Wykładnicza sekwencja snopów

W matematyce wykładnicza sekwencja snopów jest podstawową krótką dokładną sekwencją snopów używaną w złożonej geometrii .

Niech M będzie rozmaitością zespoloną i napiszmy O _M dla snopka funkcji holomorficznych na M . Niech O _M * będzie podsnopem składającym się z niezanikających funkcji holomorficznych. Oba są snopami grup abelowych . Funkcja wykładnicza daje homomorfizm snopka

${\ Displaystyle \ exp: {\ mathcal {O}} _ {M} \ do {\ mathcal {O}} _ {M} ^ {*},}$

ponieważ dla funkcji holomorficznej f exp( f ) jest niezanikającą funkcją holomorficzną, a exp( f + g ) = exp( f ) exp( g ). Jej jądrem jest snop 2π i Z funkcji lokalnie stałych na M przyjmujących wartości 2π w , gdzie n jest liczbą całkowitą . Wykładnicza sekwencja snopów jest zatem

${\ Displaystyle 0 \ do 2 \ pi ja \, \ mathbb {Z} \ do {\ mathcal {O}} _ {M} \ do {\ mathcal {O}}_{M}^{*}\do 0.}$

Mapowanie wykładnicze tutaj nie zawsze jest mapą suriektywną na przekrojach; można to zobaczyć na przykład, gdy M jest przebitym dyskiem w płaszczyźnie zespolonej. Mapa wykładnicza jest suriektywna na łodygach : biorąc pod uwagę zarodek g funkcji holomorficznej w punkcie P taki, że g ( P ) ≠ 0, można przyjąć logarytm g w sąsiedztwie P . Długa dokładna sekwencja kohomologii snopów pokazuje, że mamy dokładną sekwencję

${\ Displaystyle \ cdots \ do H ^ {0} ({\ mathcal {O}} _ {U })\do H^{0}({\mathcal {O}}_{U}^{*})\do H^{1}(2\pi i\,\mathbb {Z} |_{U} )\do \cdots }$

⁰ dla dowolnego zbioru otwartego U z M . Tutaj H oznacza po prostu przekroje nad U , a kohomologia snopka H ¹ ( 2π i Z | _U ) jest kohomologią osobliwą U .

Można myśleć o H ¹ (2π i Z | _U ) jako o przypisywaniu liczby całkowitej do każdej pętli w U . Dla każdej sekcji O _M * homomorfizm łączący z H1 (2π ⁱ Z | U ₎ daje numer uzwojenia dla każdej pętli. Tak więc ten homomorfizm jest zatem uogólnioną liczbą uzwojeń i mierzy brak kurczliwości U. Innymi słowy, istnieje potencjalna przeszkoda topologiczna w przyjmowaniu globalnego logarytmu niezanikającej funkcji holomorficznej, coś, co zawsze jest lokalnie możliwe.

Dalszą konsekwencją sekwencji jest dokładność

${\ Displaystyle \ cdots \ do H ^ {1} ({\ mathcal {O}} _ {M}) \ do H ^ {1} ({\ mathcal {O}} _ {M} ^ {*}) \ do H^{2}(2\pi i\,\mathbb {Z} )\do \cdots .}$

Tutaj H ¹ ( O _M *) można utożsamić z grupą Picarda holomorficznych wiązek linii na M . Łączący homomorfizm wysyła wiązkę linii do jej pierwszej klasy Cherna .

•    Griffiths, Phillip ; Harris, Joseph (1994), Zasady geometrii algebraicznej , Wiley Classics Library, Nowy Jork: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-05059-9 , MR 1288523 , zob. zwłaszcza s. 37 i str. 139