H (x, p, t) = {\ Frac {p ^ {2}} {2m}} + V (x ,T)}$$

gdzie x jest położeniem cząstki.

Załóżmy, że chcemy poznać chwilową zmianę oczekiwanego pędu p . Korzystając z twierdzenia Ehrenfesta, mamy

$${\ Displaystyle {\ Frac {d} {dt}}\langle p\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [p,H]\rangle +\left\langle {\frac {\częściowe p}{\częściowe t}} \right\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [p,V(x,t)]\rangle ,}$$

ponieważ operator p dojeżdża sam ze sobą i nie ma zależności od czasu. Rozwijając prawą stronę, zastępując p przez − iħ ∇ , otrzymujemy

$${\ Displaystyle {\ Frac {d} {dt}} \ langle p \ rangle = \ int \ Phi ^ {*} V (x, t) {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy x}} \ Phi ~ dx -\int \Phi ^{*}{\frac {\częściowy }{\częściowy x}}(V(x,t)\Phi )~dx~.}$$

Po zastosowaniu reguły iloczynu w drugim wyrazie mamy

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ Frac {d} {dt}} \ langle p \ rangle & = \ int \ Phi ^ {*} V (x, t) {\ Frac {\ częściowe}} {\ częściowe x}}\Phi ~dx-\int \Phi ^{*}\left({\frac {\częściowy }{\częściowy x}}V(x,t)\right)\Phi ~dx-\int \Phi ^{*}V(x,t){\frac {\częściowy}}{\częściowy x}}\Phi ~dx\\&=-\int \Phi ^{*}\left({\frac {\częściowy} {\częściowe x}}V(x,t)\right)\Phi ~dx\\&=\left\langle -{\frac {\częściowe }{\częściowe x}}V(x,t)\right\ rangle =\langle F\rangle .\end{wyrównane}}}$$

$nie$ we wstępie, wynik ten , spełnia Newtona ręka ⟨ ${\ Displaystyle \ langle F (x, t) \ rangle,}$ zamiast ${\ Displaystyle F (\ langle X \ rangle$ . Niemniej jednak, jak wyjaśniono we wstępie, dla stanów, które są silnie zlokalizowane w przestrzeni, oczekiwane położenie i pęd będą w przybliżeniu zgodne z klasycznymi trajektoriami, co można rozumieć jako przykład zasady korespondencji .

Podobnie możemy uzyskać chwilową zmianę wartości oczekiwanej pozycji.

$${\ Displaystyle { \begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\langle x\rangle &={\frac {1}{i\hbar }}\langle [x,H]\rangle +\left\langle {\ frac {\częściowy x}{\częściowy t}}\right\rangle \\[5pt]&={\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \left[x,{\frac {p^ {2}}{2m}}+V(x,t)\right]\right\rangle +0\\[5pt]&={\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \left[ x,{\frac {p^{2}}{2m}}\right]\right\rangle \\[5pt]&={\frac {1}{i\hbar 2m}}\left\langle [x, p] {\frac {d}{dp}}p^{2}\right\rangle \\[5pt]&={\frac {1}{i\hbar 2m}}\langle i\hbar 2p\rangle \ \[5pt]&={\frac {1}{m}}\langle p\rangle \end{aligned}}}$$

Wynik ten jest dokładnie zgodny z klasycznym równaniem.

Wyprowadzenie równania Schrödingera z twierdzeń Ehrenfesta

Powyżej ustalono, że twierdzenia Ehrenfesta są konsekwencjami równania Schrödingera . Jednak odwrotność jest również prawdziwa: równanie Schrödingera można wywnioskować z twierdzeń Ehrenfesta. Zaczynamy od

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} m {\ Frac {d} {dt}} \ lewo \ langle \ psi (t) \ prawo | {\ kapelusz {x}} \ lewo | \ psi (t) \ prawo \ rangle &=\lewo\langle \psi (t)\prawo|{\kapelusz {p}}\lewo|\psi (t)\prawo\rangle ,\\[5pt]{\frac {d}{dt}} \left\langle \psi (t)\right|{\kapelusz {p}}\left|\psi (t)\right\rangle &=\left\langle \psi (t)\right|-V'({ \hat {x}})\lewo|\Psi (t)\prawo\rangle .\end{wyrównane}}}$$

Zastosowanie reguły iloczynu prowadzi do

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ lewo \ langle {\ Frac {d \ Psi}} {dt}} {\ Duży |} {\ kapelusz {x}} {\ Duży |} \ Psi \ w prawo \ rangle +\left\langle \Psi {\Duży |}{\kapelusz {x}}{\Duży |}{\frac {d\Psi }{dt}}\right\rangle &=\left\langle \Psi { \Duży |}{\frac {\hat {p}}{m}}{\Duży |}\Psi \right\rangle ,\\[5pt]\left\langle {\frac {d\Psi }{dt} }{\Duży |}{\kapelusz {p}}{\Duży |}\Psi \right\rangle +\left\langle \Psi {\Duży |}{\kapelusz {p}}{\Duży |}{\ frac {d\Psi }{dt}}\right\rangle &=\langle \Psi |-V'({\kapelusz {x}})|\Psi \rangle ,\end{wyrównane}}}$$

Tutaj zastosuj twierdzenie Stone'a , używając Ĥ do oznaczenia kwantowego generatora translacji czasu. Następnym krokiem jest pokazanie, że jest to to samo, co operator Hamiltona używany w mechanice kwantowej. Twierdzenie Stone'a implikuje

$${\ Displaystyle i \ hbar \ lewo | {\ Frac {d \ psi} {dt}} \ prawo \ rangle = {\ kapelusz {H}} | \ psi (t) \ rangle ~,}$$

gdzie ħ wprowadzono jako stałą normalizacyjną do wymiarowości równowagi. Ponieważ te tożsamości muszą być ważne dla dowolnego stanu początkowego, uśrednianie można odrzucić i wyprowadzić układ równań komutatora dla Ĥ :

$${\ Displaystyle im [{\ kapelusz {H}}, {\ kapelusz {x}}] = \ hbar {\ kapelusz {p}}, \ qquad i [{\ kapelusz {H}}, {\ kapelusz {p} }]=-\hbar V'({\kapelusz {x}}).}$$

Zakładając, że obserwable współrzędnej i pędu są zgodne z kanoniczną relacją komutacji [ x̂ , p̂ ] = iħ . ${\ Displaystyle {\ kapelusz {H}} = H ({\ kapelusz {x}}, {\ kapelusz {p}})} ,$ równania komutatora można przekształcić w równania różniczkowe

$${\ Displaystyle m {\ Frac {\ częściowe H (x, p)} {\ częściowe p }}=p,\qquad {\frac {\częściowe H(x,p)}{\częściowe x}}=V'(x),}$$

którego rozwiązaniem jest znany hamiltonian kwantowy

$${\ Displaystyle {\ kapelusz {H}} = {\ Frac {{\ kapelusz {p}} ^ {2}} {2m}} + V ({\ kapelusz {x}}).}$$

Stąd równanie Schrödingera wyprowadzono z twierdzeń Ehrenfesta, zakładając kanoniczną relację komutacji między współrzędną a pędem. Jeśli założyć, że współrzędne i pęd dojeżdżają, ta sama metoda obliczeniowa prowadzi do mechaniki klasycznej Koopmana – von Neumanna , która jest sformułowaniem mechaniki klasycznej w przestrzeni Hilberta . Dlatego to wyprowadzenie, jak również wyprowadzenie mechaniki Koopmana-von Neumanna pokazuje, że zasadnicza różnica między mechaniką kwantową a klasyczną sprowadza się do wartości komutatora [ x̂ , p̂ ] .

Implikacje twierdzenia Ehrenfesta dla systemów z klasycznie chaotyczną dynamiką są omówione w artykule Scholarpedia Ehrenfest czas i chaos . Ze względu na wykładniczą niestabilność klasycznych trajektorii czas Ehrenfesta, na którym istnieje pełna zgodność między ewolucją kwantową i klasyczną, okazał się logarytmicznie krótki, proporcjonalny do logarytmu typowej liczby kwantowej. W przypadku dynamiki całkowalnej ta skala czasowa jest znacznie większa proporcjonalnie do pewnej potęgi liczby kwantowej.

Notatki

•   Hall, Brian C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians , Graduate Texts in Mathematics, tom. 267, Springera, ISBN 978-1461471158