Wiązka tautologiczna

W matematyce wiązka tautologiczna jest wiązką wektorową występującą nad Grassmannianem w naturalny tautologiczny sposób: dla Grassmanna z - $biorąc$ podprzestrzenie , $uwagę$ punkt w Grassmannie odpowiadający a ${\ displaystyle k}$ -wymiarowa podprzestrzeń wektorowa ${\ Displaystyle W \ subseteq V}$ włókno nad ${\ displaystyle W}$$to$ podprzestrzeń . W przypadku przestrzeni rzutowej wiązkę tautologiczną nazywamy wiązką tautologiczną liniową.

Wiązka tautologiczna jest również nazywana wiązką uniwersalną , ponieważ każda wiązka wektorowa (na przestrzeni zwartej) jest wycofaniem wiązki tautologicznej; to znaczy, że Grassmannian jest przestrzenią klasyfikującą dla wiązek wektorowych. Z tego powodu wiązka tautologiczna jest ważna w badaniu klas charakterystycznych .

Wiązki tautologiczne są konstruowane zarówno w topologii algebraicznej, jak iw geometrii algebraicznej. W geometrii algebraicznej wiązka linii tautologicznych (jako odwracalny snop ) jest

${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {P} ^ {n}} (-1)}$

podwójna wiązki hiperpłaszczyzny lub skręconego snopka Serre'a ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {P} ^ {n}} (1)$ } . Wiązka hiperpłaszczyzny to wiązka liniowa odpowiadająca hiperpłaszczyźnie ( dzielnik ) w . ${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {n$$1$ } Wiązka linii tautologicznych i wiązka hiperpłaszczyzny to dokładnie dwa generatory Grupa Picarda przestrzeni rzutowej.

W „teorii K” Michaela Atiyaha wiązka linii tautologicznych w złożonej przestrzeni rzutowej nazywana jest wiązką linii standardowych . Wiązka sfer standardowej wiązki jest zwykle nazywana wiązką Hopfa . (por. generator Botta).

Mówiąc bardziej ogólnie, istnieją również wiązki tautologiczne na wiązce rzutowej wiązki wektorowej, jak również wiązce Grassmanna .

Starszy termin wiązka kanoniczna wypadł z łask, ponieważ termin kanoniczny jest mocno przeciążony w terminologii matematycznej, a (gorsze) pomieszanie z klasą kanoniczną w geometrii algebraicznej z trudem można było uniknąć.

Intuicyjna definicja

Grassmanniany z definicji to przestrzenie parametrów dla $podprzestrzeni$ liniowych o danym wymiarze w danej wektorowej . Jeśli jest to Grassmannian i jest to podprzestrzeń odpowiadająca ${ \ displaystyle$$G$$}$ w $displaystyle G}$$\ displaystyle G}$ , to jest już prawie dane wymagane dla wiązki wektorów: mianowicie przestrzeń wektorowa dla każdego punktu ${\ displaystyle g}$ , zmieniając się w sposób ciągły. Wszystko $,$ co może powstrzymać definicję wiązki tautologicznej przed tym wskazaniem, to trudność, z jaką przetną $jest$ rutynowym zastosowaniem rozłącznego urządzenia łączącego , tak aby projekcja wiązki pochodziła z złożonej z identycznych kopii , które teraz się nie przecinają. Dzięki temu mamy pakiet.

W zestawie obudowa przestrzeni rzutowej. Zgodnie z konwencją $sensie$ przenosić wiązkę tautologiczną w podwójnej . $\$ to, że przy przestrzeni punkty z $V ^ {$ wektorowych tego $}$ } są ich jądrami, gdy są uważane za (promienie) funkcjonałów liniowych na ${\ Displaystyle V ^ {*}}$ . Jeśli ma wymiar , tautologiczna wiązka liniowa jest jedną wiązką tautologiczną ${$$1$ druga, właśnie opisana, ma rangę $displaystyle n$ .

Definicja formalna

Niech sol $\ Displaystyle G_ {n} (\ mathbb {R} ^ {n + k})}$ będzie Grassmannianem n -wymiarowych podprzestrzeni wektorowych w ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n + k};}$ jako zbiór jest zbiorem wszystkich n -wymiarowych podprzestrzeni wektorowych ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n + k}.}$ Na przykład, jeśli n = 1, jest to rzeczywista rzutowa k -przestrzeń.

Definiujemy wiązkę tautologiczną γ _{n , k} nad ${\ Displaystyle G_ {n} (\ mathbb {R} ^ {n + k})}$ w następujący sposób. Całkowita przestrzeń wiązki to zbiór wszystkich par ( V , v ) składający się z punktu V Grassmanna i wektora v w V ; dana jest topologia podprzestrzeni iloczynu kartezjańskiego ${\ Displaystyle G_ {n} (\ mathbb {R} ^ {n + k}) \ razy \ mathbb {R} ^ {n + k}.}$ Mapa projekcji π jest dana przez π ( V , v ) = V . Jeśli F jest obrazem wstępnym V pod π, to otrzymuje strukturę przestrzeni wektorowej przez a ( V , v ) + b ( V , w ) = ( V , av + bw ). Wreszcie, aby zobaczyć lokalną trywialność, biorąc pod uwagę punkt X w Grassmannianie, niech U będzie zbiorem wszystkich V takim, że rzut ortogonalny p na X odwzorowuje V izomorficznie na X , a następnie zdefiniuj

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} \ phi :\pi ^{-1}(U)\to U\times X\subseteq G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k})\times X\\\phi (V,v)=( V,p(v))\end{przypadki}}}$

co jest ewidentnie homeomorfizmem. Stąd wynikiem jest wiązka wektorów o randze n .

$złożonym$ , jeśli zastąpimy polem ${\ Displaystyle \ mathbb {C}.}$

Z definicji nieskończony Grassmannian $) {\ Displaystyle$ bezpośrednią granicą sol $)}$ jako ${\ Displaystyle k \ do \ infty.}$ Biorąc bezpośrednią granicę wiązek γ _{n , k} daje wiązkę tautologiczną γ _n z ${\ Displaystyle G_ {n}.}$ Jest to wiązka uniwersalna w tym sensie, że dla każdej przestrzeni zwartej X istnieje naturalna bijekcja

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} [X, G_ {n}] \ do \ operatorname {Vect} _ {n }^{\mathbb {R}}(X)\\f\mapsto f^{*}(\gamma _{n})\end{przypadki}}}$

gdzie po lewej stronie nawias oznacza klasę homotopii, a po prawej zbiór klas izomorfizmu wiązek wektorów rzeczywistych rzędu n . Odwrotna mapa jest podana w następujący sposób: ponieważ X jest zwarty, każda wiązka wektorów E jest podwiązką trywialnej wiązki: ${\ Displaystyle E \ hookrightarrow X \ razy \ mathbb {R} ^ {n +k}}$ dla pewnego k , więc E określa mapę

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} f_ {E}: X \ do G_ {n} \\ x \ mapsto E_ {x} \ koniec {przypadków}}}$

unikalny aż do homotopii.

Uwaga : Z kolei wiązkę tautologiczną można zdefiniować jako wiązkę uniwersalną; załóżmy, że istnieje naturalna bijekcja

${\ Displaystyle [X, G_ {n}] = \ operatorname {Vect} _ {n} ^ {\ mathbb {R}} (X)}$

dla dowolnej przestrzeni parazwartej X . Ponieważ $mapie$$przestrzeni ,$ parazwarty, więc istnieje unikalna wiązka wektorów nad, która na ${\ Displaystyle G_ {n}.}$ Jest to dokładnie wiązka tautologiczna i, przez ograniczenie, otrzymuje się wiązki tautologiczne po wszystkich ${\ Displaystyle G_ {n} (\ mathbb {R} ^ {n + k}).}$

Wiązka hiperpłaszczyzny

Wiązka hiperpłaszczyznowa H w rzeczywistej rzutowej przestrzeni k jest zdefiniowana następująco. Całkowita przestrzeń H to zbiór wszystkich par ( L , fa ) składający się z linii L przechodzącej przez początek w i f funkcjonał liniowy na ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {k + 1}}$ Ł . Mapa projekcji π jest dana wzorem π( L , f ) = L (tak, że włókno nad L jest podwójną przestrzenią wektorową L .) Reszta jest dokładnie taka, jak tautologiczna wiązka linii.

Innymi słowy, H jest podwójną wiązką wiązki linii tautologicznych.

W geometrii algebraicznej wiązka hiperpłaszczyzny jest wiązką linii (jako odwracalny snop ) odpowiadającą dzielnikowi hiperpłaszczyzny

${\ Displaystyle H = \ mathbb {P} ^ {n-1} \ podzbiór \ mathbb {P} ^ {n}}$

₀ podane jako, powiedzmy, x = 0, gdzie x _i są współrzędnymi jednorodnymi . To może być rozumiane w następujący sposób. Jeśli D jest dzielnikiem (Weila) na ${\ Displaystyle X = \ mathbb {P} ^ {n}},$ definiuje się odpowiednią wiązkę linii O ( re ) na X przez

${\ Displaystyle \ Gamma (U, O (D)) = \ {f \ w K | (f) + D \ geq 0 {\ tekst {na}} U \}}$

gdzie K jest polem funkcji wymiernych na X . Biorąc D za H , mamy:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} O (H) \ simeq O (1) \\ f \ mapsto fx_ {0} \ koniec {przypadków}}}$

₀ gdzie x jest, jak zwykle, postrzegane jako globalny przekrój skręconego snopka O (1). (W rzeczywistości powyższy izomorfizm jest częścią zwykłej zgodności między dzielnikami Weila i dzielnikami Cartiera). Wreszcie liczba podwójna skręconego snopka odpowiada tautologicznej wiązce linii (patrz poniżej).

Wiązka linii tautologicznych w geometrii algebraicznej

W geometrii algebraicznej pojęcie to istnieje w dowolnym polu k . Konkretna definicja jest następująca. Niech ${\ Displaystyle A = k [y_ {0}, \ kropki, y_ {n}]}$ i ${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ { n}=\nazwa_operatora {Proj.} A}$ . Pamiętaj, że mamy:

${\ Displaystyle \ mathbf {Spec} \ lewo ({\ mathcal {O} }_{\mathbb {P} ^{n}}[x_{0},\ldots,x_{n}]\right)=\mathbb {A} _{\mathbb {P} ^{n}}^{ n+1}=\mathbb {A} ^{n+1}\times _{k}{\mathbb {P} ^{n}}}$

gdzie Spec jest względną Spec . Teraz umieść:

${\ Displaystyle L = \ mathbf {Spec} \ lewo ({\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {P} ^ { n}}[x_{0},\kropki,x_{n}]/I\prawo)}$

gdzie I jest idealnym snopkiem generowanym przez globalne sekcje ${\ Displaystyle x_ {i} y_ {j} -x_ {j} y_ {i}}$ . Wtedy L jest zamkniętym podschematem tego samego schematu podstawowego . ZA $P$$+ 1}}$$\mathbb {P} ^{n}}$ ; ponadto zamknięte punkty L są dokładnie tymi ( x , y ) z ${\ Displaystyle \ mathbb {A} ^ {n + 1} \ razy _ {k} \ mathbb {P} ^ {n}} tak, że albo$ x wynosi zero, albo obraz z x w jest y . ${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$ Zatem L jest wiązką linii tautologicznych, jak zdefiniowano wcześniej, jeśli k jest polem liczb rzeczywistych lub zespolonych.

Mówiąc bardziej zwięźle, L jest powiększeniem pochodzenia przestrzeni afinicznej , gdzie miejsce x = 0 w L $\ mathbb {A} ^ {n + 1}}$ + 1 . (por. Hartshorne, rozdz. I, koniec § 4.)

Ogólnie rzecz biorąc, $\ mathbf {Spec} (\ operatorname {Sym} {\ check {E}})}$ Displaystyle jest wiązką wektorów algebraicznych odpowiadającą lokalnie swobodnemu snopowi skończonego ranga. Ponieważ mamy dokładną sekwencję:

${\ Displaystyle 0 \ do ja \ do {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {P} ^{n}}[x_{0},\ldots,x_{n}]{\overset {x_{i}\mapsto y_{i}}{\longrightarrow }}\operatorname {Sym} {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(1)\do 0,}$

tautologiczna wiązka linii L , jak zdefiniowano powyżej, odpowiada dwoistości Serre'a O P $Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {P} ^ {n}} (-1)}$ wijący się snop . W praktyce obydwa pojęcia (wiązka tautologiczna i podwójna snopu skręconego) są używane zamiennie.

W polu jego wiązka linii podwójnych jest wiązką linii powiązaną z dzielnikiem hiperpłaszczyzny H , którego globalne przekroje są formami liniowymi . Jego klasa Cherna to − H . To jest przykład wiązki linii anty-ample . Jest to równoważne z powiedzeniem, że jest to wiązka linii ujemnych, co oznacza, że ​​minus jej klasa Chern to klasa de Rham $.$ Kählera

Fakty

• Wiązka linii tautologicznych γ _{1, k} jest lokalnie trywialna , ale nie trywialna dla k ≥ 1. To pozostaje prawdziwe w przypadku innych ciał.

W rzeczywistości łatwo jest pokazać, że dla k = 1 rzeczywista wiązka linii tautologicznych jest niczym innym jak dobrze znaną wiązką, której całkowitą przestrzenią jest wstęga Möbiusa . Aby uzyskać pełny dowód powyższego faktu, zob.

• Grupa wiązek linii Picarda na $.$ nieskończenie cykliczna , a tautologicznych generatorem

• W przypadku przestrzeni rzutowej, gdzie wiązka tautologiczna jest wiązką liniową , powiązany odwracalny snop przekrojów to tensor odwrotny ( tj . ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} (-1)}$ wiązka podwójnych wektorów) wiązki hiperpłaszczyzny lub snopu skrętu Serre'a ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} (1)}$ ; innymi słowy wiązka hiperpłaszczyznowa jest generatorem grupy Picarda o stopniu dodatnim (jako dzielnik ) , a wiązka tautologiczna jest jej przeciwieństwem: generatorem stopnia ujemnego.

Zobacz też

• Pakiet Hopfa
• klasa Stiefela-Whitneya
• Sekwencja Eulera
• Klasa Cherna (Klasy Cherna wiązek tautologicznych to algebraicznie niezależne generatory pierścienia kohomologii nieskończonego Grassmanna).
• Twierdzenie Borela
• Przestrzeń Thoma (Przestrzenie Thoma wiązek tautologicznych γ _n jako n →∞ nazywamy widmem Thoma .)
• Pakiet Grassmanna

Źródła

•    Atiyah, Michael Francis (1989), K-teoria , Advanced Book Classics (wyd. 2), Addison-Wesley , ISBN 978-0-201-09394-0 , MR 1043170
• Griffiths, Phillip ; Harris, Joseph (1994), Zasady geometrii algebraicznej , Wiley Classics Library, New York:    Wiley & Sons , doi : 10.1002/9781118032527 , ISBN 978-0-471-05059-9 , MR 1288523 John
•     Hartshorne, Robin (1977), Geometria algebraiczna , Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9 , MR 0463157 , OCLC 13348052 .
•   Milnor, John W .; Stasheff, James D. (1974), Klasy charakterystyczne , Annals of Mathematics Studies, tom. 76, Princeton, New Jersey: Princeton University Press, MR 0440554
•   Rubei, Elena (2014), Geometria algebraiczna: zwięzły słownik , Berlin / Boston: Walter De Gruyter, ISBN 978-3-11-031622-3