Podstawa sferyczna

„Tensor sferyczny” przekierowuje tutaj. Aby zapoznać się z pojęciem związanym z operatorami, zobacz operator tensora .

W matematyce czystej i stosowanej , zwłaszcza w mechanice kwantowej i grafice komputerowej oraz ich zastosowaniach, podstawa sferyczna jest podstawą wyrażania tensorów sferycznych . Podstawa sferyczna jest ściśle związana z opisem momentu pędu w mechanice kwantowej i sferycznych funkcji harmonicznych.

Podczas gdy sferyczne współrzędne biegunowe są jednym ortogonalnym układem współrzędnych do wyrażania wektorów i tensorów przy użyciu kątów biegunowych i azymutalnych oraz odległości promieniowej, podstawa sferyczna jest zbudowana ze standardowej podstawy i wykorzystuje liczby zespolone .

W trzech wymiarach

Wektor A w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej R ³ można wyrazić w znanym kartezjańskim układzie współrzędnych w standardowej bazie e _x , e _y , e _z , oraz współrzędnych A _x , A _y , A _z :

${\ Displaystyle \ mathbf {A} = A_ {x} \ mathbf {e} _ {x} + A_ {y} \ mathbf {e} _ { y}+A_{z}\mathbf {e} _{z}}$

 

 

 

 

()

lub dowolny inny układ współrzędnych z powiązanym podstawowym zestawem wektorów. Z tego rozszerz skalary, aby umożliwić $\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {3}$ przez liczby zespolone, tak że teraz pracujemy raczej w ^ ${3}$ niż w .

Definicja podstawy

₀₀ W sferycznych podstawach oznaczonych e ₊ , e ₋ , e , i związanych z nimi współrzędnych względem tej podstawy, oznaczonych A ₊ , A ₋ , A , wektor A jest:

$\ Displaystyle \ mathbf {A} = A_ {+} \ mathbf {e} _ {+} + A_ {-} \ mathbf {e} _ {-} +A_{0}\mathbf {e} _{0}}$

 

 

 

 

()

gdzie sferyczne wektory bazowe można zdefiniować w kategoriach bazy kartezjańskiej przy użyciu współczynników o wartościach zespolonych w płaszczyźnie xy :

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ mathbf {e} _ {+} & = - {\ Frac {1} {1} {\ sqrt {2}}} \ mathbf {e} _ {x} - {\ frac {i }{\sqrt {2}}}\mathbf {e} _{y}\\\mathbf {e} _{-}&=+{\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathbf {e } _{x}-{\frac {i}{\sqrt {2}}}\mathbf {e} _{y}\\\end{aligned}}\quad \rightleftharpoons \quad \mathbf {e} _{ \pm }=\mp {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\mathbf {e} _{x}\pm i\mathbf {e} _{y}\right)\,}$

 

 

 

 

()

w którym oznacza jednostkę urojoną i jedną normalną do płaszczyzny w kierunku z : ${\ displaystyle i}$

${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {0} = \ mathbf {e} _ {z}}$

Relacje odwrotne to:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ mathbf {e} _ {x} & = -{\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathbf {e} _{+}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathbf {e_{-}} \\\ mathbf {e} _{y}&=+{\frac {i}{\sqrt {2}}}\mathbf {e} _{+}+{\frac {i}{\sqrt {2}}}\ mathbf {e_{-}} \\\mathbf {e} _{z}&=\mathbf {e} _{0}\end{wyrównane}}}$

 

 

 

 

()

Definicja komutatora

Chociaż podanie podstawy w przestrzeni trójwymiarowej jest prawidłową definicją tensora sferycznego, obejmuje tylko przypadek, gdy ranga $rang$ można użyć albo komutatora, albo obrotu Definicja tensora sferycznego. Definicja komutatora jest podana poniżej, każdy operator , który spełnia następujące relacje, jest tensorem sferycznym: ${\ Displaystyle T_ {q} ^ {(k)}}$

$${\ Displaystyle [J_ {\ pm}, T_ {q} ^ {(k) }]=\hbar {\sqrt {(k\mp q)(k\pm q+1)}}T_{q\pm 1}^{(k)}}$$

$${\ Displaystyle [J_ {z}, T_ {q} ^ {(k)}] = \ hbar qT_ {q} ^ {(k) }}$$

Definicja rotacji

Analogicznie do tego, jak sferyczne harmoniczne przekształcają się podczas obrotu, ogólny tensor sferyczny przekształca się w następujący sposób, gdy stany przekształcają się pod jednolitą macierzą D Wignera , ${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} (R)}$ re R jest elementem grupy (obrót 3 × 3) w SO (3) . Oznacza to, że te macierze reprezentują elementy grupy rotacji. Za pomocą algebry Liego można pokazać, że te dwie definicje są równoważne.

${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} (R) T_ { q}^{(k)}{\mathcal {D}}^{\sztylet}(R)=\sum _{q'=-k}^{k}T_{q'}^{(k)}{ \mathcal {D}}_{q'q}^{(k)}}$

Zobacz też: macierz Wignera D

Wektory współrzędnych

Główny artykuł: wektor współrzędnych

₀ Dla podstawy sferycznej współrzędne są liczbami zespolonymi A ₊ , A , A ₋ i można je znaleźć przez podstawienie ( 3B ) do ( 1 ) lub bezpośrednio obliczyć z iloczynu wewnętrznego ⟨, ⟩ ( 5 ):

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} A_ {+} & = \ lewo \ langle \ mathbf {A} \ mathbf {e} _ {+} \ prawo \ rangle = - {\ frac {A_{x}}{\sqrt {2}}}+{\frac {iA_{y}}{\sqrt {2}}}\\A_{-}&=\left\langle \mathbf {A} , \mathbf {e} _{-}\right\rangle =+{\frac {A_{x}}{\sqrt {2}}}+{\frac {iA_{y}}{\sqrt {2}}} \\\end{aligned}}\quad \rightleftharpoons \quad A_{\pm }=\left\langle \mathbf {e} _{\pm },\mathbf {A} \right\rangle ={\frac {1 }{\sqrt {2}}}\left(\mp A_{x}+iA_{y}\right)}$

 

 

 

 

()

${\ Displaystyle A_ {0} = \ lewo \ langle \ mathbf {e} _ {0}, \ mathbf {A} \ prawo \ rangle = \ lewo\langle \mathbf {e} _{z},\mathbf {A} \prawo\rangle =A_{z}}$

z odwrotnymi relacjami:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} A_ {x} i = - {\ Frac { 1}{\sqrt {2}}}A_{+}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}A_{-}\\A_{y}&=-{\frac {i}{\ sqrt {2}}}A_{+}-{\frac {i}{\sqrt {2}}}A_{-}\\A_{z}&=A_{0}\end{wyrównane}}}$

 

 

 

 

()

Ogólnie rzecz biorąc, dla dwóch wektorów o zespolonych współczynnikach w tej samej bazie ortonormalnej o wartościach rzeczywistych e _i , z właściwością e _i · e _j = δ _ij , iloczyn wewnętrzny wynosi:

$\ Displaystyle \ lewo \ langle \ mathbf {a} \ mathbf {b} \ prawo \ rangle = \ mathbf {a} \ cdot \$

 

 

 

 

()

gdzie · jest zwykłym iloczynem skalarnym , a koniugat zespolony * musi być użyty, aby wielkość (lub „norma”) wektora była dodatnio określona .

Właściwości (trzy wymiary)

ortonormalność

Baza sferyczna jest bazą ortonormalną , ponieważ iloczyn wewnętrzny ⟨, ⟩ ( 5 ) każdej pary znika, co oznacza, że ​​wszystkie wektory bazowe są wzajemnie ortogonalne :

${\ Displaystyle \ lewo \ langle \ mathbf {e} _ {+}, \ mathbf {e} _ {-} \ prawo \rangle =\left\langle \mathbf {e} _{-},\mathbf {e} _{0}\right\rangle =\left\langle \mathbf {e} _{0},\mathbf {e} _{+}\prawo\rangle =0}$

a każdy wektor bazowy jest wektorem jednostkowym :

${\ Displaystyle \ lewo \ langle \ mathbf {e} _ {+}, \ mathbf {e} _ {+} \ prawo\rangle =\lewo\langle \mathbf {e} _{-},\mathbf {e} _{-}\prawo\rangle =\lewo\langle \mathbf {e} _{0},\mathbf {e } _{0}\prawo\rangle =1}$

stąd potrzeba współczynników normalizujących ${\ displaystyle 1/\! {\ sqrt {2}}}$ .

Zmiana macierzy bazowej

Zobacz też: zmiana podstawy

Relacje definiujące ( 3A ) można podsumować macierzą transformacji U :

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} \ mathbf {e} _{+}\\\mathbf {e} _{-}\\\mathbf {e} _{0}\end{pmatrix}}=\mathbf {U} {\begin{pmatrix}\mathbf {e} _ {x}\\\mathbf {e} _{y}\\\mathbf {e} _{z}\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {U} ={\begin{pmatrix}-{ \frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\+{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{ \frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\,,}$

z odwrotnością:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} \ mathbf {e} _ {x} \\\ mathbf {e} _ {y} \\\ mathbf {e} _ {z} \ koniec {pmatrix}} = \ mathbf { U} ^{-1}{\begin{pmatrix}\mathbf {e} _{+}\\\mathbf {e} _{-}\\\mathbf {e} _{0}\end{pmatrix}} \,,\quad \mathbf {U} ^{-1}={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&+{\frac {1}{\sqrt {2 }}}&0\\+{\frac {i}{\sqrt {2}}}&+{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\,. }$

Można zauważyć, że U jest macierzą unitarną , innymi słowy jej sprzężenie hermitowskie U ^† ( koniugat zespolony i transpozycja macierzy ) jest jednocześnie macierzą odwrotną U ⁻¹ .

Dla współrzędnych:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} A_ {+} \\ A_ {-} \\ A_ {0} \ koniec {pmatrix}} = \ mathbf {U} ^ {\ operatorname {*}}} {\ rozpocząć {pmatrix }A_{x}\\A_{y}\\A_{z}\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {U} ^{\mathrm {*} }={\begin{pmatrix}-{ \frac {1}{\sqrt {2}}}&+{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\+{\frac {1}{\sqrt {2}}}&+{ \frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\,,}$

i odwrotność:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} A_ {x} \\ A_ {y} \\ A_ {z} \ koniec {pmatrix}} = (\ mathbf {U} ^ {\ operatorname {*}}) ^ {- 1}{\begin{pmatrix}A_{+}\\A_{-}\\A_{0}\end{pmatrix}}\,,\quad (\mathbf {U} ^{\mathrm {*} }) ^{-1}={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&+{\frac {1}{\sqrt {2}}}&0\\-{\frac {i}{\sqrt {2}}}&-{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\,.}$

Produkty krzyżowe

Biorąc iloczyny krzyżowe sferycznych wektorów bazowych, znajdujemy oczywistą zależność:

${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {q} \ razy \ mathbf {e} _ {q} = {\ boldsymbol {0}}}$

gdzie q jest symbolem zastępczym dla +, −, 0 i dwóch mniej oczywistych relacji:

${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {\ pm} \ razy \ mathbf {e} _ {\ mp} = \ pm i \ mathbf {e} _ {0}}$

$\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {\ pm} \ razy \ mathbf {e} _ {0} = \ pm i \ mathbf {e} _ {\ pm}}$

Produkt wewnętrzny w kulistej podstawie

Iloczyn wewnętrzny między dwoma wektorami A i B w podstawie sferycznej wynika z powyższej definicji iloczynu wewnętrznego:

${\ Displaystyle \ lewo \ langle \ mathbf {A} \ mathbf {B} \ prawo \ rangle = A_ {+} B_ { +}^{\star }+A_{-}B_{-}^{\star }+A_{0}B_{0}^{\star }}$

Zobacz też

• Twierdzenie Wignera-Eckarta
• Macierz Wignera D
• Grupa obrotu 3D

Ogólny

•   SSM Wong (2008). Wstępna fizyka jądrowa (wyd. 2). John Wiley & Synowie. ISBN 978-35-276-179-13 .