Formuła kwantyzacji Kontsewicza

W matematyce wzór kwantyzacji Kontsevicha opisuje, jak skonstruować uogólnioną algebrę operatora iloczynu ★ z danej dowolnej skończenie wymiarowej rozmaitości Poissona . Ta algebra operatorów sprowadza się do kwantyzacji deformacji odpowiedniej algebry Poissona. To zasługa Maxima Kontsewicza .

Kwantyzacja deformacji algebry Poissona

Biorąc pod uwagę ħ , A [[ algebrę ]] Poissona ( ZA , {⋅, ⋅}) , kwantyzacja deformacji jest asocjacyjnym $iloczynem$ jednostkowym algebry formalnych szeregów potęgowych w , z zastrzeżeniem następujących dwa aksjomaty,

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} f \ gwiazda g&=fg+{\mathcal {O}}(\hbar )\\{}[f,g]&=f\gwiazda gg\gwiazda f=i\hbar \{f,g\}+{\mathcal {O} }(\hbar ^{2})\end{wyrównane}}}$

Gdyby ktoś otrzymał rozmaitość Poissona ( M , {⋅, ⋅}) , można by dodatkowo zapytać, że

${\ Displaystyle f \ gwiazda g = fg + \ suma _ {k = 1} ^ {\ infty} \ hbar ^ {k} B_{k}(f\czasami g),}$

gdzie B _k są liniowymi operatorami różniczkowymi stopnia co najwyżej k .

Mówimy, że dwie deformacje są równoważne, jeśli są one powiązane przez transformację cechowania typu,

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} D: A [[\ hbar ]] \ do A [[\ hbar ]] \\\ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} \ hbar ^ {k} f_ { k}\mapsto \sum _{k=0}^{\infty}\hbar ^{k}f_{k}+\sum _{n\geq 1,k\geq 0}D_{n}(f_{k })\hbar ^{n+k}\end{przypadki}}}$

gdzie D _n są operatorami różniczkowymi rzędu co najwyżej n . Odpowiedni produkt indukowany $displaystyle$$\ star '}$ jest wtedy ⋆ {\

${\ Displaystyle f \, {\ gwiazda} '\, g = D \ lewo (\ lewo (D ^ {-1} f \ prawo) \ gwiazda \ lewo (D ^ {-1} g \ prawo) \ prawo) .}$

Jako archetypowy przykład można rozważyć oryginalny produkt Groenewolda „Moyal – Weyl” ${\ displaystyle \ star}$ -product .

Grafy Kontsevicha

Graf Kontsevicha jest prostym grafem skierowanym bez pętli na 2 zewnętrznych wierzchołkach, oznaczonych jako f i g ; i n wierzchołków wewnętrznych, oznaczonych jako Π . Z każdego wierzchołka wewnętrznego wychodzą dwie krawędzie. Wszystkie (klasy równoważności) grafów o n wierzchołkach wewnętrznych są zgromadzone w zbiorze G _n (2) .

Przykładem dwóch wierzchołków wewnętrznych jest poniższy wykres,

Powiązany operator dwuróżnicowy

Z każdym wykresem Γ związany jest operator biróżniczkowy B _Γ ( f , g ) zdefiniowany w następujący sposób. Dla każdej krawędzi istnieje pochodna cząstkowa na symbolu wierzchołka docelowego. Jest zakontraktowany z odpowiednim indeksem z symbolu źródłowego. Termin dla wykresu Γ jest iloczynem wszystkich jego symboli wraz z ich pochodnymi cząstkowymi. Tutaj f i g oznaczają gładkie funkcje na rozmaitości, a Π to dwuwektor Poissona rozmaitości Poissona.

Termin dla przykładowego wykresu to

${\ Displaystyle \ Pi ^ {i_ {2} j_ {2}} \ częściowe _ {i_ {2}} \ Pi ^ {i_ {1} j_ {1}} \ częściowe _ {i_ {1}} f \, \częściowy _{j_{1}}\częściowy _{j_{2}}g.}$

Powiązana waga

Do dodania tych operatorów dwuróżnicowych służą wagi w _Γ grafu Γ . Po pierwsze, każdemu grafowi przypisana jest krotność m (Γ) , która określa, ile równoważnych konfiguracji istnieje dla jednego grafu. Zasada jest taka, że ​​suma krotności dla wszystkich grafów z n wierzchołkami wewnętrznymi wynosi ( n ( n + 1)) ⁿ . Powyższy przykładowy wykres ma krotność m (Γ) = 8 . W tym celu pomocne jest wyliczenie wewnętrznych wierzchołków od 1 do rz .

, musimy scałkować iloczyny kąta w górnej półpłaszczyźnie H w następujący sposób. Górna półpłaszczyzna jest wyposażona w metrykę H ⊂ $do {\ displaystyle \ mathbb {C}$

${\ Displaystyle ds ^ {2} = {\ Frac {dx ^ {2} + dy ^ {2}} {y ^ {2}}};}$

i dla dwóch punktów z , w ∈ H gdzie z ≠ w , mierzymy kąt φ między geodezją od z do i ∞ oraz od z do w przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. To jest

${\ Displaystyle \ phi (z, w) = {\ Frac {1} {2i}} \ log {\ Frac {(zw) (z- {\ bar {w}})} {({\ bar {z} }-w)({\bar {z}}-{\bar {w}})}}.}$

Dziedziną całkowania jest C _n ( H ) przestrzeń

${\ Displaystyle C_ {n} (H): = \ {(u_ {1}, \ kropki, u_ {n}) \ w H ^ {n}: u_ {i} \ neq u_ {j} \ dla wszystkich ja \ neq j\}.}$

Formuła kwoty

${\ Displaystyle w _ {\ Gamma}: = {\ Frac {m (\ Gamma)} {(2 \ pi) ^ {2n} n!}} \ int _ {C_ {n} (H)} \ bigwedge _ { j=1}^{n}\mathrm {d} \phi (u_{j},u_{t1(j)})\klin \mathrm {d} \phi (u_{j},u_{t2(j) })}$ ,

gdzie t 1( j ) i t 2 ( j ) są pierwszym i drugim wierzchołkiem docelowym wewnętrznego wierzchołka j . Wierzchołki f i g znajdują się w ustalonych pozycjach 0 i 1 w H .

Formuła

Biorąc pod uwagę powyższe trzy definicje, formuła Kontsevicha dla produktu gwiezdnego jest teraz

${\ Displaystyle f \ gwiazda g = fg + \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} \ lewo ({\ Frac {i \ hbar} {2}} \ prawej) ^ {n} \ suma _ {\ Gamma \in G_{n}(2)}w_{\Gamma}B_{\Gamma}(f\czasami g).}$

Jawna formuła do drugiego rzędu

$-produktu$ asocjatywność , łatwo jest bezpośrednio sprawdzić, czy wzór Kontsevicha musi zredukować się do drugiego rzędu w ħ do zaledwie

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} f \ gwiazda g & = fg + {\ tfrac {i \ hbar}} {2}} \ Pi ^ {ij} \ częściowe _ {i} f \, \ częściowe _ {j} g- {\tfrac {\hbar ^{2}}{8}}\Pi ^{i_{1}j_{1}}\Pi ^{i_{2}j_{2}}\częściowo _{i_{1}} \,\częściowe _{i_{2}}f\częściowe _{j_{1}}\,\częściowe _{j_{2}}g\\&-{\tfrac {\hbar ^{2}}{12 }}\Pi ^{i_{1}j_{1}}\częściowe _{j_{1}}\Pi ^{i_{2}j_{2}}(\częściowe _{i_{1}}\częściowe _ {i_{2}}f\,\częściowe _{j_{2}}g-\częściowe _{i_{2}}f\,\częściowe _{i_{1}}\częściowe _{j_{2}} g)+{\mathcal {O}}(\hbar ^{3})\end{wyrównane}}}$