Sferyczne harmoniczne ważone spinem

W funkcjach specjalnych , temat w matematyce , harmoniczne sferyczne ważone spinem są uogólnieniami standardowych harmonicznych sferycznych i - podobnie jak zwykłe harmoniczne sferyczne - są funkcjami na kuli . W przeciwieństwie do zwykłych harmonicznych sferycznych, harmoniczne ważone spinem są raczej polami cechowania $U(1)$ niż polami skalarnymi : matematycznie przyjmują wartości w zespolonej wiązce linii . Harmoniczne ważone spinem są uporządkowane według stopnia $l$ , podobnie jak zwykłe harmoniczne sferyczne, ale mają dodatkową wagę spinu $s$ , która odzwierciedla dodatkową symetrię $U(1)$ . Specjalną podstawę harmonicznych można wyprowadzić ze sferycznych harmonicznych Laplace'a $Ylm Ylm$ i są one zwykle oznaczane przez $, gdzie s$ l $i$ m $są$ zwykłymi parametrami znanymi ze standardowych harmonicznych sferycznych Laplace'a. W tej specjalnej podstawie sferyczne harmoniczne ważone spinem pojawiają się jako rzeczywiste funkcje, ponieważ wybór osi biegunowej ustala U $(1)$ niejednoznaczność miernika. Sferyczne harmoniczne ważone spinem można uzyskać ze standardowych harmonicznych sferycznych przez zastosowanie operatorów podnoszenia i opuszczania spinu . W szczególności sferyczne harmoniczne ważone spinem o wadze spinu $s = 0$ są po prostu standardowymi harmonicznymi sferycznymi:

{\ Displaystyle {} _ {0} Y_ {lm} = Y_ {lm} \ .}

Przestrzenie harmonicznych sferycznych ważonych spinem zostały po raz pierwszy zidentyfikowane w związku z teorią reprezentacji grupy Lorentza ( Gelfand, Minlos & Shapiro 1958 ). Zostały one następnie i niezależnie odkryte ponownie przez Newmana i Penrose'a (1966) i zastosowane do opisu promieniowania grawitacyjnego oraz ponownie przez Wu i Yang (1976) jako tak zwane „harmoniczne monopolu” w badaniu monopoli Diraca .

Funkcje ważone spinem

Rozważmy kulę $S 2$ jako osadzoną w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej $R 3$ . W punkcie $x$ na kuli dodatnio zorientowana ortonormalna baza wektorów stycznych w $x$ jest parą $a, b$ wektorów takich, że

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {a } =\mathbf {x} \cdot \mathbf {b} &=0\\\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} &=1\\\ mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &=0\\\mathbf {x} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )&>0,\end{wyrównane}}}

gdzie pierwsza para równań stwierdza, że $aib$ są styczne do $x$ , druga para stwierdza, że aib $są$ wektorami $jednostkowymi$ , przedostatnie równanie, że $aib$ $są$ ortogonalne , a końcowe równanie $,$ że $(x, a, b)$ jest prawoskrętną podstawą $R 3$ .

Funkcja $wagi$ spinowej s $f$ jest funkcją przyjmującą jako dane wejściowe punkt $x$ z $S 2$ i dodatnio zorientowaną ortonormalną bazę wektorów stycznych w $x$ , taką, że

{\ Displaystyle f {\ bigl (} \ mathbf {x}, (\ cos \ teta) \ mathbf {a} - (\ sin \ teta) \ mathbf {b}, (\ sin \ teta) \ mathbf {a} +(\cos \theta )\mathbf {b} {\bigr )}=e^{jest\theta}f(\mathbf {x},\mathbf {a},\mathbf {b})}

dla każdego kąta obrotu $θ$ .

Idąc za Eastwoodem i Todem (1982) , oznaczmy zbiór wszystkich funkcji spinowo-ciężarowych $s$ przez $B (s)$ . Konkretnie, są one rozumiane jako funkcje $f$ na $C 2 \{0$ } spełniające następujące prawo jednorodności przy skalowaniu zespolonym

{\ Displaystyle f \ lewo (\ lambda z, {\ overline {\ lambda}} {\ bar {z}} \ prawej) = \ lewo ({\ frac {\ overline {\ lambda}} {\ lambda}} \ prawo)^{s}f\lewo(z,{\bar {z}}\prawo).}

Ma to sens pod warunkiem, że $s$ jest liczbą połówkową.

Abstrakcyjnie, $B (s)$ jest izomorficzne z wiązką wektorów gładkich leżącą u podstaw antyholomorficznej wiązki wektorów $O ( 2 s)$ skrętu Serre'a na zespolonej linii rzutowej $CP 1$ . Sekcja tej ostatniej wiązki jest funkcją $g$ na $C 2 \{0$ } spełniającą

{\ Displaystyle g \ lewo (\ lambda z, {\ overline {\ lambda}} {\ bar {z}} \ prawej) = {\ overline {\ lambda}} ^ {2s} g \ lewo (z, {\ bar {z}}\prawo).}

Mając takie $g$ , możemy otrzymać funkcję spinowo-ciężarową $s$ mnożąc przez odpowiednią potęgę postaci hermitowskiej

{\ Displaystyle P \ lewo (z, {\ bar {z}} \ prawej) = z \ cdot {\ bar {z}}.}

Konkretnie, $f = P - s g$ jest funkcją spin-weight $s$ . Powiązanie funkcji ważonej spinem ze zwykłą funkcją jednorodną jest izomorfizmem.

Operator $ð$

Wirujące wiązki obciążników $B (s)$ są wyposażone w operator różniczkowy $ð$ ( eth ). Ten operator jest zasadniczo operatorem Dolbeaulta , po dokonaniu odpowiednich identyfikacji,

{\ Displaystyle \ częściowe: {\ overline {\ mathbf {O} (2s)}} \ do {\ mathcal {E}} ^ {1,0} \ otimes {\ overline {\ mathbf {O} (2s)} }\cong {\overline {\mathbf {O} (2s)}}\otimes \mathbf {O} (-2).}

Zatem dla $f \in B (s)$ ,

{\ Displaystyle \ eth f \ {\ stackrel {\ text {def}}} {=}} \ P ^ {-s + 1} \ częściowe \ lewo ( P^{s}f\prawo)}

definiuje funkcję wagi spinowej $s + 1$ .

Harmoniczne ważone spinem

Tak jak konwencjonalne sferyczne harmoniczne są funkcjami własnymi operatora Laplace'a-Beltramiego na kuli, harmoniczne ciężaru spinowego $są$ sekcjami własnymi operatora Laplace'a-Beltramiego działającego na wiązkach $E (s)$ funkcji ciężaru spinowego $s .$

Reprezentacja jako funkcje

Harmoniczne ważone spinem można przedstawić jako funkcje na kuli po wybraniu punktu na kuli, który ma służyć jako biegun północny. Z definicji funkcja $η$ o ciężarze spinu $s$ przekształca się podczas obrotu wokół bieguna przez

{\ Displaystyle \ eta \ rightarrow e ^ {jest \ psi} \ eta.}

Pracując w standardowych współrzędnych sferycznych, możemy zdefiniować konkretny operator $ð$ działający na funkcji $η$ jako:

{\ Displaystyle \ eth \ eta = - \ lewo (\ sin {\ teta} \ prawo) ^ {s} \ lewo \ {{\ Frac {\ częściowy}} {\ częściowy \ teta}} + {\ frac {i} {\sin {\theta}}}{\frac {\częściowy}}{\częściowy \phi}}\right\}\left[\left(\sin {\theta}\right)^{-s}\eta \ Prawidłowy].}

To daje nam kolejną funkcję $θ$ i $φ$ . (Operator $ð$ jest faktycznie kowariantnym operatorem pochodnej w sferze).

Ważną własnością nowej funkcji $ðη$ jest to, że jeśli $η$ ma wagę spinu $s$ , $to ðη$ ma wagę spinu $s + 1$ . Zatem operator zwiększa wagę spinu funkcji o 1. Podobnie możemy zdefiniować operator $ð$ , który obniży wagę spinu funkcji o 1:

{\ Displaystyle {\ bar {\ eth}} \ eta = - \ lewo (\ sin {\ teta} \ prawej) ^ {-s} \ lewo \ {{\ Frac {\ częściowy}} {\ częściowy \ teta}} -{\frac {i}{\sin {\theta}}}{\frac {\częściowy}}{\częściowy \phi}}\right\}\left[\left(\sin {\theta}\right)^ {s}\eta \prawo].}

Sferyczne harmoniczne ważone spinem są następnie definiowane w kategoriach zwykłych harmonicznych sferycznych jako:

{\ Displaystyle {} _ {s} Y_ {lm} = {\ rozpocząć {przypadki} {\ sqrt {\ Frac {(ls)!} {(l + s)!}}} \ \ ^ {s} Y_ {lm},&&0\ równoważnik s\ równoważnik l;\\{\sqrt {\frac {(l+s)!}{(ls)!}}}\ \left(-1\right)^{s}{ \bar {\eth}}^{-s}Y_{lm},&&-l\równoważnik s\równoważnik 0;\\0,&&l<|s|.\end{przypadki}}}

Funkcje $s Y lm$ mają wtedy właściwość przekształcania się z wagą spinu $s$ .

Inne ważne właściwości obejmują:

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ eth \ lewo ({} _ {s} Y_ {lm} \ prawej) & = + {\ sqrt {(ls) (l + s + 1)}} \, {} _{s+1}Y_{lm};\\{\bar {\eth}}\left({}_{s}Y_{lm}\right)&=-{\sqrt {(l+s)( l-s+1)}}\,{}_{s-1}Y_{lm};\end{wyrównane}}}

Ortogonalność i kompletność

Harmoniczne są ortogonalne na całej kuli:

{\ Displaystyle \ int _ {S ^ {2}} {} _ {s} Y_ {lm} \ ,{}_{s}{\bar {Y}}_{l'm'}\,dS=\delta _{ll'}\delta _{mm'},}

i spełniają relację zupełności

{\ Displaystyle \ suma _ {lm} {} _ {s} {\ bar {Y}} _ {lm} \ lewo (\ theta ', \ phi '\ prawo) {} _ {s} Y_ {lm} ( \theta ,\phi )=\delta \left(\phi '-\phi \right)\delta \left(\cos \theta '-\cos \theta \right)}

Obliczenie

Te harmoniczne można wyraźnie obliczyć kilkoma metodami. Oczywista relacja rekurencji wynika z wielokrotnego stosowania operatorów podnoszenia lub opuszczania. Wzory do obliczeń bezpośrednich zostały opracowane przez Goldberga i in. (1967) . Zauważ, że ich formuły wykorzystują stary wybór dla fazy Condona-Shortleya . Konwencja wybrana poniżej jest zgodna na przykład z Mathematicą.

Bardziej użyteczna formuła Goldberga i innych jest następująca:

{\ Displaystyle {} _ {s} Y_ {lm} (\ teta, \ phi) = \ lewo (-1 \ prawo) ^ {l + ms} {\ sqrt {\ Frac {(l + m)! (lm )!(2l+1)}{4\pi (l+s)!(ls)!}}}\sin ^{2l}\left({\frac {\theta }{2}}\right)e^ {im\phi}\times \sum _{r=0}^{ls}\left(-1\right)^{r}{ls \choose r}{l+s \choose r+sm}\cot ^ {2r+sm}\left({\frac {\theta}}{2}}\right)\,.}

Notatnik Mathematica wykorzystujący ten wzór do obliczania dowolnych sferycznych harmonicznych ważonych spinem można znaleźć tutaj .

Z konwencją faz tutaj:

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} _ {s} {\ bar {Y}} _ {lm} & = \ lewo (-1 \ prawo) ^ {s + m} {} _ {- s} Y_ {l(-m)}\\{}_{s}Y_{lm}(\pi -\theta ,\phi +\pi )&=\left(-1\right)^{l}{}_{ -s}Y_{lm}(\theta,\phi).\end{wyrównane}}}

Kilka pierwszych sferycznych harmonicznych ważonych spinem

Wyrażenia analityczne dla kilku pierwszych ortonormalizowanych sferycznych harmonicznych ważonych spinem:

Waga wirowania $s = 1$ , stopień $l = 1$

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} _ {1} Y_ {10} (\ teta, \ phi) & = {\ sqrt {\ Frac {3} {8 \ pi}}} \, \ sin \ teta \\{}_{1}Y_{1\pm 1}(\theta ,\phi )&=-{\sqrt {\frac {3}{16\pi }}}(1\mp \cos \theta ) \,e^{\pm i\phi }\end{wyrównane}}}

Związek z macierzami rotacji Wignera

{\ Displaystyle D_ {-ms} ^ {l} (\phi ,\theta ,-\psi )=\left(-1\right)^{m}{\sqrt {\frac {4\pi }{2l+1}}}{}_{s}Y_{ lm}(\theta ,\phi )e^{is\psi }}

Relacja ta pozwala na obliczenie harmonicznych spinowych przy użyciu relacji rekurencji dla $D$ -macierzy .

Całka potrójna

Całka potrójna w przypadku, gdy $s 1 + s 2 + s 3 = 0$ jest wyrażona symbolem 3- $j$ :

{\ Displaystyle \ int _ {S ^ {2}} \, {} _ {s_ {1}} Y_ {j_ {1} m_ {1}} \, {} _ {s_ {2}} Y_ {j_ { 2}m_{2}}\,{}_{s_{3}}Y_{j_{3}m_{3}}={\sqrt {\frac {\left(2j_{1}+1\right)\ left(2j_{2}+1\right)\left(2j_{3}+1\right)}{4\pi }}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\ \m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\-s_{1}&-s_{2} &-s_{3}\end{pmatrix}}}

Zobacz też

Podstawa sferyczna

Dray, Tevian (maj 1985), „Związek między harmonicznymi jednobiegunowymi a harmonicznymi sferycznymi ważonymi spinem” , J. Math. fizyka , American Institute of Physics, 26 (5): 1030–1033, Bibcode : 1985JMP....26.1030D , doi : 10.1063/1.526533 .
Eastwood, Michael; Tod, Paul (1982), „Edth-operator różniczkowy na kuli”, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 92 (2): 317–330, Bibcode : 1982MPCPS..92..317E , doi : 10.1017/S0305004100059971 .
Gelfand, IM ; Minlos, Robert A.; Shapiro, Z. Ja. (1958), Predstavleniya gruppy vrashcheni i gruppy Lorentsa, ikh primeneniya , Gosudarstv. Izdat. Fiz.-mat. Lit., Moskwa, MR 0114876 ; (1963) Reprezentacje grup rotacyjnych i Lorentza oraz ich zastosowania (tłumaczenie). Wydawcy Macmillan.
Goldberg, JN; Macfarlane, AJ; Newman, ET; Rohrlich, F.; Sudarshan, EKG (listopad 1967), „Spin-s sferyczne harmoniczne i ð” , J. Math. fizyka , American Institute of Physics, 8 11): 2155–2161, Bibcode : 1967JMP.....8.2155G , doi : 10.1063/1.1705135 ( nie jest już standardem).
Newman, ET ; Penrose, R. (maj 1966), „Uwaga dotycząca grupy Bondi-Metzner-Sachs” , J. Math. fizyka , American Institute of Physics, 7 (5): 863–870, Bibcode : 1966JMP.....7..863N , doi : 10.1063/1.1931221 .
Wu, Tai Tsun; Yang, Chen Ning (1976), „Monopol Diraca bez strun: harmoniczne jednobiegunowe” , Fizyka jądrowa B , 107 (3): 365–380, Bibcode : 1976NuPhB.107..365W , doi : 10.1016/0550-3213 (76) 90143-7 , MR 0471791 .