symbol 3-j

W mechanice kwantowej symbole Wignera 3-j , zwane także symbolami 3 -jm , stanowią alternatywę dla współczynników Clebscha-Gordana w celu dodania momentu pędu. Podczas gdy oba podejścia dotyczą dokładnie tego samego problemu fizycznego, symbole 3- j robią to bardziej symetrycznie.

Matematyczny związek ze współczynnikami Clebscha-Gordana

3- j są podane w postaci współczynników Clebscha-Gordana przez

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} j_ {1} & j_ {2} i j_ {3} \\ m_ {1} & m_ {2} & m_ {3} \ koniec {pmatrix}} \ equiv {\ Frac {(-1 )^{j_{1}-j_{2}-m_{3}}}{\sqrt {2j_{3}+1}}}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2} \,m_{2}|j_{3}\,(-m_{3})\rangle .}$

Składowe j i m są liczbami kwantowymi momentu pędu, tj. każde j (i każde odpowiadające mu m ) jest albo nieujemną liczbą całkowitą, albo połową nieparzystą liczbą całkowitą . Wykładnik czynnika znaku jest zawsze liczbą całkowitą, więc pozostaje taki sam po transpozycji w lewo, a po podstawieniu następuje zależność odwrotna m ₃ → − m ₃ :

${\ Displaystyle \ langle j_ {1} \, m_ {1} \, j_ {2} \, m_ {2} | j_ {3} \, m_ {3} \ rangle = (-1) ^ {- j_ { 1}+j_{2}-m_{3}}{\sqrt {2j_{3}+1}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_ {2}&-m_{3}\end{pmatrix}}.}$

Związek definicyjny ze współczynnikami Clebscha-Gordana

Współczynniki CG są zdefiniowane w taki sposób, aby wyrazić dodanie dwóch momentów pędu w kategoriach trzeciego:

${\ Displaystyle | j_ {3} \, m_ {3} \ rangle = \ suma _ {m_ {1} = - j_ {1}} ^ {j_ {1}} \ suma _ {m_ {2} = - j_ {2}}^{j_{2}}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|j_{3}\,m_{3}\rangle |j_ {1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle .}$

3- j to współczynniki, z którymi należy dodać trzy momenty pędu, aby wypadkowa wynosiła zero:

${\ Displaystyle \ suma _ {m_ {1} = - j_ {1}} ^ {j_ {1}} \ suma _ {m_ {2} = - j_ {2}} ^ {j_ {2}} \ suma _ {m_{3}=-j_{3}}^{j_{3}}|j_{1}m_{1}\rangle |j_{2}m_{2}\rangle |j_{3}m_{3} \rangle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}=|0\,0\rangle .}$

tutaj ${\ Displaystyle | 0 \, 0 \ rangle}$ jest stanem zerowego momentu pędu ( ${\ Displaystyle j = m = 0}$ ). Jest oczywiste, że symbol 3- j traktuje wszystkie trzy momenty pędu biorące udział w problemie dodawania na równej stopie i dlatego jest bardziej symetryczny niż współczynnik CG.

Od stanu ${\ Displaystyle | 0 \, 0 \ rangle}$ nie zmienia się przez obrót, mówi się również, że skrócenie iloczynu trzech stanów obrotowych o symbolu 3- j jest niezmienne przy obrotach.

Zasady selekcji

Wignera 3- j wynosi zero, chyba że spełnione są wszystkie te warunki:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} & m_ {i} \ w \ {-j_ {i}, -j_ {i} + 1, -j_ {i} + 2, \ ldots, j_ {i} \} \ quad (i=1,2,3),\\&m_{1}+m_{2}+m_{3}=0,\\&|j_{1}-j_{2}|\równoważnik j_{3}\ leq j_{1}+j_{2},\\&(j_{1}+j_{2}+j_{3}){\text{ jest liczbą całkowitą (a ponadto parzystą liczbą całkowitą, jeśli }}m_{ 1}=m_{2}=m_{3}=0{\text{)}}.\\\end{wyrównane}}}$

Właściwości symetrii

3- j jest niezmienny przy parzystej permutacji jego kolumn:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} j_ {1} & j_ {2} i j_ {3} \\ m_ {1} & m_ {2} & m_ {3} \ koniec {pmatrix}} = {\ rozpocząć {pmatrix} j_ { 2}&j_{3}&j_{1}\\m_{2}&m_{3}&m_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}j_{3}&j_{1}&j_{2}\ \m_{3}&m_{1}&m_{2}\end{pmatrix}}.}$

Nieparzysta permutacja kolumn daje współczynnik fazy:

${\ Displaystyle {\ początek {pmatrix} j_ {1} & j_ {2} & j_ {3} \\ m_ {1} & m_ {2} & m_ {3} \ koniec {pmatrix}} = (-1) ^ {j_ { 1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{2}&j_{1}&j_{3}\\m_{2}&m_{1}&m_{3}\end{pmatrix} }=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{3}&j_{2}\\m_{1}&m_{3 }&m_{2}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{3}&j_{2}&j_{1 }\\m_{3}&m_{2}&m_{1}\end{pmatrix}}.}$

Zmiana znaku liczb kwantowych ( odwrócenie czasu ) również daje fazę: ${\ displaystyle m}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} j_ {1} & j_ {2} i j_ {3} \\ -m_ {1} & -m_ {2} & -m_ {3} \ koniec {pmatrix}} = (-1 )^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3} \end{pmacierz}}.}$

3- j mają również tak zwane symetrie Regge, które nie wynikają z permutacji ani odwrócenia czasu. Te symetrie to:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} j_ {1} & j_ {2} i j_ {3} \\ m_ {1} & m_ {2} & m_ { 3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}j_{1}&{\frac {j_{2}+j_{3}-m_{1}}{2}}&{\frac {j_{ 2}+j_{3}+m_{1}}{2}}\\j_{3}-j_{2}&{\frac {j_{2}-j_{3}-m_{1}}{2 }}-m_{3}&{\frac {j_{2}-j_{3}+m_{1}}{2}}+m_{3}\end{pmatrix}},}$

${\ Displaystyle {\ początek {pmatrix} j_ {1} & j_ {2} & j_ {3} \\ m_ {1} & m_ {2} & m_ {3} \ koniec {pmatrix}} = (-1) ^ {j_ { 1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}{\frac {j_{2}+j_{3}+m_{1}}{2}}&{\frac {j_{1 }+j_{3}+m_{2}}{2}}&{\frac {j_{1}+j_{2}+m_{3}}{2}}\\j_{1}-{\frac {j_{2}+j_{3}-m_{1}}{2}}&j_{2}-{\frac {j_{1}+j_{3}-m_{2}}{2}}&j_{ 3}-{\frac {j_{1}+j_{2}-m_{3}}{2}}\end{pmatrix}}.}$

W przypadku symetrii Regge symbol 3- j ma łącznie 72 symetrie. Najlepiej ilustruje to definicja symbolu Regge, który jest odpowiednikiem jeden do jednego między nim a symbolem 3- j i przyjmuje właściwości półmagicznego kwadratu:

${\ Displaystyle R = {\ rozpocząć {tablica} {| ccc |} \ hline -j_ {1} + j_ {2} + j_ {3} i j_ {1} -j_ {2} +j_{3}&j_{1}+j_{2}-j_{3}\\j_{1}-m_{1}&j_{2}-m_{2}&j_{3}-m_{3}\\ j_{1}+m_{1}&j_{2}+m_{2}&j_{3}+m_{3}\\\hlinia \end{tablica}},}$

przy czym 72 symetrie odpowiadają teraz 3! rząd i 3! wymiany kolumn plus transpozycja macierzy. Fakty te można wykorzystać do opracowania skutecznego schematu przechowywania.

Relacje ortogonalności

Układ dwóch momentów pędu o wielkościach j ₁ i j ₂ można opisać albo w kategoriach niezwiązanych stanów bazowych (oznaczonych liczbami kwantowymi m ₁ i m ₂ ), albo sprzężonych stanów bazowych (oznaczonych przez j ₃ i m ₃ ). Symbole 3- j stanowią jednolitą transformację między tymi dwiema bazami, a ta jedność implikuje relacje ortogonalności

${\ Displaystyle (2j_ {3} + 1) \ suma _ {m_ {1} m_ {2}} {\ rozpocząć {pmatrix} j_ {1} &j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j'_{3}\\ m_{1}&m_{2}&m'_{3}\end{pmatrix}}=\delta _{j_{3},j'_{3}}\delta _{m_{3},m'_{ 3}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\end{Bmatrix}},}$

${\ Displaystyle \ suma _ {j_ {3} m_ {3}} (2j_ {3} + 1) {\ rozpocząć {pmatrix} j_ {1} i j_ {2} i j_ {3} \\ m_ {1} i m_ { 2}&m_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}'&m_{2}'&m_{3}\end{pmatrix }}=\delta _{m_{1},m_{1}'}\delta _{m_{2},m_{2}'}.}$

Trójkątna delta    { j ₁ j ₂ j ₃ } jest równa 1, gdy triada ( j ₁ , j ₂ , j ₃ ) spełnia warunki trójkąta i jest zerowa w przeciwnym razie. Sama trójkątna delta jest czasami myląco nazywana „symbolem 3- j ” (bez m ) w analogii do symboli 6- j i 9- j , z których wszystkie są nieredukowalnymi sumami symboli 3- jm , w których nie pozostaje żadne m zmiennych.

Związek z harmonicznymi sferycznymi; Współczynniki chudego

3- jm oznaczają całkę iloczynów trzech harmonicznych sferycznych

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i \ int Y_ {l_ { 1}m_{1}}(\theta,\varphi)Y_{l_{2}m_{2}}(\theta,\varphi)Y_{l_{3}m_{3}}(\theta,\varphi) \,\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi \\&\quad ={\sqrt {\frac {(2l_{1}+1)(2l_{2} +1)(2l_{3}+1)}{4\pi }}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{ pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}\end{wyrównane}}}$

z ${\ displaystyle l_ {1}}$ , ${\ displaystyle l_ {2}}$ i ${\ displaystyle l_ {3}}$ liczbami całkowitymi. Całki te nazywane są współczynnikami Gaunta.

Związek z całkami harmonicznych sferycznych ważonych spinem

Podobne relacje istnieją dla sferycznych harmonicznych ważonych spinem, jeśli ${\ Displaystyle s_ {1} + s_ {2} + s_ {3} = 0}$ :

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} & \ int d \ mathbf {\ kapelusz {n}} \, _ {s_ {1}} \! Y_ {j_ {1} m_ {1}} (\ mathbf {\ kapelusz {n}} )\,_{s_{2}}\!Y_{j_{2}m_{2}}(\mathbf {\kapelusz {n}})\,_{s_{3}}\!Y_ {j_{3}m_{3}}(\mathbf {\hat {n}} )\\&\quad = {\sqrt {\frac {(2j_{1}+1)(2j_{2}+1) (2j_{3}+1)}{4\pi }}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end {pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\-s_{1}&-s_{2}&-s_{3}\end{pmatrix}}.\end {wyrównany}}}$

Relacje rekurencji

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} & {-} {\ sqrt {(l_ {3} \ mp s_ {3}) (l_ {3} \ pm s_ {3} + 1)}} {\ rozpocząć {pmatrix }l_{1}&l_{2}&l_{3}\\s_{1}&s_{2}&s_{3}\pm 1\end{pmatrix}}=\\&\quad ={\sqrt {(l_{ 1}\mp s_{1})(l_{1}\pm s_{1}+1)}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\s_{1}\ pm 1&s_{2}&s_{3}\end{pmatrix}}+{\sqrt {(l_{2}\mp s_{2})(l_{2}\pm s_{2}+1)}}{\ rozpocząć{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\s_{1}&s_{2}\pm 1&s_{3}\end{pmatrix}}.\end{wyrównane}}}$

Wyrażenia asymptotyczne

l ${\ Displaystyle l_ {1} \ ll l_ {2}, l_ {3}}$ niezerowy 3- j symbol

${\ Displaystyle {\ zacząć {pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}\około (-1)^{l_{3}+m_{ 3}}{\frac {d_{m_{1},l_{3}-l_{2}}^{l_{1}}(\theta )}{\sqrt {2l_{3}+1}}}, }$

gdzie ${\ Displaystyle \ cos (\ teta) = -2m_ {3}/(2l_ {3}+1)}$ i ${\ Displaystyle d_ {mn} ^ {l}}$ jest funkcją Wignera . Ogólnie lepsze przybliżenie zgodne z symetrią Regge'a podaje wzór

${\ Displaystyle { \begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}\około (-1)^{l_{3}+ m_{3}}{\frac {d_{m_{1},l_{3}-l_{2}}^{l_{1}}(\theta)}{\sqrt {l_{2}+l_{3 }+1}}},}$

gdzie ${\ Displaystyle \ cos (\ teta) = (m_ {2} -m_ {3}) / (l_ {2} }+l_{3}+1)}$ .

Tensor metryczny

Następująca wielkość działa jako tensor metryczny w teorii momentu pędu i jest również znana jako symbol Wignera 1-jm :

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} j \\ m \ quad m '\ koniec {pmatrix}}: = {\ sqrt {2j + 1}} {\ rozpocząć {pmatrix} j & 0 i j \\ m & 0 i m '\ koniec {pmatrix} }=(-1)^{jm'}\delta _{m,-m'}.}$

Można go użyć do odwrócenia czasu na momentach pędu.

Przypadki specjalne i inne właściwości

${\ Displaystyle \ suma _ {m} (-1) ^ {jm} {\ początek {pmatrix} j & j & J \\ m & -m & 0 \ koniec {pmatrix}} = {\ sqrt {2j + 1}} \, \ delta _ {J,0}.}$

Z równania (3.7.9) w

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} j & j & 0 \\ m & -m & 0 \ koniec {pmatrix}} = {\ Frac {1} {\ sqrt {2j + 1}}} (-1) ^ {jm}.}$

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {2}} \ int _ { -1}^{1}P_{l_{1}}(x)P_{l_{2}}(x)P_{l}(x)\,dx={\begin{pmatrix}l&l_{1}&l_{ 2}\\0&0&0\end{pmacierz}}^{2},}$

gdzie P to wielomiany Legendre'a .

Stosunek do współczynników Racah V

Wignera 3- j są powiązane ze współczynnikami Racah V przez prostą fazę:

${\ Displaystyle V (j_ {1} \, j_ {2} \, j_ {3}; m_ {1} \, m_ {2} \, m_ {3}) = (-1) ^ {j_ {1} -j_{2}-j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}. }$

Związek z teorią grup

Ta sekcja zasadniczo przekształca relację definicyjną w języku teorii grup.

Grupowa reprezentacja grupy jest homomorfizmem grupy w grupę przekształceń liniowych w pewnej przestrzeni wektorowej. Przekształcenia liniowe mogą być dane przez grupę macierzy względem jakiejś bazy przestrzeni wektorowej.

Grupą przekształceń pozostawiających niezmienny moment pędu jest trójwymiarowa grupa rotacji SO(3) . Gdy uwzględnione są „spinowe” momenty pędu, grupa jest jej podwójną grupą pokrywającą , SU(2) .

Reprezentacja redukowalna to taka, w której można zastosować zmianę podstawy, aby doprowadzić wszystkie macierze do postaci przekątnej bloku. Reprezentacja jest nieredukowalna (irrep), jeśli taka transformacja nie istnieje.

Dla każdej wartości j 2 j +1 kets tworzą podstawę dla nieredukowalnej reprezentacji (irrep) SO(3)/SU(2) na liczbach zespolonych. Biorąc pod uwagę dwa nierepsy, iloczyn bezpośredni tensora można zredukować do sumy nierepsów, co daje współczynniki Clebcsha-Gordona lub przez redukcję potrójnego iloczynu trzech nierepsów do trywialnego nierepsu 1 , co daje początek symbolom 3j.

3j symbole dla innych grup

Symbol był najintensywniej badany w kontekście sprzężenia $.$ W tym celu jest silnie powiązany z teorią reprezentacji grupowej grup SU(2) i SO(3), jak omówiono powyżej. $fizyce$ wiele innych grup ma znaczenie w i chemii i poświęcono wiele pracy nad symbolem tych innych grup W tej sekcji omówiono niektóre z tych prac.

Po prostu redukowalne grupy

Oryginalny artykuł Wignera nie ograniczał się do SO(3)/SU(2), ale skupiał się na grupach łatwo redukowalnych (SR). Są to grupy, w których

• wszystkie klasy są ambiwalentne, tj. jeśli jest członkiem klasy, to tak samo jest $X$${-1}}$
• iloczyn Kroneckera z dwóch powtórzeń jest wolny od krotności, tj. nie zawiera żadnych powtórzeń więcej niż jeden raz.

Dla grup SR każdy nierep jest równoważny jego zespolonemu koniugatowi, a przy permutacjach kolumn wartość bezwzględna symbolu jest niezmienna, a fazę każdego można wybrać tak, aby co najwyżej zmieniały znak przy nieparzystych permutacjach i pozostawały niezmienione przy parzystych permutacje.

Ogólne grupy zwarte

Grupy zwarte tworzą szeroką klasę grup o strukturze topologicznej . Obejmują one grupy skończone z dodaną topologią dyskretną oraz wiele grup Liego .

Ogólne zwarte grupy nie będą ani ambiwalentne, ani wolne od wielości. Derome i Sharp and Derome zbadali symbol dla przypadku ogólnego, używając relacji do współczynników Clebscha-Gordona ${\ displaystyle 3j}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} j_ {1} & j_ {2} i j_ {3} \\ m_ {1} & m_ {2} & m_ {3} \ koniec {pmatrix}} \ equiv {\ frac {1} [j_{3}]}}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|j_{3}^{*}\,m_{3}\rangle . }$

gdzie ${\ Displaystyle [j]}$ jest wymiarem przestrzeni reprezentacji $Displaystyle$ jest złożoną reprezentacją koniugatu $}$$\displaystyle j_{3}}$$}$ .

Badając permutacje kolumn $symbolu ,$ trzy przypadki

• jot ${\ Displaystyle j_ {1}, j_ {2}, j_ {3}}$$,$ wówczas można wybrać jako niezmienny w dowolnej permutacji swoich kolumn
• jeśli dokładnie dwa są równoważne, to transpozycje jego kolumn można wybrać tak, aby niektóre symbole były niezmienne, a inne zmieniały znak. Podejście wykorzystujące wieniec $}$ grupy z $[1 ^$ odpowiadają one reprezentacjom lub [ 1 $Displaystyle$ grupy symetrycznej ${\ Displaystyle S_ {2}}$ . $symbol$ permutacje pozostawiają .
• jeśli wszystkie trzy są równoważne, zachowanie zależy od reprezentacji grupy symetrycznej ${\ displaystyle S_ {3}}$ . Reprezentacje grupy $przy$ odpowiadające kolumn, co odpowiada $transpozycjami$ , podczas gdy para dwuwymiarowa reprezentacja $się$ zgodnie z

Dalsze badania nad symbolami grup $zasady$ zostały przeprowadzone w oparciu o te

Słońce)

Specjalna grupa unitarna SU(n) to grupa Liego macierzy unitarnych n × n z wyznacznikiem 1.

Grupa SU(3) jest ważna w teorii cząstek elementarnych . $symbolu$ wiele artykułów dotyczących symbolu równoważnego

symbol grupy SU (4), podczas gdy trwają również prace nad ogólnymi grupami SU (n) 3 jot {\ $}$

Grupy punktów krystalograficznych

Istnieje wiele artykułów dotyczących symboli lub $współczynników$ -Gordona dla skończonych grup punktów krystalograficznych i punktów podwójnych. Książka Butlera odwołuje się do nich i szczegółowo opisuje teorię wraz z tabelami.

Grupy magnetyczne

Grupy magnetyczne obejmują operatory antyliniowe, jak również operatory liniowe. Trzeba się z nimi uporać, korzystając z teorii współprzedstawień grup unitarnych i antyunitarnych Wignera . Znaczącym odejściem od standardowej teorii reprezentacji jest to, że wielość nieredukowalnej rdzeniowej reprezentacji $iloczynie$ nieredukowalnych rdzeniowych reprezentacji $\otimes j_ {2}}$$\ Displaystyle j_$ jest generalnie mniejsze niż krotność trywialnej reprezentacji rdzenia w potrójnym produkcie ${\ Displaystyle j_ {1} \ otimes j_ {2} \ otimes j_ {3}}$ , $prowadzi do$ różnic między współczynnikami Clebscha-Gordona a symbolem.

Symbole zostały zbadane pod kątem grup szarych i grup punktów magnetycznych $displaystyle 3j}$ jot {

Zobacz też

• Współczynniki Clebscha-Gordana
• Harmoniczne sferyczne
• symbol 6-j
• symbol 9-j

• LC Biedenharn i JD Louck, Moment pędu w fizyce kwantowej , tom 8 Encyklopedii Matematyki, Addison-Wesley, Reading, 1981.
• DM Brink i GR Satchler, Momentum kątowe , wydanie 3, Clarendon, Oxford, 1993.
• AR Edmonds, Moment pędu w mechanice kwantowej , wydanie 2, Princeton University Press, Princeton, 1960.
•    Maximon, Leonard C. (2010), „Symbole 3j, 6j, 9j” , w: Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (red.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5 , MR 2723248
• Varshalovich, DA; Moskalow, AN; Chersonskij, WK (1988). Kwantowa teoria momentu pędu . World Scientific Publishing Co.
•   Regge, T. (1958). „Właściwości symetrii współczynników Clebscha-Gordona”. Nowe Cimento . 10 (3): 544–545. Bibcode : 1958NCim...10..544R . doi : 10.1007/BF02859841 . S2CID 122299161 .

• Horie, Hisashi (1964). „Reprezentacje grupy symetrycznej i ułamkowe współczynniki pochodzenia”. J. Fiz. soc. Jpn . 19 (10): 1783. Bibcode : 1964JPSJ...19.1783H . doi : 10.1143/JPSJ.19.1783 .
•   Itzykson, C.; Nauenberg, M. (1966). „Grupy unitarne: reprezentacje i dekompozycje”. Wielebny Mod. fizyka . 38 (1): 95. Bibcode : 1966RvMp...38...95I . doi : 10.1103/RevModPhys.38.95 . OSTI 1444219 .
•   Kramer, P. (1967). „Orbitalne ułamkowe współczynniki pochodzenia dla modelu powłoki oscylatora harmonicznego”. Z. Fiz . 205 (2): 181. Bibcode : 1967ZPhy..205..181K . doi : 10.1007/BF01333370 . S2CID 122879812 .
•   Kramer, P. (1968). „Współczynniki ponownego sprzężenia grupy symetrycznej dla konfiguracji modelu powłoki i klastra”. Z. Fiz . 216 (1): 68. Bibcode : 1968ZPhy..216...68K . doi : 10.1007/BF01380094 . S2CID 121508850 .
• Lezuo, KJ ​​(1972). „Grupa symetryczna i podstawa Gel'fanda U (3). Uogólnienia tożsamości Diraca”. J. Matematyka. fizyka . 13 (9): 1389. Bibcode : 1972JMP....13.1389L . doi : 10.1063/1.1666151 .
• Paldus, Josef (1974). „Teoretyczne podejście grupowe do obliczeń interakcji konfiguracyjnych i teorii zaburzeń dla układów atomowych i molekularnych”. J. Chem. fizyka . 61 (12): 5321. Bibcode : 1974JChPh..61.5321P . doi : 10.1063/1.1681883 .
• Schulten, Klaus; Gordon, Roy G. (1975). „Dokładna rekurencyjna ocena współczynników 3j i 6j dla kwantowo-mechanicznego sprzężenia momentów pędu”. J. Matematyka. fizyka . 16 (10): 1961–1970. Bibcode : 1975JMP....16.1961S . doi : 10.1063/1.522426 .
• Paldus, Josef (1976). „Podejście grup unitarnych do problemu korelacji wielu elektronów: Relacja preparatów tableau Gelfanda i Weyla”. fizyka Wielebny A. 14 (5): 1620. Bibcode : 1976PhRvA..14.1620P . doi : 10.1103/PhysRevA.14.1620 .
• Raynal, Jacques (1978). „O definicji i właściwościach uogólnionych symboli 3-j”. J. Matematyka. fizyka . 19 (2): 467. doi : 10.1063/1.523668 .
• Sarma, CR; Sahasrabudhe, GG (1980). „Permutacyjna symetria wielu stanów cząstek”. J. Matematyka. fizyka . 21 (4): 638. Bibcode : 1980JMP....21..638S . doi : 10.1063/1.524509 .
• Chen, Jin-Quan; Gao, Mei-Juan (1982). „Nowe podejście do reprezentacji grupy permutacji”. J. Matematyka. fizyka . 23 (6): 928. Bibcode : 1982JMP....23..928C . doi : 10.1063/1.525460 .
• Sarma, CR (1982). „Określenie podstawy dla nieredukowalnych reprezentacji grupy unitarnej dla U (p + q) ↓ U (p) × U (q)”. J. Matematyka. fizyka . 23 (7): 1235. Bibcode : 1982JMP....23.1235S . doi : 10.1063/1.525507 .
• Chen, J.-Q.; Chen, X.-G. (1983). „Podstawa Gel'fanda i elementy macierzowe stopniowanej grupy unitarnej U (m / n)”. J. Fiz. A. _ 16 (15): 3435. Bibcode : 1983JPhA...16.3435C . doi : 10.1088/0305-4470/16/15/010 .
• Nikam, RS; Dinesha, KV; Sarma, CR (1983). „Redukcja reprezentacji produktów wewnętrznych grup unitarnych”. J. Matematyka. fizyka . 24 (2): 233. Bibcode : 1983JMP....24..233N . doi : 10.1063/1.525698 .
• Chen, Jin-Quan; Collinson, David F.; Gao, Mei-Juan (1983). „Współczynniki transformacji grup permutacji”. J. Matematyka. fizyka . 24 (12): 2695. Bibcode : 1983JMP....24.2695C . doi : 10.1063/1.525668 .
• Chen, Jin-Quan; Gao, Mei-Juan; Chen, Xuan-Gen (1984). „Współczynnik Clebscha-Gordana dla podstawy SU (m / n) Gel'fanda”. J. Fiz. A. _ 17 (3): 481. Bibcode : 1984JPhA...17..727K . doi : 10.1088/0305-4470/17/3/011 .
•   Srinivasa Rao, K. (1985). „Specjalne tematy w kwantowej teorii momentu pędu”. Pramana . 24 (1): 15–26. Bibcode : 1985Prama..24...15R . doi : 10.1007/BF02894812 . S2CID 120663002 .
• Wei, Liqiang (1999). „Ujednolicone podejście do dokładnego obliczania współczynników sprzężenia i ponownego sprzężenia momentu pędu”. Oblicz. fizyka Komuna . 120 (2–3): 222–230. Bibcode : 1999CoPhC.120..222W . doi : 10.1016/S0010-4655(99)00232-5 .
• Rasch, J.; Yu, ACH (2003). „Wydajny schemat przechowywania dla wstępnie obliczonych współczynników Wignera 3j, 6j i Gaunt”. SIAM J. Sci. Oblicz . 25 (4): 1416–1428. doi : 10.1137/s1064827503422932 .

Linki zewnętrzne

• Kamień, Antoni. „Kalkulator współczynnika Wignera” .
• Volya, A. „Clebsch-Gordan, 3- j i 6- j Kalkulator internetowy współczynników” . Zarchiwizowane od oryginału w dniu 2007-09-29. (Liczbowy)
• Stevenson, Paweł (2002). „Clebsch-O-Matic” . Komunikacja w dziedzinie fizyki komputerowej . 147 (3): 853–858. Bibcode : 2002CoPhC.147..853S . doi : 10.1016/S0010-4655(02)00462-9 .
• Kalkulator symboli 369j w Laboratorium Plazmy Instytutu Nauki Weizmanna (numeryczne)
• Frederik J Simons: Archiwum oprogramowania Matlab, kod THREEJ.M
• Sage (oprogramowanie matematyczne) Daje dokładną odpowiedź dla dowolnej wartości j, m
• Johansson, HT; Forssen, C. "(WIGXJPF)" . (dokładne; C, fortran, python)
• Johansson, HT "(FASTWIGXJ)" . (szybkie wyszukiwanie, dokładne; C, fortran)