Dyskretna wycena

W matematyce wycena dyskretna jest wyceną całkowitą na polu K ; czyli funkcja :

${\ Displaystyle \ nu: K \ do \ mathbb {Z} \ kubek \ {\ infty \}}$

spełniający warunki:

${\ Displaystyle \ nu (x \ cdot y) = \ nu (x) + \ nu (y)}$

${\ Displaystyle \ nu (x + y) \ geq \ min {\ duży \ {} \ nu (x), \ nu (y) {\ duży \}}}$

${\ Displaystyle \ nu (x) = \ infty \ iff x = 0}$

dla wszystkich ${\ Displaystyle x, y \ w K.}$ .

$,$ która przyjmuje tylko wartości jest wyraźnie wykluczona.

Pole z nietrywialną wyceną dyskretną nazywamy polem wyceny dyskretnej .

Dyskretne pierścienie wyceny i wyceny na polach

Do każdego pola $możemy$ dyskretną wyceną powiązać podpierścień ${\ displaystyle \ nu}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {K}: = \ lewo \ {x \ w K \ środkowy \ nu (x) \ geq 0 \ Prawidłowy\}}$

z $wyceny$ który jest dyskretnym pierścieniem . $_$ , na $_$ _ w unikalny sposób do dyskretnej wyceny na polu ilorazu ${\ Displaystyle K = {\ tekst {Quot}} (A)}$ ; powiązany dyskretny pierścień wyceny to po prostu $K$$}}$ .

Przykłady

• Dla ustalonej $Displaystyle$ pierwszej i dla dowolnego elementu różnego od zera napisz $x \ in \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle x = p ^ {j} \ frac {a} {b}}}$ z ${\ Displaystyle j, a, b \ in \ mathbb {Z}}$ tak, że ${\ displaystyle p}$ nie dzieli ${\ styl wyświetlania a, b}$ . Wtedy $wyceną$ wyceną na $\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ p - .
• Biorąc $∪$${C} \cup \{\infty \}}$ Riemanna , rozważyć pole funkcji meromorficznych $\$$X \ do$ . Dla punktu stałego ${$ dyskretną wycenę na $j}$$\$ Displaystyle i tylko wtedy, gdy $($ największą liczbą całkowitą taką, że funkcję można rozszerzyć na funkcję holomorficzną $z) / (zp) ^ {j}}$ w ${\ displaystyle p}$ . Oznacza to: jeśli ${\ Displaystyle \ nu (f) = j> 0}$ to ma pierwiastek rzędu $Displaystyle$$j}$ w punkcie $\ Displaystyle p }$ ; jeśli ${\ Displaystyle \ nu (f) = j <0}$ , to ma biegun porządku $-j}$$Displaystyle$ w ${\ Displaystyle p$ . W podobny sposób definiuje się również dyskretną wycenę pola funkcyjnego krzywej algebraicznej dla każdego regularnego punktu $na$ .

Więcej przykładów można znaleźć w artykule o dyskretnych pierścieniach wyceny .

Cytaty

•   Cassels, JWS ; Fröhlich, Albrecht , wyd. (1967), algebraiczna teoria liczb , Academic Press , Zbl 0153.07403
•    Fesenko, Iwan B.; Wostokow, Siergiej V. (2002), Pola lokalne i ich rozszerzenia , Tłumaczenia monografii matematycznych, tom. 121 (wydanie drugie), Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-3259-2 , MR 1915966