Wspornik Moyala

W fizyce nawias Moyala jest odpowiednio znormalizowaną antysymetryzacją iloczynu gwiazdy w przestrzeni fazowej .

Zawias Moyala został opracowany około 1940 roku przez José Enrique Moyala , ale Moyalowi udało się opublikować swoją pracę dopiero w 1949 roku, po długim sporze z Paulem Diraciem . W międzyczasie pomysł ten został niezależnie wprowadzony w 1946 roku przez Hip Groenewolda .

Przegląd

Nawias Moyala jest sposobem opisywania komutatora obserwowalnych w sformułowaniu mechaniki kwantowej w przestrzeni fazowej, gdy te obserwowalne są opisane jako funkcje w przestrzeni fazowej . Opiera się na schematach identyfikacji funkcji w przestrzeni fazowej z obserwablami kwantowymi, z których najbardziej znanym jest transformata Wignera – Weyla . Leży u podstaw dynamicznego równania Moyala , równoważnego sformułowania kwantowego równania ruchu Heisenberga , zapewniając w ten sposób kwantowe uogólnienie Równania Hamiltona .

Matematycznie jest to odkształcenie nawiasu Poissona w przestrzeni fazowej (w zasadzie jego przedłużenie ), którego parametrem odkształcenia jest zredukowana stała Plancka ħ . Zatem jego skrócenie grupowe ħ →0 daje nawias Poissona Algebra Liego .

Aż do równoważności formalnej nawias Moyala jest unikalnym jednoparametrowym deformacją algebraiczną nawiasu Poissona. Jego izomorfizm algebraiczny z algebrą komutatorów omija ujemny wynik twierdzenia Groenewolda – van Hove'a, które wyklucza taki izomorfizm dla nawiasu Poissona, pytanie pośrednio postawione przez Diraca w jego rozprawie doktorskiej z 1926 r., „metoda klasycznej analogii” dla kwantyzacja.

Na przykład w dwuwymiarowej płaskiej przestrzeni fazowej i dla korespondencji mapy Weyla nawias Moyala brzmi:

$\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ {\ {f ,g\}\}&{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{i\hbar }}(f\star gg\star f)\\&=\{f ,g\}+O(\hbar ^{2}),\\\end{wyrównane}}}$

gdzie ★ jest operatorem iloczynu gwiazdowego w przestrzeni fazowej (por. Iloczyn Moyala ), podczas gdy f i g są różniczkowalnymi funkcjami w przestrzeni fazowej, a { f , g } to ich nawias Poissona.

Dokładniej, w języku rachunku różniczkowego , jest to równe

${\ Displaystyle \ {\ {f, g \} \} \ = {\ Frac {2} {\ hbar}} ~ f (x, p) \ \ sin \ lewo ({{\ tfrac {\ hbar}} {2 }}({\overleftarrow {\częściowy}}_{x}{\overrightarrow {\częściowy}}_{p}-{\overleftarrow {\częściowy}}_{p}{\overrightarrow {\częściowy}}_{ x})}\prawo)\ g(x,p).}$

Lewe i prawe strzałki nad pochodnymi cząstkowymi oznaczają lewe i prawe pochodne cząstkowe. Czasami nawias Moyala jest nazywany nawiasem sinusoidalnym .

Popularną (Fourierowską) reprezentacją całkową, wprowadzoną przez George'a Bakera, jest

${\ Displaystyle \ {\ {f, g \} \} (x, p) = {2 \ ponad \ hbar ^ {3} \ pi ^ {2}} \ int dp '\, dp'' \, dx' \,dx''f(x+x',p+p')g(x+x'',p+p'')\sin \left({\tfrac {2}{\hbar }}(x' p''-x''p')\prawo)~.}$

Każda mapa korespondencji z przestrzeni fazowej do przestrzeni Hilberta indukuje charakterystyczny nawias „Moyala” (taki jak ten zilustrowany tutaj dla mapy Weyla). Wszystkie takie nawiasy Moyala są formalnie równoważne , zgodnie z teorią systematyczną.

Nawias Moyala określa tytułową nieskończenie wymiarową algebrę Liego — jest antysymetryczna w swoich argumentach f i g i spełnia tożsamość Jacobiego . Odpowiednia abstrakcyjna algebra Liego jest realizowana przez T _f ≡ f ★ , tak że

${\ Displaystyle [T_ {f} ~, T_ {g}] = T_ {i \ hbar \ {\ {f, g \} \}}.}$

Na 2-torusowej przestrzeni fazowej, T ² , ze współrzędnymi okresowymi x i p , każdy w [0,2 π ] , mi _i indeksami trybu całkowitoliczbowego , dla funkcji bazowych exp( i ( m ₁ x + m ₂ p )) , ta algebra Liego brzmi:

${\ Displaystyle [T_ {m_ {1}, m_ {2}} ~, T_ {n_ {1}, n_ {2}}] = 2i \ sin \ lewo ({\ tfrac {\ hbar} {2}} ( n_{1}m_{2}-n_{2}m_{1})\right)~T_{m_{1}+n_{1},m_{2}+n_{2}},~}$

co redukuje się do SU ( N ) dla liczby całkowitej N ≡ 4 π/ħ . SU ( N ) pojawia się wówczas jako deformacja SU (∞), z parametrem deformacji 1/ N .

Uogólnienie nawiasu Moyala dla układów kwantowych z ograniczeniami drugiej klasy obejmuje operację na klasach równoważności funkcji w przestrzeni fazowej, którą można uznać za kwantową deformację nawiasu Diraca .

Nawias sinusoidalny i nawias cosinusowy

Oprócz omówionego nawiasu sinusoidalnego, Groenewold wprowadził dalej nawias cosinusowy, opracowany przez Bakera,

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ {\ {\ {f, g \} \} \} i {\ stackrel {\ mathrm {def} }{=}} \ {\ tfrac {1} {2}} (f\gwiazda g+g\gwiazda f)=fg+O(\hbar ^{2}).\\\end{wyrównane}}}$

Tutaj znowu ★ jest operatorem iloczynu gwiezdnego w przestrzeni fazowej, f i g są różniczkowalnymi funkcjami w przestrzeni fazowej, a f g jest iloczynem zwykłym.

Nawiasy sinusoidalne i cosinusowe są odpowiednio wynikami antysymetryzacji i symetryzacji iloczynu gwiazdy. Tak więc, ponieważ nawias sinusoidalny jest mapą Wignera komutatora, nawias cosinusowy jest obrazem Wignera antykomutatora w standardowej mechanice kwantowej. Podobnie, jak nawias Moyala jest równy nawiasowi Poissona do wyższych rzędów ħ , nawias cosinusowy jest równy zwykłemu iloczynowi do wyższych rzędów ħ . W klasycznej granicy nawias Moyala pomaga zredukować do Równanie Liouville'a (sformułowane w postaci nawiasu Poissona) , ponieważ nawias cosinusowy prowadzi do klasycznego równania Hamiltona-Jacobiego .

Nawiasy sinus i cosinus odnoszą się również do równań czysto algebraicznego opisu mechaniki kwantowej.