symbol 6-j

Diagram Jucysa dla symbolu Wignera 6-j. Znak plus na węzłach wskazuje odczyt otaczających linii w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Ze względu na jego symetrie istnieje wiele sposobów rysowania diagramu. Równoważną konfigurację można stworzyć, biorąc jej lustrzane odbicie i zamieniając w ten sposób plusy na minusy.

6- j Symbole Wignera zostały wprowadzone przez Eugene'a Paula Wignera w 1940 r. I opublikowane w 1965 r. Są one zdefiniowane jako suma iloczynów czterech symboli Wignera 3-j ,

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {Bmatrix} j_ {1} i j_ {2} i j_ {3} \\ j_ {4} i j_ {5} i j_ {6} \ koniec {Bmatrix}} = \ suma _ {m_ {1} ,\kropki ,m_{6}}(-1)^{\suma _{k=1}^{6}(j_{k}-m_{k})}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_ {2}&j_{3}\\-m_{1}&-m_{2}&-m_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{5}&j_{6} \\m_{1}&-m_{5}&m_{6}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{4}&j_{2}&j_{6}\\m_{4}&m_{2} &-m_{6}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{4}&j_{5}&j_{3}\\-m_{4}&m_{5}&m_{3}\end{pmatrix} }.}$

Sumowanie obejmuje wszystkie sześć m _i dozwolonych przez reguły wyboru symboli 3- j .

Są one ściśle związane ze współczynnikami Racah W , które są używane do ponownego sprzężenia 3 momentów pędu, chociaż symbole Wignera 6- j mają wyższą symetrię i dlatego zapewniają bardziej wydajny sposób przechowywania współczynników ponownego sprzężenia. Ich związek określa:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {Bmatrix} j_ {1} i j_ {2} i j_ {3} \\ j_ {4} i j_ {5} i j_ {6} \ koniec {Bmatrix}} = (-1) ^ {j_ { 1}+j_{2}+j_{4}+j_{5}}W(j_{1}j_{2}j_{5}j_{4};j_{3}j_{6}).}$

Relacje symetrii

6- j jest niezmienny przy dowolnej permutacji kolumn:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {Bmatrix} j_ {1} i j_ {2} i j_ {3} \\ j_ {4} i j_ {5} i j_ {6} \ koniec {Bmatrix}} = {\begin{Bmatrix}j_{2}&j_{1}&j_{3}\\j_{5}&j_{4}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{1}&j_ {3}&j_{2}\\j_{4}&j_{6}&j_{5}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{3}&j_{2}&j_{1}\\j_{ 6}&j_{5}&j_{4}\end{Bmacierz}}=\cdots }$

6- j jest również niezmienny, jeśli górne i dolne argumenty są zamienione w dowolnych dwóch kolumnach:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {Bmatrix} j_ {1} i j_ {2} i j_ {3} \\ j_ {4} i j_ {5} i j_ {6} \ koniec {Bmatrix}} = {\ rozpocząć {Bmatrix} j_ { 4}&j_{5}&j_{3}\\j_{1}&j_{2}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{5}&j_{6}\ \j_{4}&j_{2}&j_{3}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{2}&j_{6}\\j_{1}&j_{5}&j_{ 3}\end{Bmacierz}}.}$

Równania te odzwierciedlają 24 operacje symetrii grupy automorfizmów , które pozostawiają powiązany czworościenny wykres Yutsis z 6 niezmiennymi krawędziami: operacje lustrzane, które wymieniają dwa wierzchołki i zamieniają sąsiednią parę krawędzi.

Symbol 6- j

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {Bmatrix} j_ {1} i j_ {2} i j_ {3} \\ j_ {4} i j_ {5} i j_ {6} \ koniec {Bmacierz}}}$

wynosi zero, chyba że j ₁ , j ₂ i j ₃ spełniają warunki trójkąta, tj.

${\ Displaystyle j_ {1} = | j_ {2} -j_ {3} |, \ ldots, j_ {2} + j_ {3}}$

W połączeniu z relacją symetrii dla zamiany argumentów górnych i dolnych pokazuje to, że warunki trójkąta muszą być również spełnione dla triad ( j ₁ , j ₅ , j ₆ ), ( j ₄ , j ₂ , j ₆ ) i ( j ₄ , s ₅ , s ₃ ). Ponadto suma każdego z elementów triady musi być liczbą całkowitą. Dlatego elementy każdej triady są albo wszystkie liczbami całkowitymi, albo zawierają jedną liczbę całkowitą i dwie pół-całkowite.

Szczególny przypadek

Gdy j ₆ = 0 wyrażenie dla symbolu 6- j jest następujące:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {Bmatrix} j_ {1} i j_ {2} i j_ {3} \\ j_ {4} i j_ {5} i 0 \ koniec {Bmatrix}} = {\ Frac {\ delta _ {j_ {2 },j_{4}}\delta _{j_{1},j_{5}}}{\sqrt {(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)}}}(-1)^ {j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\end{Bmatrix}}.}$

Trójkątna delta      { j ₁ j ₂ j ₃ } jest równa 1, gdy triada ( j ₁ , j ₂ , j ₃ ) spełnia warunki trójkąta, a zero w przeciwnym przypadku. Relacje symetrii można wykorzystać do znalezienia wyrażenia, gdy inne j jest równe zeru.

Relacja ortogonalności

6- j spełniają tę relację ortogonalności:

${\ Displaystyle \ suma _ {j_ {3}} (2j_ {3} + 1) {\ rozpocząć {Bmatrix} j_ {1} i j_ {2} i j_ {3} \\ j_ {4} i j_ {5} i j_ { 6}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}'\end{Bmatrix}}={\ frac {\delta _{j_{6}^{}j_{6}'}}{2j_{6}+1}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{5}&j_{6}\end{ Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{2}&j_{6}\end{Bmatrix}}.}$

asymptotyczne

Niezwykły wzór na asymptotyczne zachowanie symbolu 6- j został po raz pierwszy wymyślony przez Ponzano i Regge, a później udowodniony przez Robertsa. Formuła asymptotyczna ma zastosowanie, gdy wszystkie sześć liczb kwantowych j ₁ , ..., j ₆ jest dużych i wiąże symbol 6- j z geometrią czworościanu. Jeżeli symbol 6- j jest określony przez liczby kwantowe j ₁ , ..., j ₆ , związany z nim czworościan ma długości krawędzi J _i = j _i +1/2 (i=1,...,6) a wzór asymptotyczny jest dany przez,

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {Bmatrix} j_ {1} i j_ {2} i j_ {3} \\ j_ {4} i j_ {5} i j_ {6} \ koniec {Bmatrix}} \ sim {\ frac {1} \sqrt {12\pi |V|}}}\cos {\left(\sum _{i=1}^{6}J_{i}\theta _{i}+{\frac {\pi}}{4 }}\Prawidłowy)}.}$

Notacja jest następująca: Każdy θi _{jest zewnętrznym} kątem dwuściennym wokół krawędzi Ji powiązanego czworościanu, a współczynnik amplitudy jest wyrażony jako objętość V tego czworościanu.

Interpretacja matematyczna

W teorii reprezentacji symbole 6- j są macierzowymi współczynnikami izomorfizmu asocjatorów w kategorii tensorowej . Na przykład, jeśli mamy dane trzy reprezentacje V _i , V _j , V _k grupy (lub grupy kwantowej ), jedna ma naturalny izomorfizm

${\ Displaystyle (V_ {i} \ czasami V_ {j}) \ czasami V_ {k} \ do V_ {i} \ czasami (V_{j}\czasami V_{k})}$

reprezentacji iloczynu tensorowego, indukowanych przez koasocjatywność odpowiedniej bialgebry . Jednym z aksjomatów definiujących kategorię monoidów jest to, że asocjatory spełniają tożsamość pięciokątną, która jest równoważna tożsamości Biedenharna-Elliota dla symboli 6- j .

Kiedy kategoria monoidalna jest półprosta, możemy ograniczyć naszą uwagę do obiektów nieredukowalnych i zdefiniować przestrzenie krotności

${\ Displaystyle H_ {i, j} ^ {\ ell} = \ operatorname {Hom} (V_ {\ ell}, V_ {i} \ czasami V_{j})}$

tak, że produkty tensorowe rozkładają się jako:

${\ Displaystyle V_ {i} \ czasami V_ {j} = \ bigoplus _ {\ ell} H_ {i, j} ^ {\ ell} \ czasami V_{\ell}}$

gdzie suma obejmuje wszystkie klasy izomorfizmu obiektów nieredukowalnych. Następnie:

${\ Displaystyle (V_ {i} \ czasami V_ {j}) \ czasami V_ {k} \ cong \ bigoplus _ {\ ell, m} H_ {i, j} ^ {\ ell}$

Izomorfizm asocjatywności indukuje izomorfizm przestrzeni wektorowej

${\ Displaystyle \ Phi _ {i, j} ^ {k, m}:\bigoplus _{\ell }H_{i,j}^{\ell }\czasami H_{\ell ,k}^{m}\to \bigoplus _{n}H_{i,n}^{ m}\oraz H_{j,k}^{n}}$

a symbole 6j są zdefiniowane jako mapy składowe:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {Bmatrix} i & j & \ ell \\ k & m & n \ koniec {Bmatrix}} = (\ Phi _ {i, j}^{k,m})_{\ell,n}}$

Gdy przestrzenie krotności mają kanoniczne elementy bazowe i wymiar co najwyżej jeden (jak w przypadku SU (2) w tradycyjnym układzie), te odwzorowania składowych można interpretować jako liczby, a symbole 6- j stają się zwykłymi współczynnikami macierzy.

Mówiąc abstrakcyjnie, symbole 6- j to dokładnie informacje, które są tracone podczas przechodzenia z półprostej kategorii monoidalnej do jej pierścienia Grothendiecka , ponieważ można zrekonstruować strukturę monoidalną za pomocą asocjatora. W przypadku reprezentacji skończonej grupy dobrze wiadomo, że tablica znaków (która określa podstawową kategorię abelową i strukturę pierścienia Grothendiecka) nie określa grupy aż do izomorfizmu, podczas gdy symetryczna struktura kategorii monoidalnej tak, przez dualność Tannaki-Kreina . W szczególności dwie nieabelowe grupy rzędu 8 mają równoważne abelowe kategorie reprezentacji i izomorficzne pierścienie Grothdendiecka, ale symbole 6- j ich kategorii reprezentacji są różne, co oznacza, że ​​ich kategorie reprezentacji są nierównoważne jako kategorie monoidalne. Zatem symbole 6- j dają pośredni poziom informacji, który w rzeczywistości jednoznacznie określa grupy w wielu przypadkach, na przykład gdy grupa jest nieparzysta lub prosta.

Zobacz też

• Współczynniki Clebscha-Gordana
• symbol 3-j
• Współczynnik Racah W
• symbol 9-j

Notatki

•   Biedenharn, Karolina Południowa ; Van Dam, H. (1965). Kwantowa teoria momentu pędu: zbiór przedruków i oryginalnych artykułów . Prasa akademicka . ISBN 0-12-096056-7 .

•   Edmonds AR (1957). Moment pędu w mechanice kwantowej . Wydawnictwo Uniwersytetu Princeton . ISBN 0-691-07912-9 .

•   Condon, Edward U.; Shortley, GH (1970). „3. Moment pędu” . Teoria widm atomowych . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge . ISBN 0-521-09209-4 .
•    Maximon, Leonard C. (2010), „Symbole 3j, 6j, 9j” , w: Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (red.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5 , MR 2723248
•   Mesjasz Albert (1981). Mechanika kwantowa . Tom. II (wyd. 12). Wydawnictwo Północnej Holandii . ISBN 0-7204-0045-7 .

•   Brink, DM; Satchler, GR (1993). „2. Reprezentacje Grupy Rotacyjnej” . Moment pędu (wyd. 3). Prasa Clarendona . ISBN 0-19-851759-9 .

•   Zare, Richard N. (1988). „2. Sprzężenie dwóch wektorów momentu pędu”. Moment pędu . Wiley'a . ISBN 0-471-85892-7 .

•   Biedenharn, Kalifornia; Louck, JD (1981). Moment pędu w fizyce kwantowej . Addison-Wesley . ISBN 0-201-13507-8 .

Linki zewnętrzne

•   Regge, T. (1959). „Właściwości symetrii współczynników Racaha”. Nowe Cimento . 11 (1): 116-7. Bibcode : 1959NCim...11..116R . doi : 10.1007/BF02724914 . S2CID 121333785 .
• Kamień, Antoni. „Kalkulator współczynnika Wignera” . (Podaje dokładną odpowiedź)
• Simons, Frederik J. „Archiwum oprogramowania Matlab, kod SIXJ.M” .
• Volya, A. „Clebsch-Gordan, 3-j i 6-j Kalkulator internetowy współczynników” . Zarchiwizowane od oryginału w dniu 2012-12-20.
• Laboratorium Plazmy Instytutu Nauki Weizmanna. „Kalkulator symboli 369j” .
• biblioteka naukowa GNU . „Współczynniki sprzężenia” .
• Johansson, HT; Forssen, C. "(WIGXJPF)" . (dokładne; C, fortran, python)
• Johansson, HT "(FASTWIGXJ)" . (szybkie wyszukiwanie, dokładne; C, fortran)