Chow grupa

W geometrii algebraicznej grupy Chow (nazwane na cześć Wei-Liang Chow przez Claude'a Chevalleya ( 1958 )) o rozmaitości algebraicznej w dowolnym polu są algebraiczno-geometrycznymi analogami homologii przestrzeni topologicznej . Elementy grupy Chow są tworzone z podrozmaitości (tak zwanych cykli algebraicznych ) w podobny sposób, jak grupy homologii uproszczonej lub komórkowej są tworzone z podkompleksów. Gdy rozmaitość jest gładka , grupy Chow można interpretować jako grupy kohomologiczne (porównaj dualność Poincarégo ) i mają mnożenie zwane iloczynem przecięcia . Grupy Chow niosą bogate informacje o rozmaitości algebraicznej i ogólnie są odpowiednio trudne do obliczenia.

Równoważność racjonalna i grupy Chow

W dalszej części zdefiniuj rozmaitość na polu, aby była integralnym schematem typu skończonego na $\ displaystyle k$$}$ . Dla $każdego$ typu $skończonego$$współczynnikami$ , $. (Tutaj$ algebraiczny na oznacza skończoną liniową kombinację podrozmaitości ze $Z_ {i}$ poniżej rozumie się, że podrozmaitości są zamknięte w $,$ o ile nie zaznaczono inaczej). Dla liczby naturalnej grupa $Displaystyle$$\ displaystyle i}$ z $-wymiarowych$$cykli$ (lub $na$ skrócie cykli ) na jest swobodną grupą abelową zbiorze - pododmiany wymiarowe ${\ displaystyle X}$ .

Dla rozmaitości $W$ i dowolnej funkcji wymiernej $, która$ W $}$$\ Displaystyle$ nie jest zero, fa { $\$$}$ displaystyle $-cykl$ to

${\ Displaystyle (f) = \ suma _ {Z} \ operatorname {ord} _ {Z} (f) Z,}$

gdzie suma obejmuje wszystkie $Displaystyle$ podrozmaitości $Z}$ W ${\ Displaystyle W}$${\ Displaystyle \ operatorname {ord} _ {Z} ( f)}$ liczbę całkowitą oznacza kolejność znikania wzdłuż $}$$displaystyle Z$ . (Tak więc $jeśli$$Z}$ ma wzdłuż $displaystyle$ ) Definicja rzędu zniknięcia wymaga pewnej troski o $pojedynczą$ .

$Dla$ schematu typu skończonego na $,$$jest$ cykli równoważnych zeru podgrupą $} (X)}$$\ Displaystyle Z_ {$ i ${\ Displaystyle (i$ przez cykle dla wszystkich $1)}$ podrozmaitości ${\ Displaystyle W}$ z ${\ Displaystyle X }$ i wszystkie niezerowe funkcje wymierne na $}$$\ displaystyle W$ . Grupa Chow $z$$-wymiarowych$ cykli na { \ $_ Z_{i}(X)}$$}$ ilorazową przez podgrupę cykli racjonalnie równoważnych zeru. Czasami pisze się dla klasy pododmiany $w$ grupie Chow, a jeśli dwie pododmiany mają $}$$}$${\ displaystyle Z$ \ $}$$]$$.$ [ W , a następnie mówi się, że są racjonalnie równoważne

$}$ gdy rozmaitością wymiaru $X$ grupa Chow dzielnika X $\$ grupa X {\ $X}$ . Kiedy jest gładki (lub bardziej ogólnie, lokalnie normalny schemat Noetherowski), jest to izomorficzne z grupą $wiązek$ linii Picarda na X $X$$displaystyle$ .

Przykłady racjonalnej równoważności

Racjonalna równoważność w przestrzeni rzutowej

Racjonalnie równoważne cykle zdefiniowane przez hiperpowierzchnie są łatwe do skonstruowania w przestrzeni rzutowej, ponieważ wszystkie mogą być skonstruowane jako znikające loci tej samej wiązki wektorów. Na przykład, biorąc pod uwagę dwa jednorodne wielomiany stopnia $}$ więc $^ {n}, {\ mathcal {O}} (d)}}$${\ Displaystyle f, g \ in H ^ {0} (\ mathbb {P$ , możemy skonstruować rodzinę hiperpowierzchni zdefiniowanych jako znikające miejsce s $\ displaystyle sf + tg}$ . Schematycznie można to skonstruować jako

${\ Displaystyle X = {\ tekst {Proj}} \ lewo ({\ frac {\mathbb {C} [s,t][x_{0},\ldots,x_{n}]}{(sf+tg)}}\right)\hookrightarrow \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{n}}$

$Displaystyle$ projekcji możemy $punktem$ to hiperpowierzchnia rzutowa zdefiniowana przez ${\ displaystyle s_ {0} f + t_ {0} g}$ . Można to wykorzystać do pokazania, że ​​klasa cyklu każdej hiperpowierzchni stopnia $jest$ równoważna ${\ Displaystyle d [\ mathbb {P} ^ {n-1}]}$$.$ ponieważ równoważności $Zauważ$$-1}}$${$ \ \ mathbb $d}$ , który jest współczynnikiem jego klasy cyklu.

Wymierna równoważność cykli na krzywej

Jeśli weźmiemy dwie różne wiązki linii gładkiej krzywej rzutowej $,$ , $Displaystyle L, L '\ in \ operatorname {Rys.} (C)}$ a następnie zanik loci ogólnej sekcji obu wiązek linii definiuje nierównoważne klasy cykli w . ${\ Displaystyle CH (C)}$ . Dzieje się tak, ponieważ ${\ Displaystyle \ operatorname {Div} (C) \ cong \ operatorname {Rys.} (C)}$ dla gładkich odmian, więc klasy dzielników ${\ Displaystyle s \ w H ^ {0} (C, L)}$ i ${\ Displaystyle s'\ w H ^ {0} (C, L ')}$ zdefiniuj klasy nierównoważne.

Pierścień Chow

Kiedy schemat jest gładki $.$ polu , grupy Chow tworzą pierścień , $a nie tylko$ grupę abelową $}$ , gdy gładki $,$ zdefiniuj grupę $-$ ja $_ i}$ cykli na ${\ displaystyle X}$ . (Kiedy $) = CH_ {ni} (X)}$ to odmiana wymiaru $n$ oznacza to po prostu, że $}$ .) Następnie grupy tworzą przemienny stopniowany pierścień z produktem: ${\ Displaystyle CH ^ {*} (X)$

${\ Displaystyle CH ^ {i} (X) \ razy CH ^ {j} (X) \ strzałka w prawo CH ^ {i + j} (X).}$

Produkt powstaje z przecinających się cykli algebraicznych. Na przykład $}$ jeśli i są gładkimi podrozmaitościami odpowiednio codimension $}$$\ displaystyle j$$i$ jeśli Y $Y}$$displaystyle$$X$ i ${\ Displaystyle Z}$ przecinają się poprzecznie ${\ Displaystyle CH ^ {i + j} (X)}$ a następnie produkt ${\ Displaystyle [Y][Z]}$ w do jest sumą nieredukowalnych składników przecięcia , $z$ których wszystkie mają codimension $}$ .

$iloczyn$ , w różnych przypadkach teoria przecięć wyraźny cykl, który reprezentuje w Na przykład, jeśli i są $podrozmaitościami o uzupełniającym się wymiarze ($$zero$ oznacza, że ​​ich wymiary sumują się do wymiaru $to$ , $numerami$ jest równa sumie punktów przecięcia ze współczynnikami . Dla dowolnych podrozmaitości $\$$Z$ { $Displaystyle Z}$$gładkiego$ schematu ponad , bez co do wymiaru skrzyżowania, William Fulton i MacPherson $][Z]}$ teoria przecięć konstruuje kanoniczny element grup Chow $Y$ których obraz w grupach Chow $Displaystyle$ iloczynem $[Y$ .

Przykłady

Przestrzeń rzutowa

Pierścień Chow przestrzeni rzutowej nad dowolnym polem $Displaystyle$ pierścieniem $\ mathbb {P} ^ {n}}$

${\ Displaystyle CH ^ {*} (\ mathbb {P} ^ {n}) \ cong \ mathbf {Z} [H] / (H^{n+1}),}$

gdzie jest klasą $hiperpłaszczyzny ($ zerowe pojedynczej funkcji liniowej). Ponadto każda podrozmaitość ${$ i współwymiaru w przestrzeni rzutowej jest racjonalnie równoważna z $}$$H$$\$ displaystyle dH a . Wynika z tego, że dla dowolnych dwóch podrozmaitości $i$$Z$ { $displaystyle Z}$ o uzupełniającym się wymiarze w i za $\ displaystyle a}$ , ${ \displaystyle b}$ , odpowiednio, ich produkt w pierścieniu Chow jest po prostu

${\ Displaystyle [Y] \ cdot [Z] = a \, b \, H ^ {n}}$

gdzie $jest$ klasą punktu -racjonalnego w $\ Displaystyle \$${P} ^ {n}$ } Na przykład, jeśli i przecinają się poprzecznie, wynika z tego, że $displaystyle Y \ cap Z}$$\$ jest zerowym cyklem stopnia $\ displaystyle$$}$ . Jeśli pole podstawowe $,$ algebraicznie domknięte oznacza to, że istnieją $przecięcia$ ; jest to wersja twierdzenia Bézouta , klasycznego wyniku geometrii wyliczeniowej .

Formuła wiązki projekcyjnej

Biorąc pod uwagę wiązkę wektorów rangi ${\ Displaystyle E \$ gładkim $do$ schematem nad polem, pierścień Chow $X$ wiązki rzutowej ${\ displaystyle \ mathbb {P} (E)}$ można obliczyć za pomocą pierścienia Chow z $displaystyle$ klas Cherna z $E}$ . ${\ Displaystyle \ zeta = c_ {1} ({\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {P} (E)} (1)$ do i ${\ displaystyle c_ {1}, \ ldots, c_ {r}}$$klas$ Cherna z to istnieje izomorfizm pierścieni

${\ Displaystyle CH ^ {\ punktor} ( \mathbb {P} (E)}\cong {\frac {CH^{\bullet}(X)[\zeta ]}{\zeta ^{r}+c_{1}\zeta ^{r-1}+ c_{2}\zeta ^{r-2}+\cdots +c_{r}}}}$

Powierzchnie Hirzebrucha

Na przykład pierścień Chow na powierzchni Hirzebrucha można łatwo obliczyć za pomocą wzoru na wiązkę rzutową. Przypomnijmy, że jest skonstruowany jako ${\ Displaystyle F_ {a} = \ mathbb {P} ({\ mathcal {O}} \ oplus {\ mathcal {O}} (a }}}$ nad ${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {1}}$ . Wtedy jedyną nietrywialną klasą Chern tego pakietu wektorów jest ${\ displaystyle c_ {1} = aH}$ . Oznacza to, że pierścień Chow jest izomorficzny

${\ Displaystyle CH ^ { \bullet }(F_{a})\cong {\frac {CH^{\bullet}(\mathbb {P} ^{1})[\zeta ]}{(\zeta ^{2}+aH\zeta ) }}\cong {\frac {\mathbf {Z} [H,\zeta]}{(H^{2},\zeta^{2}+aH\zeta)}}}$

Uwagi

W przypadku innych odmian algebraicznych grupy Chow mogą mieć bogatsze zachowanie. $.$ przykład $krzywą$ będzie eliptyczną nad polem Wtedy grupa Chow zerowych cykli na ${\ displaystyle X}$ pasuje do dokładnej sekwencji

${\ Displaystyle 0 \ rightarrow X (k) \ rightarrow CH_ {0} (X) \ rightarrow \ mathbf {Z} \ rightarrow 0.}$

Tak więc grupa $-$${\$ eliptycznej $ściśle związana$ z grupą wymiernych $X$ } Kiedy jest polem liczbowym $,$ nazywa się to grupą $}$ – Weila $, a niektóre$ problemów w teorii liczb to próby k { zrozumieć tę grupę. Gdy $zespolone$ , przykład krzywej eliptycznej pokazuje, że grupy Chow mogą być grupami abelowymi.

Funkcjonalność

Dla $schematów$ morfizmu ponad ${\ Displaystyle f_ {*}: CH_ {i} (X) \ do CH_ {i} (Y)}$ istnieje homomorfizm $pushforward$ dla każdej liczby całkowitej ${\ displaystyle i}$ . Na przykład dla prawidłowego schematu nad ${\ displaystyle k$$}$ daje to homomorfizm $\ do \ mathbf {Z}}$ , który przyjmuje punkt zamknięty w $displaystyle$ stopniu ponad $k}$ . (Punkt zamknięty w $\ displaystyle X} a jego$ postać dla skończonego pola rozszerzeń ${\ displaystyle E}$$z$ \ $}$ , $k}$ oznacza stopień pola nad $displaystyle$ .)

Dla płaskiego morfizmu schematów nad ${$ o wymiarze $\ displaystyle r}$ (prawdopodobnie pustym), istnieje homomorfizm fa ${\ Displaystyle f ^ {*}: CH_ {i} (Y) \ do CH_ {i + r} (X)}$$Displaystyle f: X \ do Y}$ .

Kluczowym narzędziem obliczeniowym dla grup Chow jest sekwencja lokalizacji , jak następuje. Dla schematu $displaystyle X$ polem i zamkniętym podschematem $displaystyle X}$ X { $\$ istnieje dokładna sekwencja $X {$

${\ Displaystyle CH_ {i} (Z) \ rightarrow CH_ {i} (X) \ rightarrow CH_ {i} ( XZ)\strzałka w prawo 0,}$

gdzie pierwszy homomorfizm jest wypychaniem do przodu związanym z właściwym morfizmem $homomorfizm$ a $wycofaniem$ płaskiego Sekwencję lokalizacji można rozszerzyć w lewo, stosując uogólnienie grup Chow, motywicznych grup homologii (Borel-Moore), znanych również jako wyższe grupy Chow .

Dla każdego morfizmu $: X$ schematów nad $Displaystyle$ istnieje homomorfizm wycofania ${\ Displaystyle f ^ {*}: CH ^ {i} (Y) \ do CH ^ {i} (X)} , co w rzeczywistości jest homomorfizmem$ pierścienia ${ \displaystyle CH^{*}(Y)\do CH^{*}(X)}$ .

Przykłady płaskich pullbacków

Zauważ, że nie-przykłady można konstruować za pomocą powiększeń; na przykład, jeśli weźmiemy powiększenie pochodzenia w wtedy włókno nad początkiem jest izomorficzne z $}$$Displaystyle$$mathbb {P} ^$ .

Rozgałęzione pokrycia krzywych

Rozważ rozgałęzione pokrycie krzywych

${\ Displaystyle f: \ operatorname {Spec} \ lewo ({\ Frac {\ mathbb {C } [x,y]}{(f(x)-g(x,y))}}\right)\to \mathbb {A} _{x}^{1}}$

Ponieważ morfizm rozgałęzia się, ilekroć otrzymujemy rozkład na czynniki ${\ Displaystyle f (\ alfa) = 0}$

${\ Displaystyle g (\ alfa, y) = (ya_ {1}) ^ {e_ {1}} \cdots (y-a_{k})^{e_{k}}}$

gdzie mi ja $\ displaystyle e_ {i}> 1$ . Oznacza to, że punkty ${\ Displaystyle \ {\ alfa _ {1}, \ ldots, \ alfa _ {k} \} = f ^ {- 1 } (\ alfa)}$ mają krotności odpowiednio ${\ Displaystyle e_ {1}, \ ldots, e_ {k}}$ . $jest$ cofnięcie punktu wtedy

${\ Displaystyle f ^ {*} [\ alfa] = e_ {1} [\ alfa] + \ cdots + e_ {k} [ \alfa _{k}]}$

Płaska rodzina odmian

Rozważmy płaską rodzinę odmian

${\ Displaystyle X \ do S}$

i pododmiana ${\ Displaystyle S '\ podzbiór S}$ . Następnie za pomocą kwadratu kartezjańskiego

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {macierz} S '\ razy _ {S} X & \ do & X \\\ strzałka w dół && \ strzałka w dół \\ S '& \ do & S \ koniec {macierz}}}$

widzimy, że obraz jest pododmianą ${\ displaystyle S' \ razy _ {S}$$}$ . Dlatego mamy

${\ Displaystyle f ^ {*} [S '] = [S '\ razy _ {S} X]}$

Mapy cykliczne

Istnieje kilka homomorfizmów (znanych jako mapy cykli ) od grup Chow do bardziej obliczeniowych teorii.

Po pierwsze, dla schematu X na liczbach zespolonych istnieje homomorfizm od grup Chow do homologii Borela-Moore'a :

${\ Displaystyle {\ mathit {CH}} _ {i} (X) \ rightarrow H_ {2i} ^ {BM} (X, \ mathbf {Z}).}$

Współczynnik 2 pojawia się, ponieważ i -wymiarowa podrozmaitość X ma wymiar rzeczywisty 2 i . Kiedy X jest gładkie na liczbach zespolonych, tę mapę cyklu można przepisać, używając dualności Poincarégo jako homomorfizmu

${\ Displaystyle {\ mathit {CH}} ^ {j} (X) \ rightarrow H ^ {2j} (X, \ mathbf {Z}).}$

W tym przypadku ( X gładki nad C ), te homomorfizmy tworzą homomorfizm pierścienia od pierścienia Chow do pierścienia kohomologii. Intuicyjnie dzieje się tak, ponieważ produkty zarówno w pierścieniu Chow, jak i pierścieniu kohomologii opisują przecięcie cykli.

Dla gładkiej złożonej różnorodności rzutowej , mapa cyklu od pierścienia Chow do zwykłej kohomologii uwzględnia bogatszą teorię, kohomologię Deligne'a . Obejmuje to mapę Abela-Jacobiego od cykli homologicznie równoważnych zero do pośredniego Jakobianu . Sekwencja wykładnicza pokazuje, że CH ¹ ( X ) odwzorowuje izomorficznie kohomologię Deligne'a, ale to zawodzi dla CH ^j ( X ) z j > 1.

Dla schematu X na dowolnym polu k istnieje analogiczna mapa cyklu od grup Chow do homologii (Borel-Moore) etale . Gdy X jest gładki nad k , ten homomorfizm można utożsamiać z homomorfizmem pierścienia od kohomologii pierścienia Chow do kohomologii etale.

Związek z teorią K

₀ (Algebraiczna) wiązka wektorów E na gładkim schemacie X nad ciałem ma klasy Cherna ci ( E ) w CH ⁱ ( X ), z takimi samymi właściwościami formalnymi jak w topologii _. Klasy Cherna zapewniają ścisły związek między wiązkami wektorowymi a grupami Chow. Mianowicie, niech K ( X ) będzie grupą wiązek wektorowych Grothendiecka na X . W ramach twierdzenia Grothendiecka – Riemanna – Rocha Grothendieck wykazał, że postać Cherna daje izomorfizm

${\ Displaystyle K_ {0} (X) \ otimes _ {\ mathbf {Z}} \ mathbf {Q} \ cong \ prod _ {i} {\ mathit {CH}} ^ {i} (X) \ otimes _ {\mathbf {Z}}\mathbf {Q}.}$

Ten izomorfizm pokazuje znaczenie racjonalnej równoważności w porównaniu z jakąkolwiek inną odpowiednią relacją równoważności w cyklach algebraicznych.

przypuszczenia

Niektóre z najgłębszych przypuszczeń w geometrii algebraicznej i teorii liczb to próby zrozumienia grup Chow. Na przykład:

• Mordella -Weila implikuje, że grupa klas dzielników CH _{n -1} ( X ) jest generowana w sposób skończony dla dowolnej odmiany X wymiaru n na polu liczbowym. Otwartym problemem jest to, czy wszystkie grupy Chow są generowane w sposób skończony dla każdej odmiany w polu liczbowym. Blocha – Kato dotycząca wartości funkcji L przewiduje , że grupy te są generowane w sposób skończony. Co więcej, rząd grupy cykli modulo równoważności homologicznej, a także grupy cykli homologicznie równoważnej zero, powinien być równy rzędowi zanikania funkcji L danej rozmaitości w pewnych punktach całkowitych. Skończoność tych szeregów wynikałaby również z hipotezy Bassa w algebraicznej K-teorii.
• Dla gładkiej złożonej rozmaitości rzutowej X , hipoteza Hodge'a przewiduje obraz ( sprężony z wymiernymi Q ) mapy cyklu od grup Chow do pojedynczej kohomologii. Dla płynnej rozmaitości rzutowej na skończenie generowanym polu (takim jak pole skończone lub pole liczbowe), hipoteza Tate'a przewiduje obraz (sprężony z Q _l ) mapy cykli od grup Chow do kohomologii l-adycznej .
• Dla gładkiej rozmaitości rzutowej X na dowolnym polu hipoteza Blocha - Beilinsona przewiduje filtrację na grupach Chow X (sprężonych wymiernymi) o silnych właściwościach. Przypuszczenie to sugerowałoby ścisły związek między pojedynczą lub etale kohomologią X i grupami Chow X.

⁰ Na przykład niech X będzie gładką złożoną powierzchnią rzutową. Grupa Chow cykli zerowych na X odwzorowuje liczby całkowite według homomorfizmu stopnia; niech K będzie jądrem. Jeśli rodzaj geometryczny h ( X , Ω ² ) nie jest równy zeru, Mumford wykazał, że K jest „nieskończenie wymiarowy” (nie jest obrazem jakiejkolwiek skończenie wymiarowej rodziny cykli zerowych na X ). Hipoteza Blocha-Beilisona implikowałaby satysfakcjonującą odwrotność, hipoteza Blocha o cyklach zerowych : dla gładkiej złożonej powierzchni rzutowej X o geometrycznym rodzaju zero K powinno być skończone wymiarowo; dokładniej, powinien mapować izomorficznie do grupy punktów zespolonych albańskiej odmiany X .

Warianty

Teoria biwariantna

Fulton i MacPherson rozszerzyli pierścień Chow na pojedyncze odmiany, definiując „ operacyjny pierścień Chow ” i bardziej ogólnie teorię dwuwariantną związaną z dowolnym morfizmem schematów. Teoria biwariantna to para kowariantnych i kontrawariantnych funktorów , które przypisują mapie odpowiednio grupę i pierścień . Uogólnia teorię kohomologii , która jest funktorem kontrawariantnym przypisującym przestrzeni pierścień, czyli pierścień kohomologii . Nazwa „biwariantna” odnosi się do faktu, że teoria zawiera funktory kowariantne i kontrawariantne.

Jest to w pewnym sensie najbardziej elementarne rozszerzenie pierścienia Chow na pojedyncze odmiany; inne teorie, takie jak kohomologii motywicznej z operacyjnym pierścieniem Chow.

Inne warianty

Arytmetyczne grupy Chow są połączeniem grup Chow odmian nad Q wraz ze składnikiem kodującym informacje teoretyczne Arakelowa , to znaczy formy różniczkowe na powiązanej rozmaitości zespolonej.

Teorię grup Chow schematów typu skończonego na polu można łatwo rozszerzyć na teorię przestrzeni algebraicznych . Kluczową zaletą tego rozszerzenia jest to, że łatwiej jest tworzyć ilorazy w tej drugiej kategorii, a zatem bardziej naturalne jest rozważenie ekwiwariantnych grup Chow przestrzeni algebraicznych. O wiele potężniejszym rozszerzeniem jest grupa stosu Chow , która została skonstruowana tylko w jakimś szczególnym przypadku i która jest potrzebna w szczególności do zrozumienia wirtualnej klasy podstawowej .

Historia

Racjonalna równoważność dzielników (znana jako równoważność liniowa ) była badana w różnych formach w XIX wieku, co doprowadziło do powstania idealnej grupy klasowej w teorii liczb i odmiany Jakobianu w teorii krzywych algebraicznych. W przypadku cykli o wyższym kowymiarze racjonalna równoważność została wprowadzona przez Francesco Severi w latach trzydziestych XX wieku. W 1956 roku Wei-Liang Chow przedstawił wpływowy dowód, że iloczyn przecięcia jest dobrze zdefiniowany na podstawie cykli modulo racjonalnej równoważności dla gładkiej quasi-rzutowej rozmaitości, używając ruchomego lematu Chowa . Począwszy od lat 70. Fulton i MacPherson stworzyli obecne standardowe podstawy dla grup Chow, pracując z pojedynczymi odmianami, gdy tylko było to możliwe. W ich teorii iloczyn przecięcia dla gładkich odmian jest konstruowany przez odkształcenie do normalnego stożka .

Zobacz też

• Teoria przecięcia
• Twierdzenie Grothendiecka – Riemanna – Rocha
• Przypuszczenie Hodge'a
• Motyw (geometria algebraiczna)

Wprowadzający

• Eisenbud, Dawid; Harris, Joe, 3264 i wszystko to: drugi kurs geometrii algebraicznej

Zaawansowany

•    Bloch, Spencer (1986), „Cykle algebraiczne i wyższa teoria K ”, Advances in Mathematics , 61 (3): 267–304, doi : 10.1016 / 0001-8708 (86) 90081-2 , ISSN 0001-8708 , MR 0852815
• Claude, Chevalley (1958), "Lesclass d'equivalence rationnelle, I" , Anneaux de Chow i aplikacje , Séminaire Claude Chevalley, tom. 3
• Claude, Chevalley (1958), "Lesclass d'equivalence rationnelle, II" , Anneaux de Chow i aplikacje , Séminaire Claude Chevalley, tom. 3
•    Chow, Wei-Liang (1956), „O klasach równoważności cykli w rozmaitości algebraicznej”, Annals of Mathematics , 64 : 450–479, doi : 10.2307/1969596 , ISSN 0003-486X , MR 0082173
•    Deligne, Pierre (1977), Cohomologie Etale (SGA 4 1/2) , Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-08066-4 , MR 0463174
•    Fulton, William (1998), Teoria przecięcia , Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98549-7 , MR 1644323
•   Severi, Francesco (1932), „La serie canonica e la teoria delle serie Principali di gruppi di punti sopra una superficie algebrica”, Commentarii Mathematici Helvetici , 4 : 268–326, doi : 10.1007/bf01202721 , JFM 58.1229.01
•    Voevodsky, Vladimir (2000), „Trójkątne kategorie motywów na polu”, Cykle, transfery i teorie homologii motywów , Princeton University Press , s. 188–238, ISBN 9781400837120 , MR 1764202
•    Voisin, Claire (2002), Hodge Theory and Complex Algebraic Geometry (2 tomy) , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-71801-1 , MR 1997577