Współczynnik W Racaha

Współczynniki W Racaha zostały wprowadzone przez Giulio Racaha w 1942 roku. Współczynniki te mają definicję czysto matematyczną. W fizyce wykorzystuje się je w obliczeniach polegających na kwantowo-mechanicznym opisie momentu pędu , np. w teorii atomowej .

Współczynniki pojawiają się, gdy w zadaniu występują trzy źródła momentu pędu. Rozważmy na przykład atom z jednym elektronem na orbicie s i jednym elektronem na orbicie p . Każdy elektron ma spinowy moment pędu elektronu , a dodatkowo orbital p ma orbitalny moment pędu (orbital s ma orbitalny moment pędu zerowy). Atom można opisać za pomocą LS lub jj , jak wyjaśniono w artykule na temat sprzężenia momentu pędu . Transformacja między funkcjami falowymi odpowiadającymi tym dwóm sprzężeniom wymaga współczynnika W Racaha.

symbolom 6-j Wignera , więc każde równanie zawierające współczynniki W Racaha można przepisać przy użyciu symboli 6- j . Jest to często korzystne, ponieważ właściwości symetrii symboli 6- j są łatwiejsze do zapamiętania.

Moment pędu we współczynnikach Racaha W. Góra to rzut płaski 2D jako czworokąt, dół to układ czworościenny 3D.

Współczynniki Racaha są powiązane ze współczynnikami ponownego sprzęgania przez

{\ Displaystyle W (j_ {1} j_ {2} Jj_ {3}; J_ {12} J_ {23}) \ równoważnik {\ Frac {\ langle (j_ {1}, (j_ {2} j_ {3} )J_{23})J|((j_{1}j_{2})J_{12},j_{3})J\rangle }{\sqrt {(2J_{12}+1)(2J_{23} +1)}}}.}

Współczynniki sprzęgania są elementami transformacji unitarnej , a ich definicja została podana w następnym podrozdziale. Współczynniki Racaha mają wygodniejsze właściwości symetrii niż współczynniki ponownego łączenia (ale mniej wygodne niż symbole 6- j ).

Współczynniki ponownego sprzęgania

Sprzężenie dwóch momentów kątowych $}$ jest konstrukcją równoczesnych funkcji własnych jot $\ mathbf {$ $displaystyle$ ${J} ^ {2}}$ i ${\ displaystyle J_ {z}}$ , gdzie ${\ displaystyle \ mathbf {J} = \ mathbf {j} _ {1} + \ mathbf { j} _{2}}$ , jak wyjaśniono w artykule na temat współczynników Clebscha – Gordana . Wynik to

{\ Displaystyle | (j_ {1} j_ {2}) JM \ rangle = \ suma _ {m_ {1} = -j_ {1}} ^ {j_ {1}} \ suma _ {m_ {2} =-j_{2}}^{j_{2}}|j_{1}m_{1}\rangle |j_{2}m_{2}\rangle \lange j_{1}m_{1}j_{2} m_{2}|JM\rangle ,}

gdzie ${\ Displaystyle J = | j_ {1} -j_ {2} |, \ ldots, j_ {1} + j_ {2}}$ i ${\ displaystyle M=-J,\ldots,J}$ .

Sprzężenie trzech momentów kątowych i jot $}$ $3}}$ , $} _ {2}$ $displaystyle \ mathbf {j$ , można to zrobić przez pierwsze połączenie i ${\ displaystyle \ mathbf {j} _ {2}$ $}$ do $mathbf {j} _ {1}} J} _ {12}}$ $połączenie$ następne i ${\ Displaystyle \ mathbf {j} _ {3}}$ do całkowitego momentu pędu ${\ displaystyle \ mathbf {J}}$ :

{\ Displaystyle | ((j_ {1} j_ {2}) J_ {12} j_ {3}) JM \ rangle = \ suma _ {M_ {12} = -J_ {12}} ^ {J_ { 12}}\sum _{m_{3}=-j_{3}}^{j_{3}}|(j_{1}j_{2})J_{12}M_{12}\rangle |j_{3 }m_{3}\rangle \lange J_{12}M_{12}j_{3}m_{3}|JM\rangle }

Alternatywnie, można najpierw połączyć i $\ displaystyle \ mathbf {j}$ $_ {3}}$ do $}}$ $_ {2}$ $}$ i następna para i do : ${\$ displaystyle \ $_ {1}$

{\ Displaystyle | (j_ {1}, (j_ {2} j_ {3}) J_ {23}) JM \ rangle = \ suma _ {m_ {1} = -j_ {1}} ^ {j_ {1}}\sum _{M_{23}=-J_{23}}^{J_{23}}|j_{1}m_{1}\rangle |(j_{2}j_{3})J_{ 23}M_{23}\rangle \lange j_{1}m_{1}J_{23}M_{23}|JM\rangle }

Oba schematy sprzęgania dają kompletne podstawy ortonormalne dla ${\ displaystyle (2j_ {1} +1) (2j_ {2} +1) (2j_{3}+1)}$ przestrzeń wymiarowa rozpięta przez

{\ Displaystyle | j_ {1} m_ {1} \ rangle | j_ {2} m_ {2} \ rangle | j_ {3} m_ {3} \ rangle, \; \; m_ {1} = -j_ {1 },\ldots ,j_{1};\;\;m_{2}=-j_{2},\ldots ,j_{2};\;\;m_{3}=-j_{3},\ldots ,j_{3}.}

Stąd dwie całkowite podstawy momentu pędu są powiązane transformacją jednostkową. Elementy macierzy tej jednolitej transformacji są podawane w postaci iloczynu skalarnego i są znane jako współczynniki ponownego sprzęgania. Współczynniki są niezależne od $tak$ mamy