Reprezentacja thety

W matematyce reprezentacja theta jest szczególną reprezentacją grupy Heisenberga w mechanice kwantowej . Swoją nazwę zawdzięcza temu, że funkcja theta Jacobiego jest niezmienna pod działaniem dyskretnej podgrupy grupy Heisenberga. Reprezentacja została spopularyzowana przez Davida Mumforda .

Budowa

$jest$ reprezentacją ciągłej grupy Heisenberga rzeczywistych W tej reprezentacji elementy grupowe działają na określoną przestrzeń Hilberta . Poniższa konstrukcja przebiega najpierw przez zdefiniowanie operatorów odpowiadających generatorom grupy Heisenberga. Następnie przestrzeń Hilberta, w której zdefiniowano te działania, po czym następuje demonstracja izomorfizmu ze zwykłymi reprezentacjami.

Generatory grup

Niech f ( z $będzie$ będzie funkcją holomorficzną , niech a i b będą liczbami rzeczywistymi i niech ustalona , ale dowolna liczba zespolona w górnej półpłaszczyźnie ; to znaczy, że część urojona $dodatnia$ . Zdefiniuj operatory S _a i T _b tak, aby działały na funkcje holomorficzne jako

${\ Displaystyle (S_ {a} f) (z) = f (z + a) = \ exp (a\częściowy _{z})f(z)}$

I

${\ Displaystyle (T_ {b} f) (z) = \ exp (i \ pi b ^ {2} \ tau + 2 \ pi ibz) f (z + b \ tau) = \ exp (i \ pi b ^ {2}\tau +2\pi ibz+b\tau \partial _{z})f(z).}$

Można zauważyć, że każdy operator generuje jednoparametrową podgrupę:

${\ Displaystyle S_ {a_ {1}} \ lewo (S_ {a_ {2}} f \ prawo)=\lewo(S_{a_{1}}\circ S_{a_{2}}\prawo)f=S_{a_{1}+a_{2}}f}$

I

${\ Displaystyle T_ {b_ {1}} \ lewo (T_ {b_ {2}} f \ prawo) = \ lewo (T_ {b_ {1}} \ circ T_ {b_ {2}} \ prawo) f = T_ {b_{1}+b_{2}}f.}$

Jednak S i T nie dojeżdżają do pracy:

${\ Displaystyle S_ {a} \ circ T_ {b} = \ exp (2 \ pi iab) T_ {b} \ circ S_ {a}.}$

Widzimy więc, że S i T wraz z jednostkową fazą tworzą nilpotentną grupę Liego , (ciągłą rzeczywistą) grupę Heisenberga , parametryzowalną jako ${\ Displaystyle H = U (1) \ razy \ mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ gdzie U (1) jest grupą unitarną .

Ogólny $_$ z _ _ _ _

${\ Displaystyle U _ {\ tau} (\ lambda, a, b) f (z) = \ lambda (S_ {a} \ circ T_ {b} f) (z) = \ lambda \ exp (i \ pi b ^ {2}\tau +2\pi ibz)f(z+a+b\tau )}$

gdzie ${\ Displaystyle \ lambda \ w U (1).}$${\ Displaystyle U (1) = Z (H)}$ jest środkiem H , podgrupą komutatora ${ \displaystyle [H,H]}$ . Parametr na $za$${\ Displaystyle U _ {\ tau} (\ lambda, a, b)}$ służy jedynie przypomnieniu, że każda inna wartość $powoduje$ reprezentację działania grupy.

Przestrzeń Hilberta

Działanie elementów $w$ pewnej Dla ustalonej wartości τ zdefiniuj normę dla całych funkcji płaszczyzny zespolonej jako

${\ Displaystyle \ Vert f \ Vert _ {\ tau} ^ {2} = \ int _ {\ mathbb {C}} \ exp \ lewo ({\ Frac {-2 \ pi y ^ {2}} {\ Im \tau }}\right)|f(x+iy)|^{2}\ dx\ dy.}$

Tutaj $,$ urojoną częścią ${\ displaystyle \ tau}$ dziedziną integracji jest cała płaszczyzna zespolona. Niech $zbiorem$ całych funkcji f o skończonej normie Indeks dolny $,$ że ​​​​przestrzeń zależy od wyboru parametru ${\ displaystyle \ tau}$ . H. $} _ {\ tau}}$ tworzy przestrzeń Hilberta . Podane powyżej działanie ${\ Displaystyle U _ {\ tau} (\ lambda, a, b)}$ jest jednolite na ${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} _ {\ tau }}$ , czyli ${\ Displaystyle U _ {\ tau} (\ lambda, a, b)}$ zachowuje normę w tej przestrzeni. Wreszcie działanie ${\ Displaystyle U _ {\ tau} (\ lambda, a,$$b$ na jest nieredukowalny .

Norma ta jest ściśle związana z normą używaną do definiowania przestrzeni Segala – Bargmanna .

izomorfizm

Powyższa reprezentacja theta grupy Heisenberga jest izomorficzna z kanoniczną reprezentacją Weyla grupy Heisenberga. W szczególności $}$ to, że są H $}} _ {\ tau$ \ mathcal { -moduły } . Pozwalać

$\ Displaystyle M (a, b, c) = {\ rozpocząć {bmatrix} 1 i a & c \\ 0 i 1 i b \\ 0 i 0 i 1 \ koniec {bmatrix}}$

oznaczają ogólny element grupowy ${\ Displaystyle H_ {3} (\ mathbb {R}).}$$działająca$ kanonicznej reprezentacji Weyla dla każdej liczby rzeczywistej ${\ Displaystyle L ^ {2} (\ mathbb {R})}$ istnieje reprezentacja na jak

${\ Displaystyle \ rho _ {h} (M (a, b ,c))\psi (x)=\exp(ibx+ihc)\psi (x+ha)}$

dla ${\ Displaystyle x \ in \ mathbb {R}}$ i ${\ Displaystyle \ psi \ w L ^ {2} (\ mathbb {R}).}$

Tutaj h jest stałą Plancka . Każda taka reprezentacja jest jednostkowo nierównoważna . Odpowiednia reprezentacja theta to:

${\ Displaystyle M (a, 0,0) \ do S_ {ah}}$

${\ Displaystyle M (0, b, 0 ) \ do T_ {b / 2 \ pi}}$

${\ Displaystyle M (0,0, c) \ do e ^ {ihc}}$

Dyskretna podgrupa

Zdefiniuj podgrupę jako ${\ Displaystyle \ Gamma _ {\ tau} \ podzbiór H_ {\ tau}}$

${\ Displaystyle \ Gamma _ {\ tau} = \ {U _ {\ tau} (1, a, b) \ w H _ {\ tau}: a, b \ w \ mathbb {Z} \}.}$

Funkcja theta Jacobiego jest zdefiniowana jako

${\ Displaystyle \ vartheta (z; \ tau) = \ suma _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ exp (\ pi w ^ {2} \ tau + 2 \ pi inz).}$

Jest to cała funkcja z , która jest niezmienna dla ${\ Displaystyle \ Gamma _ {\ tau}.}$ Wynika to z właściwości funkcji theta:

${\ Displaystyle \ vartheta (z + 1; \ tau) = \ vartheta (z; \ tau)}$

I

${\ Displaystyle \ vartheta (z + a + b \ tau; \ tau )=\exp(-\pi ib^{2}\tau -2\pi ibz)\vartheta (z;\tau )}$

gdy a i b są liczbami całkowitymi. Można wykazać, że Jacobi theta jest wyjątkową taką funkcją.

Zobacz też

• Przestrzeń Segala-Bargmanna
• Odporna przestrzeń

•   David Mumford, Tata Wykłady na Theta I (1983), Birkhäuser, Boston ISBN 3-7643-3109-7