Sferyczne harmoniczne spinorowe

W mechanice kwantowej sferyczne harmoniczne spinorowe ( znane również jako sferyczne harmoniczne spinowe , harmoniczne spinorowe i spinory Pauliego ) to specjalne funkcje zdefiniowane na kuli. Spinorowe sferyczne harmoniczne są naturalnym spinorowym analogiem wektorowych sferycznych harmonicznych . Podczas gdy standardowe harmoniczne sferyczne są podstawą operatora momentu pędu , sferyczne harmoniczne spinoru są podstawą operatora całkowitego momentu pędu (moment pędu plus wirować ). Funkcje te są wykorzystywane w analitycznych rozwiązaniach równania Diraca w potencjale radialnym . Spinorowe sferyczne harmoniczne są czasami nazywane spinorami centralnego pola Pauliego , na cześć Wolfganga Pauliego , który zastosował je w roztworze atomu wodoru z oddziaływaniem spin-orbita .

Nieruchomości

Spinorowe harmoniczne sferyczne $Y l, s, j, m$ są stanami własnymi spinora operatora całkowitego momentu pędu do kwadratu :

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ mathbf {j} ^ {2} Y_ {l, s, j, m} i = j (j + 1) Y_ {l, s ,j,m}\\\mathrm {j} _{\mathrm {z}}Y_{l,s,j,m}&=mY_{l,s,j,m}\;\;m=- j,-(j-1),\cdots ,j-1,j\\\mathbf {l} ^{2}Y_{l,s,j,m}&=l(l+1)Y_{l, s,j,m}\\\mathbf {s} ^{2}Y_{l,s,j,m}&=s(s+1)Y_{l,s,j,m}\end{wyrównane} }}

gdzie $j = l + s$ , gdzie $j$ , $l$ i $s$ to (bezwymiarowe) operatory całkowitego, orbitalnego i spinowego momentu pędu, j to całkowita azymutalna liczba kwantowa , a m to całkowita magnetyczna liczba kwantowa .

W ramach operacji parytetowej mamy

{\ Displaystyle PY_ {l, sj, m} = (-1) ^ {l} Y_ {l, s, j, m}.}

W przypadku systemów o spinie ½ są one podane w postaci macierzowej przez

{\ Displaystyle Y_ {j \ pm {\ Frac {1} {2}}, {\ Frac {1} {2}}, j, m} = {\ Frac {1} {\ sqrt {2} {\ bigl ( }j\mp {\frac {1}{2}}{\bigr )}+1}}}{\begin{pmatrix}\pm {\sqrt {j\mp {\frac {1}{2}}\ pm m+{\frac {1}{2}}}}Y_{j\pm {\frac {1}{2}}}^{m-{\frac {1}{2}}}\\{\sqrt {j\mp {\frac {1}{2}}\mp m+{\frac {1}{2}}}}Y_{j\pm {\frac {1}{2}}}^{m+{\ frac {1}{2}}}\end{pmatrix}}.}

gdzie $_$ sferycznymi . _