Sprzężenie momentu pędu

W mechanice kwantowej procedura konstruowania stanów własnych całkowitego momentu pędu ze stanów własnych oddzielnych momentów pędu nazywana jest sprzężeniem momentu pędu . Na przykład orbita i spin pojedynczej cząstki mogą oddziaływać poprzez interakcję spin-orbita , w którym to przypadku pełny obraz fizyczny musi obejmować sprzężenie spin-orbita. Lub dwie naładowane cząstki, z których każda ma dobrze określony moment pędu, mogą oddziaływać siłami Coulomba , w którym to przypadku sprzężenie dwóch jednocząstkowych momentów pędu z całkowitym momentem pędu jest użytecznym krokiem w rozwiązaniu dwucząstkowego Schrödingera równanie . W obu przypadkach oddzielne momenty pędu nie są już stałymi ruchu , ale suma dwóch momentów pędu zwykle nadal nimi jest. Sprzężenie momentu pędu w atomach ma duże znaczenie w spektroskopii atomowej . Sprzężenie momentu pędu spinów elektronów ma duże znaczenie w chemii kwantowej . Również w modelu powłoki jądrowej sprzężenie momentu pędu jest wszechobecne.

W astronomii sprzężenie spinowo-orbitalne odzwierciedla ogólne prawo zachowania momentu pędu , które obowiązuje również w układach niebieskich . W prostych przypadkach kierunek wektora momentu pędu jest pomijany, a sprzężenie spin-orbita jest stosunkiem między częstotliwością, z jaką planeta lub inne ciało niebieskie obraca się wokół własnej osi, do częstotliwości, z jaką okrąża inne ciało. Jest to powszechnie znane jako rezonans orbitalny . Często podstawowymi efektami fizycznymi są siły pływowe .

Ogólna teoria i szczegółowe pochodzenie

Orbitalny moment pędu (oznaczony l lub L ).

Zachowanie momentu pędu

Zasada zachowania momentu pędu jest zasadą, że całkowity moment pędu układu ma stałą wartość i kierunek, jeśli układ nie jest poddany żadnemu zewnętrznemu momentowi obrotowemu . Moment pędu jest właściwością układu fizycznego, która jest stałą ruchu (nazywaną również właściwością zachowaną , niezależną od czasu i dobrze zdefiniowaną) w dwóch sytuacjach:

System doświadcza sferycznie symetrycznego pola potencjału.
Układ porusza się (w sensie mechaniki kwantowej) w przestrzeni izotropowej.

W obu przypadkach operator momentu pędu dojeżdża do hamiltonianu układu. Dzięki relacji niepewności Heisenberga oznacza to, że moment pędu i energia (wartość własna hamiltonianu) mogą być mierzone w tym samym czasie.

Przykładem pierwszej sytuacji jest atom, którego elektrony działają tylko na siłę kulombowską jądra atomowego . Jeśli zignorujemy interakcję elektron-elektron (i inne małe interakcje, takie jak sprzężenie spin-orbita ), orbitalny moment pędu $l$ każdego elektronu komutuje się z całkowitym hamiltonianem. W tym modelu hamiltonian atomowy jest sumą energii kinetycznych elektronów i sferycznie symetrycznych oddziaływań elektron-jądro. Pojedynczy moment kątowy elektronu $l i$ komutuje z tym hamiltonianem. Oznacza to, że są to zachowane właściwości tego przybliżonego modelu atomu.

Przykładem drugiej sytuacji jest sztywny wirnik poruszający się w przestrzeni wolnej od pola. Sztywny wirnik ma dobrze określony, niezależny od czasu moment pędu.

Te dwie sytuacje wywodzą się z mechaniki klasycznej. Trzeci rodzaj zachowanego momentu pędu, związany ze spinem , nie ma klasycznego odpowiednika. Jednak wszystkie zasady sprzężenia momentu pędu dotyczą również spinu.

Ogólnie zachowanie momentu pędu implikuje pełną symetrię obrotową (opisaną przez grupy SO(3) i SU(2) ) i odwrotnie, symetria sferyczna implikuje zachowanie momentu pędu. Jeśli dwa lub więcej układów fizycznych ma zachowany moment pędu, przydatne może być połączenie tych pędów w całkowity moment pędu połączonego układu — zachowana właściwość całego układu. Tworzenie stanów własnych całkowitego zachowanego momentu pędu ze stanów własnych momentu pędu poszczególnych podukładów nazywa się sprzężeniem momentu pędu .

Zastosowanie sprzężenia momentu pędu jest przydatne, gdy istnieje interakcja między podsystemami, które bez interakcji zachowałyby moment pędu. Przez samo oddziaływanie symetria sferyczna podukładów zostaje zerwana, ale moment pędu całego układu pozostaje stałą ruchu. Wykorzystanie tego ostatniego faktu jest pomocne w rozwiązaniu równania Schrödingera.

Przykłady

Jako przykład rozważymy dwa elektrony w atomie (powiedzmy atomie helu ) oznaczonym $i$ = 1 i 2. Jeśli nie ma interakcji elektron-elektron, a jedynie interakcja elektron-jądro, to dwa elektrony mogą obracać się wokół jądro niezależnie od siebie; nic się nie dzieje z ich energią. Oba operatory, $l1$ i $l2 ,$ _są zachowane _. Jeśli jednak włączymy oddziaływanie elektron-elektron, które zależy od odległości $d$ (1,2) między elektronami, to tylko jednoczesny i równy obrót dwóch elektronów pozostawi niezmiennik $d (1,2).$ W takim przypadku ani $l$ _1, ani $l$ ₂ nie jest stałą ruchu w ogólności, ale całkowity orbitalny moment pędu $L$ = $l$ ₁ + $l$ ₂ jest. Biorąc pod uwagę stany własne $l$ ₁ i $l$ ₂ , konstrukcja stanów własnych $L$ (która wciąż jest zachowana) jest sprzężeniem momentów pędów elektronów 1 i 2.

Całkowita orbitalna liczba kwantowa momentu pędu $L$ jest ograniczona do wartości całkowitych i musi spełniać trójkątny warunek, że ${\ Displaystyle | l_ {1} -l_ {2} | \ równoważnik L \ równoważnik l_ {1} + l_ {2}}$ tak, że trzy nieujemne wartości całkowite mogą odpowiadać trzem boki trójkąta.

W mechanice kwantowej sprzężenie istnieje również między momentami pędu należącymi do różnych przestrzeni Hilberta pojedynczego obiektu, np. jego spinem i orbitalnym momentem pędu . Jeśli spin ma wartości połówkowe, takie jak 1/2 połówkowych . dla elektronu, wówczas całkowity (orbitalny plus spin) moment pędu będzie również ograniczony do wartości

Powtarzając nieco inaczej powyższe: rozbudowujemy stany kwantowe układów złożonych (tzn. złożonych z podjednostek takich jak dwa atomy wodoru lub dwa elektrony ) w zbiory bazowe , które składają się z iloczynów tensorowych stanów kwantowych , które z kolei opisują poszczególne podukłady. Zakładamy, że stany podsystemów można wybrać jako stany własne ich operatorów momentu pędu (i ich składowej wzdłuż dowolnej $z$ ).

Podsystemy są zatem poprawnie opisane parą $ℓ$ , $m$ liczb kwantowych (szczegóły w rozdziale dotyczącym momentu pędu ). Kiedy zachodzi interakcja między podsystemami, całkowity hamiltonian zawiera terminy, które nie dojeżdżają do pracy z operatorami kątowymi działającymi tylko na podsystemy. Jednak warunki te dojeżdżają do pracy z operatorem całkowitego momentu pędu. Czasami odnosi się do niekomutujących terminów interakcji w hamiltonianie jako terminów sprzężenia momentu pędu , ponieważ wymagają one sprzężenia momentu pędu.

Sprzężenie spinowo-orbitalne

Zachowanie atomów i mniejszych cząstek dobrze opisuje teoria mechaniki kwantowej , w której każda cząsteczka ma wewnętrzny moment pędu zwany spinem , a określone konfiguracje (np. elektronów w atomie) są opisywane przez zbiór liczb kwantowych . Zbiory cząstek mają również momenty pędu i odpowiadające im liczby kwantowe, aw różnych okolicznościach momenty pędu części łączą się na różne sposoby, tworząc moment pędu całości. Sprzężenie momentu pędu to kategoria obejmująca niektóre sposoby, w jakie cząstki subatomowe mogą oddziaływać ze sobą.

W fizyce atomowej sprzężenie spinowo-orbitalne , znane również jako spin-pairing , opisuje słabe oddziaływanie magnetyczne lub sprzężenie spinu cząstki i ruchu orbitalnego tej cząstki, np. spinu elektronu i jego ruchu wokół jądra atomowego . Jednym z jej efektów jest oddzielenie energii stanów wewnętrznych atomu, np. spinowo wyrównanych i spinowo wyrównanych, które inaczej miałyby identyczną energię. Ta interakcja jest odpowiedzialna za wiele szczegółów budowy atomu.

W fizyce ciała stałego sprzężenie spinowe z ruchem orbitalnym może prowadzić do rozszczepienia pasm energii w wyniku efektów Dresselhausa lub Rashby .

W makroskopowym świecie mechaniki orbitalnej termin sprzężenie spin-orbita jest czasami używany w tym samym znaczeniu, co rezonans spin-orbita .

sprzęgło LS

Ilustracja sprzężenia LS. Całkowity moment pędu J jest zielony, orbita L jest niebieska, a spin S jest czerwony.

W lekkich atomach (zwykle Z ≤ 30) spiny elektronów s _i oddziałują między sobą, więc łączą się, tworząc całkowity spinowy moment pędu S . To samo dzieje się z orbitalnym momentem pędu ℓ _i , tworząc całkowity orbitalny moment pędu L . Interakcja między liczbami kwantowymi L i S nazywana jest sprzężeniem Russella-Saundersa (od nazwiska Henry'ego Norrisa Russella i Fredericka Saundersa ) lub sprzężeniem LS . Następnie S i L łączą się ze sobą i tworzą całkowity moment pędu J :

{\ Displaystyle \ mathbf {J} = \ mathbf {L} + \ mathbf {S}, \,}

gdzie L i S to sumy:

{\ Displaystyle \ mathbf {L} = \ suma _ {i} {\ boldsymbol {\ ell}} _ {i}, \ \ mathbf {S} = \ suma _ {i} \ mathbf {s} _ {i} .\,}

Jest to przybliżenie, które jest dobre, o ile zewnętrzne pola magnetyczne są słabe. W większych polach magnetycznych te dwa pędy rozdzielają się, powodując inny wzór podziału na poziomach energii ( efekt Paschen-Back ), a wielkość członu sprzężenia LS staje się mała.

Aby zapoznać się z obszernym przykładem praktycznego zastosowania sprzężenia LS, zobacz artykuł na temat symboli terminów .

sprzęgło jj

W cięższych atomach sytuacja jest inna. W atomach o większych ładunkach jądrowych interakcje spin-orbita są często tak duże lub większe niż interakcje spin-spin lub interakcje orbita-orbita. W tej sytuacji każdy orbitalny moment pędu ℓ _i ma tendencję do łączenia się z odpowiadającym mu indywidualnym spinowym momentem pędu s _i , dając początek indywidualnemu całkowitemu momentowi pędu j _i . Te następnie łączą się, tworząc całkowity moment pędu J

{\ Displaystyle \ mathbf {J} = \ suma _ {i} \ mathbf {j} _ {i} = \ suma _ {i} ({\ boldsymbol {\ ell}} _ {i} + \ mathbf {s} _{I}).}

Opis ten, ułatwiający obliczenie tego rodzaju oddziaływań, nosi nazwę sprzężenia jj .

Sprzężenie spinowo-spinowe

Sprzężenie spinowo-spinowe to sprzężenie wewnętrznego momentu pędu ( spinu ) różnych cząstek. Sprzężenie J między parami spinów jądrowych jest ważną cechą spektroskopii magnetycznego rezonansu jądrowego (NMR), ponieważ może dostarczyć szczegółowych informacji o strukturze i konformacji cząsteczek. Sprzężenie spin-spin między spinem jądrowym a spinem elektronowym jest odpowiedzialne za strukturę nadsubtelną w widmach atomowych .

Symbole terminów

Symbole term są używane do reprezentowania stanów i przejść widmowych atomów, wynikają ze sprzężenia momentów kątowych wspomnianych powyżej. Gdy stan atomu został określony za pomocą symbolu terminu, dozwolone przejścia można znaleźć za pomocą reguł wyboru, biorąc pod uwagę, które przejścia zachowałyby moment pędu . Foton ma spin 1, a gdy nastąpi przejście z emisją lub absorpcją fotonu, atom będzie musiał zmienić stan, aby zachować moment pędu . Reguły wyboru symboli terminów to: $Δ S$ = 0; $ΔL =$ 0, ±1; $Δ l$ = ± 1; $ΔJ =$ 0, ±1 .

Wyrażenie „symbol terminu” pochodzi od „serii terminów” związanych ze stanami Rydberga atomu i ich poziomami energetycznymi . We wzorze Rydberga częstotliwość lub liczba falowa światła emitowanego przez atom wodoru jest proporcjonalna do różnicy między dwoma składnikami przejścia. Szeregi znane wczesnej spektroskopii zostały oznaczone jako ostre , główne , rozproszone i podstawowe , w związku z czym litery $S, P, D$ i $F$ były używane do reprezentowania stanów orbitalnego momentu pędu atomu.

Efekty relatywistyczne

W bardzo ciężkich atomach relatywistyczne przesunięcie energii poziomów energii elektronów uwydatnia efekt sprzężenia spinowo-orbitalnego. Tak więc na przykład diagramy orbitali molekularnych uranu muszą bezpośrednio zawierać symbole relatywistyczne, gdy rozważa się interakcje z innymi atomami. ^{[ potrzebne źródło ]}

Sprzężenie jądrowe

W jądrach atomowych oddziaływanie spin-orbita jest znacznie silniejsze niż w przypadku elektronów atomowych i jest włączone bezpośrednio do modelu powłoki jądrowej. Ponadto, w przeciwieństwie do symboli terminów atomowo-elektronowych, najniższym stanem energetycznym nie jest $L - S$ , ale raczej $ℓ + s$ . Wszystkie poziomy jądrowe, których $ℓ$ (orbitalny moment pędu) jest większa od zera, są zatem dzielone w modelu powłoki, aby utworzyć stany oznaczone przez $ℓ + s$ i $ℓ - s$ . Ze względu na naturę modelu powłoki , który zakłada średni potencjał, a nie centralny potencjał kulombowski, nukleony przechodzące w stany jądrowe $ℓ + s$ i $ℓ - s są uważane za$ zdegenerowane w obrębie każdego orbitalu (np. The 2 $p$ 3 / 2 zawiera cztery nukleony, wszystkie o tej samej energii. Wyższa energia jest 2 $p$ 1 / 2 , która zawiera dwa nukleony o równej energii).

Zobacz też

Notatki

^ R. Resnick, R. Eisberg (1985). Fizyka kwantowa atomów, cząsteczek, ciał stałych, jąder i cząstek (wyd. 2). John Wiley & Synowie. ISBN 978-0-471-87373-0 .
^ PW Atkins (1974). Quanta: podręcznik pojęć . Oxford University Press. ISBN 0-19-855493-1 .
^ Merzbacher, Eugen (1998). Mechanika kwantowa (wyd. 3). Johna Wileya. s. 428–429. ISBN 0-471-88702-1 .
^ The Russell Saunders Coupling Scheme RJ Lancashire, UCDavis ChemWiki (dostęp: 26 grudnia 2015)
^ R. Resnick, R. Eisberg (1985). Fizyka kwantowa atomów, cząsteczek, ciał stałych, jąder i cząstek (wyd. 2). John Wiley & Synowie. P. 281 . ISBN 978-0-471-87373-0 .
^ BH Bransden, CJJoachain (1983). Fizyka atomów i cząsteczek . Longmana. s. 339 –341. ISBN 0-582-44401-2 .
^ R. Resnick, R. Eisberg (1985). Fizyka kwantowa atomów, cząsteczek, ciał stałych, jąder i cząstek (wyd. 2). John Wiley & Synowie. ISBN 978-0-471-87373-0 .
^ PW Atkins (1974). Quanta: podręcznik pojęć . Oxford University Press. P. 226. ISBN 0-19-855493-1 .
^ Herzberg, Gerhard (1945). Widma atomowe i struktura atomowa . Nowy Jork: Dover. s. 54 –55. ISBN 0-486-60115-3 .

Linki zewnętrzne

[1] R. Resnick, R. Eisberg (1985). Fizyka kwantowa atomów, cząsteczek, ciał stałych, jąder i cząstek (wyd. 2). John Wiley & Synowie. ISBN 978-0-471-87373-0 .

[2] PW Atkins (1974). Quanta: podręcznik pojęć . Oxford University Press. ISBN 0-19-855493-1 .

[3] Merzbacher, Eugen (1998). Mechanika kwantowa (wyd. 3). Johna Wileya. s. 428–429. ISBN 0-471-88702-1 .

[4] The Russell Saunders Coupling Scheme RJ Lancashire, UCDavis ChemWiki (dostęp: 26 grudnia 2015)

[5] R. Resnick, R. Eisberg (1985). Fizyka kwantowa atomów, cząsteczek, ciał stałych, jąder i cząstek (wyd. 2). John Wiley & Synowie. P. 281 . ISBN 978-0-471-87373-0 .

[6] BH Bransden, CJJoachain (1983). Fizyka atomów i cząsteczek . Longmana. s. 339 –341. ISBN 0-582-44401-2 .

[7] R. Resnick, R. Eisberg (1985). Fizyka kwantowa atomów, cząsteczek, ciał stałych, jąder i cząstek (wyd. 2). John Wiley & Synowie. ISBN 978-0-471-87373-0 .

[8] PW Atkins (1974). Quanta: podręcznik pojęć . Oxford University Press. P. 226. ISBN 0-19-855493-1 .

[9] Herzberg, Gerhard (1945). Widma atomowe i struktura atomowa . Nowy Jork: Dover. s. 54 –55. ISBN 0-486-60115-3 .