Dyskretny pierścień wyceny

W algebrze abstrakcyjnej dyskretny pierścień wartościowania ( DVR ) jest dziedziną ideału głównego (PID) z dokładnie jednym niezerowym ideałem maksymalnym .

Oznacza to, że DVR jest domeną integralną R , która spełnia jeden z następujących równoważnych warunków:

R jest lokalną główną domeną idealną , a nie polem .
R jest pierścieniem wartościowania z grupą wartości izomorficzną do dodawanych liczb całkowitych.
R jest lokalną domeną Dedekind , a nie polem.
R jest domeną lokalną Noethera , której ideałem maksymalnym jest zasada główna, a nie pole.
R jest całkowicie zamkniętym lokalnym pierścieniem noetherowskim o wymiarze Krulla jeden.
R jest dziedziną ideału głównego z unikalnym niezerowym ideałem pierwszym .
R jest domeną ideału głównego z unikalnym nieredukowalnym elementem ( do pomnożenia przez jednostki ).
R jest unikalną dziedziną faktoryzacji z unikalnym nieredukowalnym elementem (aż do pomnożenia przez jednostki).
R jest noetherowskie, a nie pole , a każdy niezerowy ideał ułamkowy R jest nieredukowalny w tym sensie, że nie można go zapisać jako skończonego przecięcia ułamkowych ideałów, które właściwie go zawierają .
Istnieje pewna dyskretna wycena ν na polu ułamków K z R taka, że R = {0} ${\ Displaystyle \ cup}$ { x ${\ Displaystyle \ in}$ K : ν ( x ) ≥ 0}.

Przykłady

Algebraiczny

Lokalizacja pierścieni Dedekinda

Niech ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {(2)}: = \ {z / n \ mid z, n \ in \mathbb {Z} ,\,\,n{\text{jest nieparzyste}}\}}$ . Następnie pole ułamków wynosi Z $\ Displaystyle$ $\ mathbb$ . Dla dowolnego niezerowego elementu $możemy$ zastosować unikalną faktoryzację licznika $r$ mianownika , aby zapisać jako 2 ^k z / n gdzie z , n i k są liczbami całkowitymi z nieparzystymi z i n . W tym przypadku definiujemy ν( r )= k . Wtedy $.$ dyskretnym pierścieniem Maksymalny ideał jest głównym ideałem generowanym przez 2, tj. ${\ Displaystyle 2 \ mathbb {Z} _ { ($ ${\ Displaystyle 2 \ mathbb {Z} _ {(2) )}}$ , a „unikalny” nieredukowalny element (do jednostek) to 2 (jest to również znane jako parametr uniformizujący). Zauważ, że jest lokalizacją domeny Dedekinda w ideale pierwszym generowanym przez 2. $)}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {$

Mówiąc bardziej ogólnie, każda lokalizacja domeny Dedekinda na niezerowym ideale pierwszym jest dyskretnym pierścieniem wyceny; w praktyce tak często powstają dyskretne pierścienie wyceny. W szczególności możemy zdefiniować pierścienie

{\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {(p)}: = \ lewo. \ lewo \ {{\ Frac {z} {n}} \, \ prawo | z, n\w \mathbb {Z} ,p\nmid n\right\}}

dla dowolnego pierwszego p w pełnej analogii.

p-adyczne liczby całkowite

Pierścień $całkowitych$ -adic liczb to DVR $.$ dowolnej _ pierwszej Tutaj jest elementem $_$ ; wycena przypisuje każdej $największą$ całkowitej liczbę całkowitą taką , że $dzieli$ $p ^ {k}}$ $displaystyle$ x $\ displaystyle x$ .

Formalne szeregi potęgowe

Innym ważnym przykładem rejestratora DVR jest pierścień formalnych szeregów potęgowych w jednej zmiennej $[[T] ]}$ jakimś polem . ${ \$ $Displaystyle$ . „Unikalnym” nieredukowalnym elementem jest $T}$ maksymalny ideał jest głównym ideałem generowanym przez $T$ $\ displaystyle$ , a wycena przypisuje każdemu ${\ displaystyle T$ szereg potęgowy indeks (tj. stopień) pierwszego niezerowego współczynnika.

Jeśli ograniczymy się do rzeczywistych lub zespolonych współczynników, możemy rozważyć pierścień szeregów potęgowych w jednej zmiennej, które zbiegają się w sąsiedztwie 0 (z sąsiedztwem zależnym od szeregu potęgowego). Jest to dyskretny pierścień wyceny. Jest to przydatne do budowania intuicji z wartościującym kryterium poprawności .

Pierścień w polu funkcyjnym

Jako przykład o charakterze bardziej geometrycznym weźmy pierścień R = { f / g : f , wielomiany g w R [ X ] i g (0) ≠ 0}, uważany za podpierścień pola funkcji wymiernych R ( X ) w zmiennej X. R można utożsamiać z pierścieniem wszystkich funkcji wymiernych o wartościach rzeczywistych zdefiniowanych (tj. skończonych) w sąsiedztwie neighborhood of 0 on the real axis (with the neighborhood depending on the function). It is a discrete valuation ring; the "unique" irreducible element is X and the valuation assigns to each function f the order (possibly 0) of the zero of f at 0. This example provides the template for studying general algebraic curves near non-singular points, the algebraic curve in this case being the real line.

Teoria schematów

Henselowska cecha

W przypadku rejestratora DVR $R$ zapisuje się pole ułamkowe jako ${\ Displaystyle K = {\ tekst {Frac}} (R)}$ i $\ Displaystyle \ kappa = R/{\mathfrak {m}}}$ pole reszty. Odpowiadają one ogólnym i zamkniętym ${\ Displaystyle S = {\ text {Spec}} (R).}$ Na przykład zamknięty punkt ${\ Displaystyle {\ text {Spec}} (\ mathbb {Z} _ {p}) }$ to fa $mathbb {F} _ {p}},$ $a$ ogólny punkt . Czasami jest to oznaczone jako

{\ Displaystyle \ eta \ do S \ strzałka w lewo s}

gdzie $jest$ punktem ogólnym i $punktem$ zamkniętym

Lokalizacja punktu na krzywej

Biorąc pod uwagę $}}}}$ algebraiczną $}}$ lokalny pierścień $_ {X , {\ mathfrak {$ $jest$ w gładkim punkcie dyskretnym pierścieniem wyceny, ponieważ jest to główny pierścień wyceny. Zauważ , że ponieważ punkt jest gładki, zakończenie lokalnego $pierścienia$ jest izomorficzne z zakończeniem lokalizacji ${\ displaystyle \ mathbb {A} ^ {1}$ } w pewnym momencie ${\ displaystyle {\ mathfrak {q}}}$ .

Parametr uniformizujący

Biorąc pod uwagę DVR R , każdy nieredukowalny element R jest generatorem unikalnego maksymalnego ideału R i odwrotnie. Taki element jest również nazywany parametrem uniformizującym R (lub elementem uniformizującym , uniformizerem lub elementem pierwszym ).

Jeżeli ustalimy parametr uniformizujący t , to M =( t ) jest unikalnym ideałem maksymalnym R , a każdy inny niezerowy ideał jest potęgą M , czyli ma postać ( tk ⁾ dla pewnego k ≥ 0. Wszystkie potęgi t są różne, podobnie jak potęgi M. Każdy niezerowy element x z R można zapisać w postaci α tk z α jednostką w R i k ≥ 0, oba jednoznacznie określone przez x ^. Wycena jest dana przez ν ( x ) = kv ( t ). Aby więc całkowicie zrozumieć pierścień, trzeba znać grupę jednostek R i sposób, w jaki jednostki oddziałują addytywnie z potęgami t .

Funkcja v sprawia również, że każdy dyskretny pierścień wyceny staje się dziedziną euklidesową . ^{[ potrzebne źródło ]}

Topologia

Każdy dyskretny pierścień wartościujący, będący pierścieniem lokalnym , ma naturalną topologię i jest pierścieniem topologicznym . Możemy również nadać mu metryczną strukturę przestrzenną, w której odległość między dwoma elementami x i y można zmierzyć w następujący sposób:

{\ Displaystyle | xy | = 2 ^ {- \ nu (xy)}}

(lub z dowolną inną ustaloną liczbą rzeczywistą > 1 zamiast 2). Intuicyjnie: element z jest „mały” i „bliski 0”, jeśli jego wycena ν( z ) jest duża. Funkcja |xy|, uzupełniona o |0|=0, jest ograniczeniem wartości bezwzględnej określonej na polu ułamków dyskretnego pierścienia wartościowania.

Rejestrator DVR jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest kompletny , a jego pole resztkowe R / M jest ciałem skończonym .

Przykłady kompletnych rejestratorów obejmują

pierścień p -adycznych liczb całkowitych i
pierścień formalnych szeregów potęgowych nad dowolnym polem

Dla danego rejestratora często przechodzi się do jego skompletowania , kompletnego rejestratora zawierającego dany pierścień, który często jest łatwiejszy do zbadania. Tę uzupełniania można traktować w sposób geometryczny jako przejście od funkcji wymiernych do szeregów potęgowych lub od liczb wymiernych do liczb rzeczywistych .

Wracając do naszych przykładów: pierścień wszystkich formalnych szeregów potęgowych w jednej zmiennej o rzeczywistych współczynnikach jest dopełnieniem pierścienia funkcji wymiernych określonych (tj. skończonych) w sąsiedztwie 0 na prostej rzeczywistej; jest to również dopełnienie pierścienia wszystkich szeregów potęg rzeczywistych, które zbiegają się w pobliżu 0. ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {(p)} = \ mathbb {Q} \cap \mathbb {Z} _{p}}$ (którą można postrzegać jako zbiór wszystkich liczb wymiernych, które są p -adycznymi liczbami całkowitymi) jest pierścieniem wszystkich p -adycznych liczb całkowitych Z _p .

Zobacz też

Atiyah, Michael Francis ; Macdonald, IG (1969), Wprowadzenie do algebry przemiennej , Westview Press, ISBN 978-0-201-40751-8
Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004), algebra abstrakcyjna (wyd. 3), Nowy Jork: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-43334-7 , MR 2286236
Dyskretny pierścień oceny , The Encyclopaedia of Mathematics .