Ogólny punkt

W geometrii algebraicznej punkt ogólny P o rozmaitości algebraicznej X jest, mówiąc z grubsza, punktem, w którym wszystkie właściwości ogólne są prawdziwe, a właściwość ogólna jest właściwością, która jest prawdziwa dla prawie każdego punktu.

W klasycznej geometrii algebraicznej punkt rodzajowy afinicznej lub rzutowej rozmaitości algebraicznej wymiaru d jest takim punktem, że pole generowane przez jego współrzędne ma stopień transcendencji d nad polem generowanym przez współczynniki równań rozmaitości.

W teorii schematów widmo domeny całkowej ma unikalny ogólny punkt, którym jest ideał zera . Ponieważ zamknięciem tego punktu dla topologii Zańskiego jest całe widmo, definicja została rozszerzona na topologię ogólną , gdzie punktem rodzajowym przestrzeni topologicznej X jest punkt, którego domknięciem jest X.

Definicja i motywacja

Ogólnym punktem przestrzeni topologicznej X jest punkt P , którego zamknięciem jest cała przestrzeń X , to znaczy punkt, który jest gęsty w X.

Terminologia wywodzi się z przypadku topologii Zariskiego na zbiorze podrozmaitości zbioru algebraicznego : zbiór algebraiczny jest nierozkładalny (to znaczy nie jest sumą dwóch właściwych podzbiorów algebraicznych) wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń topologiczna podrozmaitości ma ogólny punkt.

Przykłady

• Jedyną przestrzenią Hausdorffa , która ma ogólny punkt, jest zbiór singletonowy .
• Każdy schemat integralny ma (unikalny) ogólny punkt; w przypadku schematu całki afinicznej (tj. widma pierwszego domeny całki ) punkt ogólny jest punktem powiązanym z ideałem pierwszym (0).

Historia

W fundamentalnym podejściu André Weila , rozwiniętym w jego Foundations of Algebraic Geometry , punkty generyczne odgrywały ważną rolę, ale były traktowane w inny sposób. Dla rozmaitości algebraicznej V nad polem K , ogólne punkty V były całą klasą punktów V przyjmujących wartości w dziedzinie uniwersalnej Ω , algebraicznie zamkniętym polu zawierającym K ale także nieskończoną ilość świeżych nieokreśloności. Podejście to sprawdziło się , bez potrzeby bezpośredniego zajmowania się topologią V ( tj. 1930).

Odbyło się to kosztem istnienia ogromnego zbioru równie ogólnych punktów. Oscar Zariski , kolega Weila z São Paulo tuż po drugiej wojnie światowej , zawsze podkreślał, że ogólne punkty powinny być unikalne. (Można to ująć z powrotem w kategoriach topologów: pomysł Weila nie daje przestrzeni Kołmogorowa , a Zariski myśli w kategoriach ilorazu Kołmogorowa ).

W wyniku szybkich fundamentalnych zmian w latach pięćdziesiątych podejście Weila stało się przestarzałe. Jednak w teorii schematów od 1957 r. powróciły punkty rodzajowe: tym razem à la Zariski . Na przykład dla R dyskretnego pierścienia wyceny Spec ( R ) składa się z dwóch punktów, punktu ogólnego (pochodzącego z ideału pierwszego {0}) i punktu zamkniętego lub punktu specjalnego pochodzącego z unikalnego ideału maksymalnego . Dla morfizmów do Spec ( R ), włókno powyżej punktu specjalnego jest włóknem specjalnym , ważnym pojęciem na przykład w redukcji modulo p , teorii monodromii i innych teoriach dotyczących degeneracji. Włókno ogólne jest w równym stopniu włóknem powyżej punktu ogólnego. Geometria degeneracji polega więc w dużej mierze na przejściu od włókien generycznych do specjalnych, czyli inaczej mówiąc, jak specjalizacja parametrów wpływa na materię. (Dla dyskretnego pierścienia wyceny rozpatrywaną przestrzenią topologiczną jest przestrzeń Sierpińskiego topologów. Inne pierścienie lokalne mają unikalne punkty ogólne i specjalne, ale bardziej skomplikowane widmo, ponieważ reprezentują wymiary ogólne. Pod tym względem przypadek wyceny dyskretnej jest bardzo podobny do złożonego dysku jednostkowego ).

•   Vickers, Steven (1989). Topologia poprzez logikę . Traktaty Cambridge w informatyce teoretycznej . Tom. 5. str. 65. ISBN 0-521-36062-5 .
•    Weil, André (1946). Podstawy geometrii algebraicznej . Publikacje kolokwium Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego. Tom. XXIX. ISBN 978-1-4704-3176-1 . OCLC 1030398184 .