Dzielnik (geometria algebraiczna)

W geometrii algebraicznej dzielniki są uogólnieniem kowymiaru -1 podrozmaitości rozmaitości algebraicznych . W powszechnym użyciu są dwa różne uogólnienia, dzielniki Cartiera i dzielniki Weila (nazwane na cześć Pierre'a Cartiera i André Weila przez Davida Mumforda ). Oba wywodzą się z pojęcia podzielności w liczbach całkowitych i polach liczb algebraicznych .

Globalnie, każda podrozmaitość codimension-1 przestrzeni rzutowej jest definiowana przez zanik jednego jednorodnego wielomianu ; z kolei podrozmaitość kowymiaru- r nie musi być definiowalna tylko za pomocą r równań, gdy r jest większe niż 1. (Oznacza to, że nie każda podrozmaitość przestrzeni rzutowej jest całkowitym przecięciem .) Lokalnie, każda podrozmaitość kowymiaru-1 rozmaitości gładkiej można zdefiniować za pomocą jednego równania w sąsiedztwie każdego punktu. Ponownie, analogiczne stwierdzenie zawodzi dla podrozmaitości o wyższym kowymiarze. W wyniku tej właściwości większość geometrii algebraicznej bada dowolną odmianę, analizując jej podrozmaitości w kowymiarze-1 i odpowiadające im wiązki linii .

W przypadku odmian pojedynczych ta właściwość może również zawieść, dlatego należy rozróżnić między podrozmaitościami w kowymiarze-1 a odmianami, które można lokalnie zdefiniować za pomocą jednego równania. Te pierwsze są dzielnikami Weila, a drugie dzielnikami Cartiera.

Topologicznie, dzielniki Weila pełnią rolę klas homologii , podczas gdy dzielniki Cartiera reprezentują klasy kohomologii . Na płynnej rozmaitości (lub bardziej ogólnie na regularnym schemacie ) wynik analogiczny do dualności Poincarégo mówi, że dzielniki Weila i Cartiera są takie same.

Nazwa „dzielnik” sięga prac Dedekinda i Webera , którzy wykazali znaczenie dziedzin Dedekinda w badaniu krzywych algebraicznych . Grupa dzielników na krzywej ( wolna grupa abelowa generowana przez wszystkie dzielniki) jest ściśle związana z grupą ideałów ułamkowych dla domeny Dedekinda.

Cykl algebraiczny to uogólnienie dzielnika o wyższym kowymiarze; z definicji dzielnik Weila jest cyklem o kowymiarze 1.

Dzielniki na powierzchni Riemanna

Powierzchnia Riemanna jest 1-wymiarową rozmaitością zespoloną , a więc jej podrozmaitości współwymiarowe-1 mają wymiar 0. Grupa dzielników na zwartej powierzchni Riemanna X jest swobodną grupą abelową w punktach X .

Równoważnie, dzielnik na zwartej powierzchni Riemanna X jest skończoną liniową kombinacją punktów X ze współczynnikami całkowitymi . Stopień dzielnika na X jest sumą jego współczynników.

Dla dowolnej niezerowej funkcji meromorficznej f na X , można zdefiniować kolejność zanikania f w punkcie p w X , ord _p ( f ). Jest to liczba całkowita, ujemna, jeśli f ma biegun w p . Dzielnik niezerowej funkcji meromorficznej f na zwartej powierzchni Riemanna X jest zdefiniowany jako

{\ Displaystyle (f): = \ suma _ {p \ w X} \ operatorname {ord} _ {p} (f) p,}

co jest sumą skończoną. Dzielniki postaci ( f ) nazywane są także dzielnikami głównymi . Ponieważ ( fg ) = ( f ) + ( g ), zbiór głównych dzielników jest podgrupą grupy dzielników. Dwa dzielniki różniące się dzielnikiem głównym nazywamy liniowo równoważnymi .

Na zwartej powierzchni Riemanna stopień głównego dzielnika wynosi zero; to znaczy liczba zer funkcji meromorficznej jest równa liczbie biegunów liczonych z krotnością. W rezultacie stopień jest dobrze zdefiniowany na liniowych klasach równoważności dzielników.

⁰⁰⁰ Biorąc pod uwagę dzielnik D na zwartej powierzchni Riemanna X , ważne jest zbadanie złożonej przestrzeni wektorowej funkcji meromorficznych na X z biegunami co najwyżej określonymi przez D , zwanej H ( X , O ( D )) lub przestrzenią odcinków wiązka linii powiązana z D . Stopień D wiele mówi o wymiarze tej przestrzeni wektorowej. Na przykład, jeśli D ma stopień ujemny, to ta przestrzeń wektorowa wynosi zero (ponieważ funkcja meromorficzna nie może mieć więcej zer niż biegunów). Jeśli D ma stopień dodatni, to wymiar H ( X , O ( mD )) rośnie liniowo w m dla m wystarczająco dużych. Twierdzenie Riemanna – Rocha jest bardziej precyzyjnym stwierdzeniem w tym zakresie. Z drugiej strony dokładny wymiar H ( X , O ( D )) dla dzielników D niskiego stopnia jest subtelny i nie do końca określony przez stopień D . Charakterystyczne cechy zwartej powierzchni Riemanna znajdują odzwierciedlenie w tych wymiarach.

Jednym z kluczowych dzielników na zwartej powierzchni Riemanna jest dzielnik kanoniczny . Aby to zdefiniować, najpierw definiuje się dzielnik niezerowej meromorficznej formy 1 wzdłuż powyższych linii. Ponieważ przestrzeń meromorficznych 1-form jest 1-wymiarową przestrzenią wektorową nad ciałem funkcji meromorficznych, dowolne dwie niezerowe meromorficzne 1-formy dają liniowo równoważne dzielniki. Każdy dzielnik w tej klasie równoważności liniowej nazywany jest dzielnikiem kanonicznym X , K _X . Rodzaj g X można odczytać z dzielnika kanonicznego: mianowicie K _X ma stopień 2 g - 2. Kluczową trychotomią wśród zwartych powierzchni Riemanna X jest to , czy dzielnik kanoniczny ma stopień ujemny (więc X ma rodzaj zero), stopień zero (rodzaj jeden) lub stopień dodatni (rodzaj co najmniej 2). Na przykład określa to, czy X ma metrykę Kählera z krzywizną dodatnią , krzywizną zerową lub krzywizną ujemną. Dzielnik kanoniczny ma stopień ujemny wtedy i tylko wtedy, gdy X jest izomorficzny ze sferą Riemanna CP ¹ .

Dzielniki Weila

Niech X będzie lokalnie integralnym schematem noetherowskim . Pierwszy dzielnik lub nieredukowalny dzielnik na X jest integralnym zamkniętym podschematem Z o kowymiarze 1 w X . Dzielnik Weila na X jest formalną sumą pierwszych dzielników Z z X ,

{\ Displaystyle \ suma _ {Z} n_ {Z} Z,}

gdzie zbiór jest lokalnie skończony ${\ Displaystyle \ {Z: n_ {Z} \ neq 0 \}}$ Jeśli X $skończoność$ - zwarty jest równoważna Grupa wszystkich dzielników Weila jest oznaczona $Div(X)$ . Dzielnik Weila D jest efektywny , jeśli wszystkie współczynniki są nieujemne. Piszemy $D \geq D'$ , jeśli różnica $D - D'$ jest efektywna.

Na przykład dzielnik na krzywej algebraicznej nad polem jest formalną sumą skończenie wielu punktów zamkniętych. Dzielnik na $Spec Z$ jest formalną sumą liczb pierwszych ze współczynnikami całkowitymi i dlatego odpowiada niezerowemu ideałowi ułamkowemu w Q . Podobna charakterystyka jest prawdziwa dla dzielników na ${\ Displaystyle \ operatorname {Spec} {\ mathcal {O}} _ {K}},$ gdzie K jest polem liczbowym.

Jeśli Z ⊂ X $jest pierwszym$ to lokalny pierścień wymiar Krulla jeden Jeśli $Z$ niezerowe $Z ( to)_$ kolejność znikania f wzdłuż , wynosi _ długość O ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X, Z} / (f).}$ _ Ta długość jest skończona i jest addytywna w odniesieniu do mnożenia, to znaczy $ord Z (fg) = ord Z (f) + ord Z (g)$ . Jeśli k ( X ) jest polem funkcji wymiernych na X , to dowolne niezerowe $fa \in k (X)$ można zapisać jako iloraz $g / h$ , gdzie g i h są w ${\ Displaystyle { \mathcal {O}}_{X,Z},}$ a kolejność znikania f jest zdefiniowana jako $ord Z (g) - ord Z (h)$ . Przy tej definicji porządek znikania jest funkcją $ord Z : k (X) \times \to Z$ . Jeśli X jest normalne $Z,$ to lokalny pierścień jest dyskretnym pierścieniem wyceny , a $jest$ wyceną Dla niezerowej funkcji wymiernej f na X , główny dzielnik Weila powiązany z f jest zdefiniowany jako dzielnik Weila

{\ Displaystyle \ nazwa operatora {div} f = \ suma _ {Z} \ nazwa operatora {ord} _ {Z} (f) Z.}

Można wykazać, że ta suma jest lokalnie skończona, a zatem rzeczywiście definiuje dzielnik Weila. Główny dzielnik Weila związany z f jest również zapisany $(f)$ . Jeśli f jest funkcją regularną, to jej główny dzielnik Weila jest efektywny, ale generalnie nie jest to prawdą. Sugeruje to addytywność rzędu funkcji zanikającej

{\ Displaystyle \ nazwa operatora {dział} fg = \ nazwa operatora {dział} f + \ nazwa operatora {dział} g.}

W konsekwencji $div$ jest homomorfizmem, aw szczególności jego obraz jest podgrupą grupy wszystkich dzielników Weila.

Niech X będzie normalnym integralnym schematem noetherowskim. $_$ dzielnik D określa spójny na _ _ Konkretnie można go zdefiniować jako podrzędny snop funkcji wymiernych

{\ Displaystyle \ Gamma (U, {\ mathcal {O}} _ {X} (D)) = \ {f \ in k (X): f = 0 {\ tekst {lub}} \ operatorname {div} ( f)+D\geq 0{\text{ na }}U\}.}

Oznacza to, że niezerowa funkcja wymierna f jest sekcją przez U wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego dzielnika pierwszego Z przecinającego U , ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} (D)$ }

{\ Displaystyle \ operatorname {ord} _ {Z} (f) \ geq -n_ {Z}}

gdzie n _Z jest współczynnikiem Z w D . Jeśli D jest głównym, więc D jest dzielnikiem funkcji wymiernej g , to istnieje izomorfizm

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} {\ mathcal {O}} (D) \ do {\ mathcal {O}} _ {X} \\ f \ mapsto fg \end{przypadki}}}

ponieważ $}$ $)$ jest efektywnym dzielnikiem, więc jest dzięki normalności X . I odwrotnie, jeśli jest izomorficzne z ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} (D)} jako$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$ jako ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}}_{X}}$ -moduł, wtedy D jest głównym. Wynika z tego, że $D$ jest lokalnie główne i tylko wtedy, ; to znaczy wiązka linii.

Jeśli D jest efektywnym dzielnikiem, który odpowiada podschematowi X (na przykład D może być dzielnikiem zredukowanym lub dzielnikiem pierwszym), to snop idealny podschematu D jest równy ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} (-D).}$ Prowadzi to do często używanej krótkiej sekwencji dokładnej,

{\ Displaystyle 0 \ do {\ mathcal {O}} _ {X} (-D) \ do {\ mathcal {O}} _ {X} \do {\mathcal {O}}_{D}\do 0.}

Kohomologia snopów tej $_$ _ od tego, czy funkcje regularne na D są ograniczeniami funkcji regularnych na X .

Istnieje również włączenie snopów

{\ Displaystyle 0 \ do {\ mathcal {O}} _ {X} \ do {\ mathcal {O}} _ {X} (D).}

$_$ element _ 1. Nazywa się to sekcją kanoniczną i można ją oznaczyć jako s _D . $,$ gdy sekcja kanoniczna jest obrazem nigdzie znikającej funkcji wymiernej, jej obraz w wzdłuż D funkcje przejścia znikają D . Gdy D jest gładkim dzielnikiem Cartiera, można zidentyfikować kokernel powyższej inkluzji; patrz dzielniki #Cartiera poniżej.

Załóżmy, że X jest normalnym integralnym rozdzielonym schematem typu skończonego na ciele. Niech D będzie dzielnikiem Weila. Wtedy $} jest$ $O }} ($ snopkiem refleksyjnym pierwszej rangi , a ponieważ zdefiniowany jako podsnop z $to$ ułamkowy idealny snop (patrz poniżej I odwrotnie, snop refleksyjny każdej rangi odpowiada dzielnikowi Weila: snopek można ograniczyć do regularnego locus, gdzie staje się wolny, a więc odpowiada dzielnikowi Cartiera (ponownie, patrz poniżej), a ponieważ locus w liczbie pojedynczej ma kowymiar co najmniej po drugie, domknięcie dzielnika Cartiera jest dzielnikiem Weila.

Grupa klasy dzielnika

Grupa klas dzielników Weila Cl( X ) jest ilorazem Div( X ) przez podgrupę wszystkich głównych dzielników Weila. Mówi się, że dwa dzielniki są liniowo równoważne, jeśli ich różnica jest główna, więc grupa klas dzielników to grupa dzielników modulo równoważności liniowej. Dla rozmaitości X wymiaru n nad polem grupa klas dzielników to grupa Chow ; mianowicie Cl ( X ) to grupa Chow CH _{n −1} ( X ) z ( n −1)-wymiarowych cykli.

Niech Z będzie zamkniętym podzbiorem X . Jeśli Z jest nieredukowalny do współwymiaru jeden, to Cl( X - Z ) jest izomorficzny z grupą ilorazową Cl( X ) przez klasę Z . Jeśli Z ma współwymiar co najmniej 2 w X , to ograniczenie Cl( X ) → Cl( X - Z ) jest izomorfizmem. (Te fakty są szczególnymi przypadkami sekwencji lokalizacji dla grup Chow).

Na normalnym całkowym schemacie noetherowskim X , dwa dzielniki Weila re , mi są liniowo równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} (D)}$ i $} (E)}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {$ $-moduły$ są izomorficzne jako . Klasy izomorfizmu krążków zwrotnych na X tworzą monoid z iloczynem podanym jako zwrotny kadłub iloczynu tensorowego. Następnie ${\ Displaystyle D \ mapsto {\ mathcal {O}} _ {X} (D)}$ definiuje monoid izomorfizm z grupy klas dzielników Weila X do monoidu klas izomorfizmów rangi- jeden krążek zwrotny na X .

Przykłady

Niech k będzie polem i niech n będzie dodatnią liczbą całkowitą. Ponieważ pierścień wielomianowy k [ x ₁ , ..., x _n ] jest unikalną dziedziną faktoryzacji, grupa klasy dzielników przestrzeni afinicznej A ⁿ nad k jest równa zeru. Ponieważ przestrzeń rzutowa P ⁿ nad k minus hiperpłaszczyzna H jest izomorficzna z An , wynika z tego, że grupa klas dzielników P ⁿ jest generowana przez klasę ^H . Stamtąd łatwo sprawdzić, że Cl( Pn ) jest w rzeczywistości ^izomorficzny z liczbami całkowitymi Z generowanymi przez H. ^Konkretnie oznacza to, że każda podrozmaitość Pn w kowymiarze-1 jest zdefiniowana przez zanik pojedynczego jednorodnego wielomianu.

Niech X będzie krzywą algebraiczną nad ciałem k . Każdy zamknięty punkt p w X ma postać Spec E dla pewnego skończonego pola rozszerzającego E z k , a stopień p jest zdefiniowany jako stopień E nad k . Rozszerzenie tego o liniowość daje pojęcie stopnia dla dzielnika na X . Jeśli X jest krzywą rzutową na k , to dzielnik niezerowej funkcji wymiernej f na X ma stopień zero. W rezultacie dla krzywej rzutowej X stopień daje homomorfizm deg: Cl( X ) → Z .

Dla linii rzutowej P ¹ na pole k , stopień daje izomorfizm Cl( P ¹ ) ≅ Z . Dla dowolnej gładkiej krzywej rzutowej X z k - wymiernym punktem homomorfizm stopnia jest suriekcyjny, a jądro jest izomorficzne z grupą k -punktów na jakobianowej rozmaitości X , która jest abelową rozmaitością wymiaru równą rodzajowi X. _ Wynika z tego na przykład, że grupa klas dzielników złożonej krzywej eliptycznej jest niepoliczalną grupą abelową.

Uogólniając poprzedni przykład: dla dowolnej gładkiej rozmaitości rzutowej X na polu k takim, że X ma k - punkt wymierny , grupa klas dzielników Cl ( X ) jest rozszerzeniem skończenie generowanej grupy abelowej , grupy Néron – Severi , przez grupa k -punktów schematu grup spójnych ${\ Displaystyle \ operatorname {Pic} _ {X/k} ^ {0}.}$ Dla k charakterystycznego zera, ${\ Displaystyle \ operatorname {Pic} _ {X/k} ^ {0}}$ jest odmiana abelowa, odmiana Picard X.

Dla R pierścienia liczb całkowitych pola liczbowego , dzielnikowa grupa klasowa Cl( R ) :=Cl(Spec R ) jest również nazywana idealną grupą klasową R. Jest to skończona grupa abelowa. Zrozumienie idealnych grup klasowych jest głównym celem algebraicznej teorii liczb .

Afiniczny stożek kwadratowy xy = z ² .

Niech X będzie stożkiem kwadratowym o wymiarze 2, określonym równaniem xy = z ² w afinicznej przestrzeni 3 nad polem. Wtedy linia D w X zdefiniowana przez x = z = 0 nie jest główną na X w pobliżu początku układu współrzędnych. Zauważ, że D można zdefiniować jako zbiór za pomocą jednego równania na X , a mianowicie x = 0; ale funkcja x na X znika, aby uporządkować 2 wzdłuż D , więc stwierdzamy tylko, że 2 D jest Cartierem (zgodnie z definicją poniżej) na X . W rzeczywistości grupa klasy dzielników Cl( X ) jest izomorficzna z grupą cykliczną Z / 2, generowaną przez klasę D.

Niech X będzie stożkiem kwadratowym o wymiarze 3, określonym równaniem xy = zw w afinicznej 4-przestrzeni nad polem. Wtedy płaszczyzna D w X zdefiniowana przez x = z = 0 nie może być zdefiniowana w X za pomocą jednego równania w pobliżu początku układu współrzędnych, nawet jako zbiór. Wynika z tego, że D nie jest Q-Cartierem na X ; to znaczy żadna dodatnia wielokrotność D nie jest Cartierem. W rzeczywistości grupa klas dzielników Cl( X ) jest izomorficzna z liczbami całkowitymi Z generowanymi przez klasę D .

Dzielnik kanoniczny

Niech X będzie rozmaitością normalną nad ciałem doskonałym . Gładkie miejsce U z X jest otwartym podzbiorem, którego dopełnienie ma kowymiar co najmniej 2. Niech j : U → X będzie mapą inkluzji, a następnie homomorfizmem restrykcyjnym:

{\ Displaystyle j ^ {*}: \ nazwa operatora {Cl} (X) \ do \ nazwa operatora {Cl} (U) = \ nazwa operatora {Fot.} (U)}

jest izomorfizmem, ponieważ X - U ma współwymiar co najmniej 2 w X . Na przykład można użyć tego izomorfizmu do zdefiniowania dzielnika kanonicznego K _X od X : jest to dzielnik Weila (do liniowej równoważności) odpowiadający wiązce linii form różniczkowych najwyższego stopnia na U . Równoważnie snop $jest$ snopem obrazu bezpośredniego jot $U}^{n},}$ $j_ {*}$ \ Omega gdzie n jest wymiarem X .

₀₀₀ Przykład : Niech X = P ⁿ będzie n -przestrzenią rzutową o jednorodnych współrzędnych x , ..., x _n . Niech U = { x ≠ 0}. Wtedy U jest izomorficzne z afiniczną n -przestrzenią o współrzędnych y _i = x _i / x . Pozwalać

{\ Displaystyle \ omega = {dy_ {1} \ nad y_ {1}} \ klin \ kropki \ klin {dy_ {n} \ nad y_ {n}}.}

₀ Wtedy ω jest wymierną formą różniczkową na U ; jest $0}$ więc wymierny przekrój , który bieguny wzdłuż Z _ja = { i ₌ , ja = 1, ..., n . Przełączenie na inny wykres afiniczny zmienia tylko znak ω, więc widzimy, że ω ma również prosty biegun wzdłuż Z. Zatem dzielnikiem ω jest

{\ Displaystyle \ operatorname {div} (\ omega) = - Z_ {0} - \ kropki - Z_ {n}}

a jego klasą dzielnika jest

{\ Displaystyle K _ {\ mathbf {P} ^ {n}} = [\ nazwa operatora {dział} (\ omega)] = - (n+1)[H]}

gdzie [ H. ] = [ Z _ja ], ja = 0, ..., n . (Zobacz także sekwencję Eulera ).

Dzielniki Cartiera

Niech X będzie integralnym schematem noetherowskim. Wtedy X ma snop funkcji wymiernych ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} _ {X}.}$ Wszystkie funkcje regularne są funkcjami wymiernymi, co prowadzi do krótkiej sekwencji dokładnej

{\ Displaystyle 0 \ do {\ mathcal {O}} _ {X} ^ {\ razy} \ do {\ mathcal {M}} _{X}^{\razy}\do {\mathcal {M}}_{X}^{\razy}/{\mathcal {O}}_{X}^{\razy}\do 0.}

Dzielnik Cartiera na X jest globalnym przekrojem ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} _ {X} ^ {\ razy} / {\ mathcal {O}} _ {X} ^ {\ razy}.} Równoważnym opisem jest to, że dzielnik Cartiera jest$ zbiorem ${\ Displaystyle \ {(U_ {i}, f_ {i}}}},}$ gdzie ${\ Displaystyle \ {U_ {i} \}}$ jest otwartą okładką z ${\ Displaystyle X, f_ {i}}$ jest sekcją ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} _ {X} ^ {\ razy}}$ na ${\ Displaystyle U_ {i},}$ i ${\ Displaystyle f_ {i} = f_ {j}}$ na ${\ Displaystyle U_ {i} \ czapka U_ {j}}$ aż do pomnożenia przez sekcję z ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} ^ {\ razy}.}$

Dzielniki Cartiera mają również opis teoretyczny snopka. Ułamkowy idealny ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} _ {X}.}$ jest modułem $_$ Ułamkowy idealny snop J jest odwracalny , jeśli dla każdego x w X istnieje otwarte sąsiedztwo U od x , w którym ograniczenie J do U jest równe ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {U} \ cdot f,}$ gdzie ${\ Displaystyle f \ w {\ mathcal {M}} _ {X} ^{\times }(U)}$ a iloczyn jest brany w ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} _ {X}.}$ Każdy dzielnik Cartiera definiuje odwracalny ułamkowy idealny snop przy użyciu opisu dzielnika Cartiera jako zbioru ${\ Displaystyle \ { (U_{i},f_{i})\},}$ i odwrotnie, ułamkowe idealne snopy odwracalne definiują dzielniki Cartiera. $D$ dzielnik Cartiera jest oznaczony to odpowiedni ułamkowy idealny snop jest lub L ( re )

Zgodnie z powyższą dokładną sekwencją istnieje dokładna sekwencja grup kohomologii snopów :

{\ Displaystyle H ^ {0} (X, {\ mathcal {M}} _ {X} ^ {\ razy}) \ do H ^ {0} (X, {\ mathcal {M}} _ {X} ^ {\times}/{\mathcal {O}}_{X}^{\times})\to H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times})= \nazwa_operatora {Rys.} (X).}

Mówi się, że dzielnik Cartiera jest główny , jeśli jest na obrazie homomorfizmu ${\ Displaystyle H ^ {0} (X, {\mathcal {M}}_{X}^{\razy})\do H^{0}(X,{\mathcal {M}}_{X}^{\razy}/{\mathcal {O} }_{X}^{\times}),}$ to znaczy, jeśli jest dzielnikiem funkcji wymiernej na X . Dwa dzielniki Cartiera są liniowo równoważne , jeśli ich różnica jest główna. Każda wiązka linii L na integralnym schemacie noetherowskim X jest klasą jakiegoś dzielnika Cartiera. W rezultacie powyższa dokładna sekwencja identyfikuje grupę wiązek linii Picarda na integralnym schemacie noetherowskim X z grupą dzielników Cartiera modulo równoważności liniowej. Dotyczy to bardziej ogólnie zredukowanych schematów noetherowskich lub schematów quasi-rzutowych na pierścieniu noetherowskim, ale ogólnie może zawieść (nawet w przypadku właściwych schematów na C ), co zmniejsza zainteresowanie dzielnikami Cartiera w pełnej ogólności.

Załóżmy, że D jest efektywnym dzielnikiem Cartiera. Następnie jest krótka dokładna sekwencja

{\ Displaystyle 0 \ do {\ mathcal {O}} _ {X} \ do {\ mathcal {O}} _ {X} (D )\do {\mathcal {O}}_{D}(D)\do 0.}

Sekwencja ta pochodzi z krótkiej sekwencji dokładnej odnoszącej się do snopów struktury X i D oraz snopka idealnego D . Ponieważ D jest dzielnikiem Cartiera, \mathcal {O} ( re ) jest lokalnie swobodny, a zatem tensorowanie tej sekwencji przez daje kolejną krótką dokładną sekwencję, ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (D)}$ jeden powyżej. Kiedy D jest gładkie, O _D ( D ) jest wiązką normalną D w X .

Porównanie dzielników Weila i Cartiera

$, że$ dzielnik Weila D jest Cartierem wtedy i tylko wtedy gdy snop . Kiedy tak się dzieje, $)$ z osadzeniem w M _X dzielnikiem Cartiera. Dokładniej, jeśli $}$ otwarta pokrywa { U _ja taka, że $}(D)}$ $Displaystyle {\ mathcal {O$ ogranicza do trywialnego pakietu na każdym zbiorze otwartym. Dla każdego U _i wybierz izomorfizm ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {U_ {i}} \ do {\ mathcal {O}} (D) | _ {U_ {i}}.}$ Obraz ${\ Displaystyle 1 \ w \ Gamma (U_ {i}, {\ mathcal {O}} _ {U_ {i}}) = \ Gamma (U_ {i}, {\ mathcal {O}} _ {X}}}$ pod tą mapą znajduje się sekcja ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (D)}$ na U _ja . Ponieważ $podsnop$ snop funkcji wymiernych, obraz 1 można utożsamiać z fa _ja . Zbiór jest zatem dzielnikiem Cartiera. ${\ Displaystyle \ {(U_ {i}, f_ {i}}}}}$ Jest to dobrze zdefiniowane, ponieważ jedyne wybory dotyczyły pokrycia i izomorfizmu, z których żaden nie zmienia dzielnika Cartiera. Ten dzielnik Cartiera może być użyty do stworzenia snopka, który dla rozróżnienia oznaczymy jako L ( D ). Istnieje izomorfizm z L $zdefiniowany$ re na otwartej okładce { U _ja }. Kluczowym faktem do sprawdzenia tutaj jest to, że funkcje przejścia z $)$ L ( re do faktu, że wszystkie te funkcje mają forma ${\ displaystyle f_ {i} / f_ {j}.}$

W przeciwnym kierunku dzielnik $Noetherowskim$ całkowym schemacie X naturalny sposób, stosując ${\ displaystyle \ operatorname {div}}$ do funkcji fa _ja na zbiorach otwartych U _ja .

Jeśli X jest normalne, dzielnik Cartiera jest określony przez powiązany dzielnik Weila, a dzielnik Weila jest Cartierem wtedy i tylko wtedy, gdy jest lokalnie główny.

Schemat Noetherowski X jest nazywany silnią , jeśli wszystkie lokalne pierścienie X są unikalnymi domenami faktoryzacji . (Niektórzy autorzy mówią „lokalnie silni”.) W szczególności każdy regularny schemat jest silni. $X$ schemacie czynnikowym każdy dzielnik Weila jest lokalnie , więc zawsze jest wiązką liniową Ogólnie jednak dzielnik Weila w normalnym schemacie nie musi być lokalnie główny; patrz przykłady stożków czworobocznych powyżej.

Efektywne dzielniki Cartiera

Efektywne dzielniki Cartiera to takie, które odpowiadają krążkom idealnym. W rzeczywistości teorię efektywnych dzielników Cartiera można rozwinąć bez żadnego odniesienia do snopów funkcji wymiernych lub ułamkowych idealnych snopów.

Niech X będzie schematem. Efektywny dzielnik Cartiera na X Ix _to idealny snop I , który jest odwracalny i taki, że dla każdego punktu x w X łodyga jest główna. Równoważne jest wymaganie, aby wokół każdego x istniał otwarty podzbiór afiniczny $U = Spec A$ taki, że $U \cap D = Spec A / (f)$ , gdzie f jest niezerowym dzielnikiem w A . Suma dwóch efektywnych dzielników Cartiera odpowiada mnożeniu idealnych krążków.

Istnieje dobra teoria rodzin efektywnych dzielników Cartiera. Niech $φ : X \to S$ będzie morfizmem. Względny efektywny dzielnik Cartiera dla X przez S jest efektywnym dzielnikiem Cartiera D na X , który jest płaski nad S . Ze względu na założenie płaskości dla każdego $S} S',}$ ${$ D do X a to wycofanie jest efektywnym dzielnikiem Cartiera. W szczególności dotyczy to włókien φ.

Lemat Kodairy

Podstawowym wynikiem (dużego) dzielnika Cartiera jest wynik zwany lematem Kodairy:

Niech $X$ będzie nieredukowalną rozmaitością rzutową i niech $D$ będzie dużym dzielnikiem Cartiera na $X$ i niech $H$ będzie dowolnym efektywnym dzielnikiem Cartiera na $X$ . Następnie

${\ Displaystyle H ^ {0} (X, {\ mathcal {O}} _ {X} (mD-H)) \ neq 0}$ .

dla wszystkich wystarczająco dużych ${\ Displaystyle m \ in N (X, D)}$ .

Lemat Kodairy daje pewne wyniki dotyczące dużego dzielnika.

Funkcjonalność

Niech $φ : X \to Y$ będzie morfizmem całkowych lokalnie schematów noetherowskich. Często — choć nie zawsze — możliwe jest użycie φ do przeniesienia dzielnika D z jednego schematu do drugiego. To, czy jest to możliwe, zależy od tego, czy dzielnik jest dzielnikiem Weila czy Cartiera, czy dzielnik ma zostać przeniesiony z X do Y lub odwrotnie, oraz jakie dodatkowe właściwości może mieć φ.

Jeśli Z jest pierwszym dzielnikiem Weila $jest$ , to podschematem Y W zależności od φ może, ale nie musi, być pierwszym dzielnikiem Weila. Na przykład, jeśli φ jest powiększeniem punktu na płaszczyźnie, a Z jest wyjątkowym dzielnikiem, to jego obraz nie jest dzielnikiem Weila. Dlatego φ _* Z jest zdefiniowany jako ${\ displaystyle {\ overline {\ varphi (Z)}}},$ jeśli ten podschemat jest dzielnikiem pierwszym, aw przeciwnym razie jest zdefiniowany jako dzielnik zera. Rozszerzenie tego o liniowość pozwoli, zakładając, że X jest quasi-zwarty, zdefiniować homomorfizm $Div(X) \to Div(Y)$ zwany pushforward . (Jeśli X nie jest quasi-zwarty, wtedy pushforward może nie być lokalnie skończoną sumą.) Jest to szczególny przypadek pushforward w grupach Chow.

Jeśli Z jest dzielnikiem Cartiera, to przy łagodnych hipotezach dotyczących φ występuje wycofanie . φ $\ Displaystyle \ varphi ^ {*} Z$ } Snop-teoretycznie, gdy istnieje mapa wycofania ${\ Displaystyle \ varphi ^ {- 1} {\ mathcal {M}} _ {Y} \ do {\ mathcal {M}} _ { X}}$ , to wycofanie to można wykorzystać do zdefiniowania wycofania dzielników Cartiera. $) \}}$ $_$ lokalne wycofanie . Pullback jest zawsze zdefiniowany, jeśli φ jest dominujący, ale nie można go zdefiniować w sposób ogólny. Na przykład, jeśli $X = Z$ i φ jest włączeniem Z do Y , to φ ^* Z jest niezdefiniowane, ponieważ odpowiednie sekcje lokalne byłyby wszędzie równe zeru. (Wycofanie odpowiedniej wiązki linii jest jednak zdefiniowane.)

Jeśli φ jest płaska, to zdefiniowane jest wycofanie dzielników Weila. W tym przypadku wycofanie Z wynosi $φ * Z = φ -1 (Z)$ . Płaskość φ zapewnia, że odwrotny obraz Z nadal ma wymiar jeden. Może to zawieść w przypadku morfizmów, które nie są płaskie, na przykład w przypadku małego skurczu.

Pierwsza klasa Cherna

Dla integralnego schematu noetherowskiego X naturalny homomorfizm z grupy dzielników Cartiera do dzielników Weila daje homomorfizm

{\ Displaystyle c_ {1}: \ operatorname {Pic} (X) \ do \ operatorname {Cl} (X),}

znany jako pierwsza klasa Cherna . Pierwsza klasa Cherna jest iniekcyjna, jeśli X jest normalna, i jest izomorfizmem, jeśli X jest silnią (jak zdefiniowano powyżej). W szczególności dzielniki Cartiera można utożsamiać z dzielnikami Weila na dowolnym schemacie regularnym, a więc pierwsza klasa Cherna jest izomorfizmem dla regularności X.

Jawnie, pierwszą klasę Cherna można zdefiniować w następujący sposób. Dla wiązki liniowej L na integralnym schemacie noetherowskim X , niech będzie niezerową wymierną sekcją L (to znaczy sekcją na pewnym niepustym otwartym podzbiorze L ), która istnieje dzięki lokalnej trywialności L . Zdefiniuj dzielnik ( y ) Weila na X analogicznie do dzielnika funkcji wymiernej. Wtedy pierwsza klasa Cherna z L może być zdefiniowana jako dzielnik ( s ). Zmiana wymiernej sekcji s zmienia ten dzielnik przez liniową równoważność, ponieważ ( fs ) = ( f ) + ( s ) dla niezerowej funkcji wymiernej f i niezerowej wymiernej sekcji s z L . Zatem element c ₁ ( L ) w Cl( X ) jest dobrze zdefiniowany.

Dla złożonej rozmaitości X o wymiarze n , niekoniecznie gładkiej lub właściwej nad C , istnieje naturalny homomorfizm, mapa cykli , od grupy klas dzielników do homologii Borela-Moore'a :

{\ Displaystyle \ nazwa operatora {Cl} (X) \ do H_ {2n-2} ^ {\ nazwa operatora {BM}} (X, \ mathbf {Z}).}

Ta ostatnia grupa jest zdefiniowana za pomocą przestrzeni X ( C ) punktów zespolonych X , z jej klasyczną (euklidesową) topologią. Podobnie grupa Picarda odwzorowuje kohomologię integralną przez pierwszą klasę Cherna w sensie topologicznym:

{\ Displaystyle \ nazwa operatora {Rys.} (X) \ do H ^ {2} (X, \ mathbf {Z}).}

Te dwa homomorfizmy są powiązane diagramem przemiennym , gdzie prawa mapa pionowa to iloczyn cap z podstawową klasą X w homologii Borela-Moore'a:

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {ccc} \ operatorname {Pic} ( X)&\longrightarrow &H^{2}(X,\mathbf {Z} )\\\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Cl} (X)&\longrightarrow &H_{2n-2}^{\operatorname { BM} }(X,\mathbf {Z} )\end{tablica}}}

Dla X wygładzonego nad C , obie pionowe mapy są izomorfizmami.

Globalne przekroje wiązek linii i systemów liniowych

Dzielnik Cartiera jest efektywny _, jeśli jego lokalne funkcje definiujące fi są regularne (a nie tylko funkcje wymierne). W takim przypadku dzielnik Cartiera można utożsamić z zamkniętym podschematem o kowymiarze 1 w X , podschematem zdefiniowanym lokalnie przez fi ₌ 0. Dzielnik Cartiera D jest liniowo równoważny efektywnemu dzielnikowi wtedy i tylko wtedy, gdy związana z nim wiązka linii ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} (D)}$ ma niezerową sekcję globalną s ; wtedy D jest liniowo równoważne zerowemu locus s .

⁰ Niech X będzie rozmaitością rzutową na ciele k . Następnie $pomnożenie$ sekcji przez niezerowy skalar w k nie zmienia jej W rezultacie przestrzeń rzutową prostych w k -wektorowej przestrzeni globalnych przekrojów H ( X , O ( D )) można utożsamiać ze zbiorem efektywnych dzielników liniowo równoważnych D , zwanym zupełnym układem liniowym D . Rzutowa podprzestrzeń liniowa tej przestrzeni rzutowej nazywana jest liniowym układem dzielników .

Jednym z powodów, dla których warto badać przestrzeń globalnych przekrojów wiązki linii, jest zrozumienie możliwych map z danej rozmaitości do przestrzeni rzutowej. Jest to istotne dla klasyfikacji rozmaitości algebraicznych. Wyraźnie, morfizm z rozmaitości X do przestrzeni rzutowej P ⁿ nad polem k określa wiązkę liniową L na X , wycofanie standardowej wiązki liniowej ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} (1)}$ na Pn . ^_ Co więcej, L zawiera n +1 sekcji, których miejsce bazowe (przecięcie ich zbiorów zerowych) jest puste. I odwrotnie, dowolna wiązka linii L z n +1 globalnymi sekcjami, których wspólne miejsce bazowe jest puste, określa morfizm X → P ⁿ . Obserwacje te prowadzą do kilku pojęć dodatnich dla dzielników Cartiera (lub wiązek linii), takich jak dzielniki obfite i dzielniki nef .

⁰⁰ Dla dzielnika D na rozmaitości rzutowej X na polu k , k -wektorowa przestrzeń H ( X , O ( D )) ma skończony wymiar. Twierdzenie Riemanna – Rocha jest podstawowym narzędziem do obliczania wymiaru tej przestrzeni wektorowej, gdy X jest krzywą rzutową. Kolejne uogólnienia, twierdzenie Hirzebrucha – Riemanna – Rocha i twierdzenie Grothendiecka – Riemanna – Rocha , dostarczają pewnych informacji o wymiarze H ( X , O ( D )) dla rozmaitości rzutowej X dowolnego wymiaru na polu.

⁰⁰ Ponieważ dzielnik kanoniczny jest nierozerwalnie powiązany z rozmaitością, kluczową rolę w klasyfikacji rozmaitości odgrywają odwzorowania przestrzeni rzutowej podanej przez K _X i jej dodatnie wielokrotności. Wymiar Kodairy X jest kluczowym niezmiennikiem biracyjnym , mierzącym wzrost przestrzeni wektorowych H ( X , mK _X ) (co oznacza H ( X , O ( m K _X ))) wraz ze wzrostem m . Wymiar Kodairy dzieli wszystkie n -wymiarowe rozmaitości na n +2 klas, które (bardzo z grubsza) przechodzą od krzywizny dodatniej do krzywizny ujemnej.

Dzielniki Q

Niech X będzie rozmaitością normalną. Dzielnik Q (Weila) jest skończoną formalną liniową kombinacją nieredukowalnych podrozmaitości kowymiaru-1 X z wymiernymi współczynnikami. ( Podobnie definiuje się dzielnik R. ) Dzielnik Q jest efektywny , jeśli współczynniki są nieujemne. Dzielnik Q D jest Q-Cartierem , jeśli mD jest dzielnikiem Cartiera dla pewnej dodatniej liczby całkowitej m . Jeśli X jest gładki, to każdy Q -dzielnik jest Q -Cartierem.

Jeśli

{\ Displaystyle D = \ suma _ {j} a_ {j} Z_ {j}}

jest dzielnikiem Q , to jego zaokrąglenie w dół jest dzielnikiem

{\ Displaystyle \ lfloor D \ rfloor = \ suma \ lfloor a_ {j} \ rfloor Z_ {j},

gdzie jest największą liczbą całkowitą mniejszą lub równą a ${\ Displaystyle \ lfloor a \$ } Snop $_$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} (\ lfloor D \ rfloor).}$ definiowany

Twierdzenie Grothendiecka – Lefschetza o hiperpłaszczyznach

Lefschetza o hiperpłaszczyznach implikuje, że dla gładkiej zespolonej rozmaitości rzutowej X o wymiarze co najmniej 4 i gładkiego szerokiego dzielnika Y w X , ograniczenie Pic( X ) → Pic( Y ) jest izomorfizmem. Na przykład, jeśli Y jest gładką , kompletną różnorodnością przecięć o wymiarze co najmniej 3 w zespolonej przestrzeni rzutowej, to grupa Picarda Y jest izomorficzna z Z , wygenerowana przez ograniczenie wiązki linii O (1) w przestrzeni rzutowej.

Grothendieck uogólnił twierdzenie Lefschetza w kilku kierunkach, obejmując dowolne pola podstawowe, rozmaitości pojedyncze i wyniki dotyczące pierścieni lokalnych, a nie rozmaitości rzutowe. W szczególności, jeśli R jest pierścieniem lokalnym z całkowitym przecięciem , który jest silnią w kowymiarze co najwyżej 3 (na przykład, jeśli nieregularne locus R ma współwymiar co najmniej 4), to R jest unikalną domeną faktoryzacji (a zatem każdy Weil dzielnik na Spec( R ) to Cartier). Wymiar związany tutaj jest optymalny, jak pokazano na powyższym przykładzie trójwymiarowego stożka kwadratowego.

Notatki

Dieudonné, Jean (1985), History of Algebraic Geometry , Wadsworth Mathematics Series, przekład Judith D. Sally , Belmont, Kalifornia: Wadsworth International Group, ISBN 0-534-03723-2 , MR 0780183
Eisenbud, Dawid; Harris, Joe (2016), 3264 i wszystko to: drugi kurs geometrii algebraicznej , CUP, ISBN 978-1107602724
Grothendieck, Aleksandr ; Dieudonné, Jean (1967). „Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie” . Publikacje Mathématiques de l'IHÉS . 32 : 5–361. doi : 10.1007/bf02732123 . MR 0238860 .
Grothendieck Aleksander ; Raynaud, Michèle (2005) [1968], Laszlo, Yves (red.), Cohomologie locale des faisceaux cohérents et théorèmes de Lefschetz locaux et globaux (SGA 2) , Documents Mathématiques, tom. 4 , Paryż : Société Mathématique de France _ _ _ _ _ _ _ _
Sekcja II.6 Hartshorne, Robin (1977), Geometria algebraiczna , Graduate Texts in Mathematics, tom. 52, Nowy Jork, Heidelberg: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4757-3849-0 , ISBN 0-387-90244-9 , MR 0463157
Kleiman, Steven (2005), „Schemat Picarda”, Podstawowa geometria algebraiczna , Math. Ankiety Monogr., tom. 123, Providence, RI: American Mathematical Society , s. 235–321, arXiv : math/0504020 , Bibcode : 2005math......4020K , MR 2223410
Kollár , János ( 2013 ) , Osobliwości programu minimalnego modelu , Cambridge University Press
Lazarsfeld, Robert (2004), Pozytywność w geometrii algebraicznej , tom. 1, Berlin: Springer-Verlag, doi : 10.1007/978-3-642-18808-4 , ISBN 3-540-22533-1 , MR 2095471

Linki zewnętrzne

Autorzy projektu Stacks, Projekt Stacks