Skurcz grupy
W fizyce teoretycznej Eugene Wigner i Erdal İnönü omówili możliwość uzyskania z danej grupy Liego innej (nieizomorficznej) grupy Liego przez skrócenie grupy w odniesieniu do jej ciągłej podgrupy. Sprowadza się to do operacji ograniczającej na parametrze algebry Liego , zmieniającej stałe strukturalne tej algebry Liego w nietrywialny sposób osobliwy, w odpowiednich okolicznościach.
Na przykład algebra Liego trójwymiarowej grupy rotacji SO(3) , [ X 1 , X 2 ] = X 3 itd. może zostać przepisana przez zmianę zmiennych Y 1 = εX 1 , Y 2 = εX 2 , Y 3 = X 3 , jak
- [ Y 1 , Y 2 ] = ε 2 Y 3 , [ Y 2 , Y 3 ] = Y 1 , [ Y 3 , Y 1 ] = Y 2 .
Granica skrócenia ε → 0 trywializuje pierwszy komutator iw ten sposób daje nieizomorficzną algebrę płaskiej grupy euklidesowej , E 2 ~ ISO(2) . (Jest to izomorficzne z grupą cylindryczną, opisującą ruchy punktu na powierzchni walca. Jest to mała grupa lub podgrupa stabilizująca czterech zerowych wektorów w przestrzeni Minkowskiego .) W szczególności generatory translacji Y 1 , Y 2 , teraz wygeneruj abelową podgrupę normalną E 2 (por. Rozszerzenie grupy ), paraboliczne transformacje Lorentza .
Podobne ograniczenia, o dużym zastosowaniu w fizyce (por. Zasady korespondencji ), umowa
- grupa de Sittera SO(4, 1) ~ Sp(2, 2) do grupy Poincarégo ISO(3, 1) , gdy promień de Sittera jest rozbieżny: R → ∞ ; Lub
- grupa Poincarégo do grupy Galileusza , gdy prędkość światła jest rozbieżna: c → ∞ ; Lub
- od algebry Liego nawiasu Moyala (odpowiednik komutatorów kwantowych) do algebry Liego nawiasu Poissona , w klasycznej granicy , gdy znika stała Plancka : ħ → 0 .
Notatki
- Dooley, Ah; Ryż, JW (1985). „O skurczach półprostych grup Liego” (PDF) . Transakcje Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego . 289 (1): 185–202. doi : 10.2307/1999695 . ISSN 0002-9947 . JSTOR 1999695 . MR 0779059 .
- Gilmore, Robert (2006). Grupy kłamstw, algebry kłamstw i niektóre ich zastosowania . Dover Książki o matematyce. Publikacje Dover . ISBN 0486445291 . MR 1275599 .
- Inönü, E. ; Wignera, PE (1953). „O kurczeniu się grup i ich reprezentacji” . proc. Natl. Acad. nauka . 39 (6): 510–24. Bibcode : 1953PNAS...39..510I . doi : 10.1073/pnas.39.6.510 . PMC 1063815 . PMID 16589298 .
- Saletan, EJ (1961). „Skurcz grup kłamstw”. Dziennik fizyki matematycznej . 2 (1): 1–21. Bibcode : 1961JMP.....2....1S . doi : 10.1063/1.1724208 .
- Segal, IE (1951). „Klasa algebr operatorów, które są określone przez grupy”. Dziennik matematyczny Duke'a . 18 : 221. doi : 10.1215/S0012-7094-51-01817-0 .