Produkt marki Moyal

W matematyce iloczyn Moyala (po José Enrique Moyal ; zwany także produktem gwiazdowym lub produktem Weyla-Groenewolda , po Hermann Weyl i Hilbrand J. Groenewold ) jest przykładem produktu gwiazdy w przestrzeni fazowej . Jest to iloczyn asocjacyjny, nieprzemienny, ★, na funkcjach na ℝ ²ⁿ , wyposażony w nawias Poissona (z uogólnieniem na rozmaitości symplektyczne , Opisane poniżej). Jest to szczególny przypadek iloczynu ★ „algebry symboli” uniwersalnej algebry obwiedniowej .

Komentarze historyczne

Produkt Moyal nosi imię José Enrique Moyala , ale czasami jest również nazywany produktem Weyl -Groenewold, ponieważ został wprowadzony przez HJ Groenewolda w jego rozprawie doktorskiej z 1946 r., W ostrym uznaniu korespondencji Weyla . Wydaje się, że Moyal nie wiedział o produkcie w swoim słynnym artykule i zasadniczo brakowało go w jego legendarnej korespondencji z Dirakiem, co ilustruje jego biografia. Wydaje się, że popularne nazewnictwo na cześć Moyala pojawiło się dopiero w latach 70. XX wieku, w hołdzie dla jego płaskiego kwantyzacji w przestrzeni fazowej .

Definicja

Iloczyn dla gładkich funkcji $f$ i $g$ na ℝ ^{2 n} przyjmuje postać

{\ Displaystyle f \ gwiazda g = fg + \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} \ hbar ^ {n} C_{n}(f,g),}

gdzie każdy C _n jest pewnym operatorem różniczkowym bi rzędu $n$ charakteryzującym się następującymi właściwościami (zobacz poniżej wyraźny wzór):

{\ Displaystyle f \ gwiazda g = fg + {\ mathcal {O}} (\ hbar)}

Odkształcenie iloczynu punktowego - ukryte w powyższym wzorze.

{\ Displaystyle f \ gwiazda gg \ gwiazda f = i \ hbar \ {f, g \} + {\ mathcal {O}} (\ hbar ^ {3}) \ równoważnik i \ hbar \ {\ {f, g \ }\}}

Deformacja nawiasu Poissona, zwanego nawiasem Moyala .

{\ Displaystyle f \ gwiazda 1 = 1 \ gwiazda f = f}

1 niezdeformowanej algebry jest również tożsamością w nowej algebrze.

\ Displaystyle {\ overline {f \ gwiazda g}} = {\ overline {g}} \ gwiazda {\ overline {f}}}

Złożony koniugat jest antyliniowym antyautomorfizmem.

Zauważ, że jeśli ktoś chce wziąć funkcje wyceniane w liczbach rzeczywistych , to alternatywna wersja eliminuje $i$ w drugim warunku i eliminuje czwarty warunek.

Jeśli ograniczyć się do funkcji wielomianowych, powyższa algebra jest izomorficzna z algebrą Weyla An ₂ , a obie oferują alternatywne realizacje mapy Weyla przestrzeni wielomianów w $n$ zmiennych (lub algebry symetrycznej przestrzeni wektorowej o wymiarze $n$ ).

Aby podać wyraźny wzór, rozważ stały dwuwektor Poissona $Π$ na ℝ ^{2 n} :

{\ Displaystyle \ Pi = \ suma _ {i, j} \ Pi ^ {ij} \ częściowe _ {i} \ klin \ częściowe _ {j}, }

gdzie Π ^ij jest liczbą rzeczywistą dla każdego i , j . Iloczyn gwiezdny dwóch funkcji $f$ i $g$ można zatem zdefiniować jako pseudooperator różniczkowy działający na obie z nich,

{\ Displaystyle f \ gwiazda g = fg + {\ Frac {i \ hbar}} {2}} \ suma _ {i, j} \ Pi ^ {ij} (\ częściowe _ {i }f)(\częściowa _{j}g)-{\frac {\hbar ^{2}}{8}}\sum _{i,j,k,m}\Pi ^{ij}\Pi ^{ km}(\częściowa _{i}\częściowa _{k}f)(\częściowa _{j}\częściowa _{m}g)+\ldots ,}

gdzie $ħ$ jest zredukowaną stałą Plancka , traktowaną tutaj jako parametr formalny.

Jest to szczególny przypadek tak zwanego wzoru Berezina w algebrze symboli, któremu można nadać formę zamkniętą (co wynika ze wzoru Bakera – Campbella – Hausdorffa ). Formę zamkniętą można uzyskać za pomocą wykładniczego :

{\ Displaystyle f \ gwiazda g = m \ circ e ^ {{\ Frac {i \ hbar} {2}} \ Pi} (f \

gdzie $m$ jest mapą mnożenia, ${\ Displaystyle m (a \ otimes b) = ab}$ , a wykładniczy jest traktowany jako szereg potęgowy,

{\ Displaystyle e ^ {A}: = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {n!}} A ^ {n}.}

Oznacza to, że wzór na to jest do ${n}}$

{\ Displaystyle C_ {n} = {\ Frac {i ^ {n}} {2 ^ {n} n!}} m \ circ \ Pi ^ {n}.}

Jak wskazano, często eliminuje się wszystkie wystąpienia $i$ powyżej, a następnie formuły w naturalny sposób ograniczają się do liczb rzeczywistych.

Zauważ, że jeśli funkcje $f$ i $g$ są wielomianami, powyższe nieskończone sumy stają się skończone (sprowadzając się do zwykłego przypadku algebry Weyla).

Związek iloczynu Moyala z uogólnionym iloczynem ★ używanym w definicji „algebry symboli” uniwersalnej algebry obwiedniowej wynika z faktu, że algebra Weyla jest uniwersalną algebrą obwiedniową algebry Heisenberga (moduł, że środek równa się jednostce).

Na rozmaitościach

Na dowolnej rozmaitości symplektycznej można, przynajmniej lokalnie, wybrać współrzędne tak, aby struktura symplektyczna była stała , zgodnie z twierdzeniem Darboux ; i używając powiązanego dwuwektora Poissona, można rozważyć powyższy wzór. Aby działał globalnie, jako funkcja na całej rozmaitości (a nie tylko na lokalnym wzorze), należy wyposażyć rozmaitość symplektyczną w bezskrętne połączenie symplektyczne . To sprawia, że jest to rozmaitość Fiedosowa .

Bardziej ogólne wyniki dla dowolnych rozmaitości Poissona (gdzie twierdzenie Darboux nie ma zastosowania) podaje wzór kwantyzacji Kontsevicha .

Przykłady

Prosty, wyraźny przykład konstrukcji i użyteczności iloczynu ★ (dla najprostszego przypadku dwuwymiarowej euklidesowej przestrzeni fazowej ) podano w artykule na temat transformaty Wignera – Weyla : z tym ★ komponują się dwa Gaussy -produkt według prawo tangensa hiperbolicznego:

{\ Displaystyle \ exp \ lewo [-a \ lewo (x ^ {2} + p ^ {2} \ prawo) \ prawo] \ gwiazda \ exp \ lewo [-b \ lewo (x ^ {2} + p ^ {2}\right)\right]={\frac {1}{1+\hbar ^{2}ab}}\exp \left[-{\frac {a+b}{1+\hbar ^{2 }ab}}\lewo(x^{2}+p^{2}\prawo)\prawo].}

(Zwróć uwagę na klasyczną granicę, $ħ \to 0$ .)

Jednak każda recepta zgodności między przestrzenią fazową a przestrzenią Hilberta indukuje swój własny właściwy produkt ★ .

Podobne wyniki widać w przestrzeni Segala – Bargmanna oraz w $} displaystyle a=\partial /\partial z}$ theta grupy Heisenberga ${*} =$ / ∂ są rozumiane jako działające na płaszczyźnie zespolonej (odpowiednio górnej półpłaszczyźnie dla grupy Heisenberga), tak że operatory położenia i pędu są określone przez ${\ Displaystyle x = (a + a ^ {*})/2}$ i ${\ Displaystyle p = (aa ^ {*} )/(2i)}$ . Ta sytuacja wyraźnie różni się od przypadku, w którym przyjmuje się, że pozycje mają wartość rzeczywistą, ale daje wgląd w ogólną strukturę algebraiczną algebry Heisenberga i jej obwiedni, algebry Weyla.

Całki wewnętrzne w przestrzeni fazowej

Wewnątrz całki w przestrzeni fazowej można odrzucić tylko jeden iloczyn gwiazdowy typu Moyala, co skutkuje zwykłym mnożeniem, co widać po całkowaniu przez części,

{\ Displaystyle \ int f \ gwiazda g \ \ operatorname {d} x \ \ operatorname {d} p = \ int f \,

ukazując cykliczność śladu w przestrzeni fazowej. Jest to unikalna właściwość powyższego konkretnego produktu Moyal i nie dotyczy innych gwiezdnych produktów z reguł korespondencji, takich jak Husimi itp.

^ HJ Groenewold, „ O zasadach elementarnej mechaniki kwantowej ”, Physica , 12 (1946) s. 405–460.
^ Moyal, JE; Bartlett MS (1949). „Mechanika kwantowa jako teoria statystyczna”. Mathematical Proceedings of Cambridge Philosophical Society . 45 : 99. Bibcode : 1949PCPS...45...99M . doi : 10.1017/S0305004100000487 .
^ Ann Moyal, „ Maverick Mathematician: The Life and Science of JE Moyal ”, ANU E-press, 2006.
Bibliografia _ Zachos, CK (2012). „Mechanika kwantowa w przestrzeni fazowej”. Biuletyn Fizyki Azji i Pacyfiku . 1 : 37. arXiv : 1104,5269 . doi : 10.1142/S2251158X12000069 .
^ FA Berezin , „Kilka uwag na temat powiązanej obwiedni algebry Liego”, Funct. Analny. Aplikacja 1 (1967) s. 91.
^ Xavier Bekaert, „ Uniwersalne algebry obwiedniowe i niektóre zastosowania w fizyce ” (2005) Wykład, Modave Summer School in Mathematical Physics .
^ C. Zachos , D. Fairlie i T. Curtright , „Mechanika kwantowa w przestrzeni fazowej” (World Scientific, Singapur, 2005) ISBN 978-981-238-384-6 .
^ Cohen, L. (1995) Analiza czasowo-częstotliwościowa , Prentice-Hall, Nowy Jork, 1995. ISBN 978-0135945322 .
^ Lee, HW (1995). „Teoria i zastosowanie kwantowych funkcji dystrybucji w przestrzeni fazowej”. Raporty fizyczne . 259 (3): 147. Bibcode : 1995PhR...259..147L . doi : 10.1016/0370-1573(95)00007-4 .
Bibliografia _ Fairlie DB; Zachos, CK (2014). Zwięzły traktat o mechanice kwantowej w przestrzeni fazowej . Świat Naukowy . ISBN 9789814520430 .

[1] HJ Groenewold, „ O zasadach elementarnej mechaniki kwantowej ”, Physica , 12 (1946) s. 405–460.

[2] Moyal, JE; Bartlett MS (1949). „Mechanika kwantowa jako teoria statystyczna”. Mathematical Proceedings of Cambridge Philosophical Society . 45 : 99. Bibcode : 1949PCPS...45...99M . doi : 10.1017/S0305004100000487 .

[3] Ann Moyal, „ Maverick Mathematician: The Life and Science of JE Moyal ”, ANU E-press, 2006.

[4] Bibliografia _ Zachos, CK (2012). „Mechanika kwantowa w przestrzeni fazowej”. Biuletyn Fizyki Azji i Pacyfiku . 1 : 37. arXiv : 1104,5269 . doi : 10.1142/S2251158X12000069 .

[5] FA Berezin , „Kilka uwag na temat powiązanej obwiedni algebry Liego”, Funct. Analny. Aplikacja 1 (1967) s. 91.

[6] Xavier Bekaert, „ Uniwersalne algebry obwiedniowe i niektóre zastosowania w fizyce ” (2005) Wykład, Modave Summer School in Mathematical Physics .

[7] C. Zachos , D. Fairlie i T. Curtright , „Mechanika kwantowa w przestrzeni fazowej” (World Scientific, Singapur, 2005) ISBN 978-981-238-384-6 .

[8] Cohen, L. (1995) Analiza czasowo-częstotliwościowa , Prentice-Hall, Nowy Jork, 1995. ISBN 978-0135945322 .

[9] Lee, HW (1995). „Teoria i zastosowanie kwantowych funkcji dystrybucji w przestrzeni fazowej”. Raporty fizyczne . 259 (3): 147. Bibcode : 1995PhR...259..147L . doi : 10.1016/0370-1573(95)00007-4 .

[10] Bibliografia _ Fairlie DB; Zachos, CK (2014). Zwięzły traktat o mechanice kwantowej w przestrzeni fazowej . Świat Naukowy . ISBN 9789814520430 .