Funkcja lokalnie stała

Funkcja signum $jest$ do domeny

W matematyce funkcja lokalnie stała jest funkcją z przestrzeni topologicznej do zbioru , której właściwość polega na tym, że wokół każdego punktu jej dziedziny istnieje jakieś sąsiedztwo tego punktu, w którym ogranicza się ona do funkcji stałej .

Definicja

Niech $}$$S$ będzie funkcją z przestrzeni topologicznej do zbioru ${\ Displaystyle S.}$ Jeśli mówi się $podzbiór X}$ jeśli istnieje sąsiedztwo , ${\ Displaystyle F}$$jest$ w $lokalnie$ stałe ${\ Displaystyle x \$ z $displaystyle x}$$\$ tak, że jest stała na ${\ displaystyle U,}$ co z definicji oznacza, że $u) = f ( v)}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle u, v \ w U.}$ Funkcja nazywa się ${\ Displaystyle f: X \ do S}$ lokalnie stała $,$ jest lokalnie stała w każdym punkcie dziedziny

Przykłady

Każda stała funkcja jest lokalnie stała. Odwrotna sytuacja będzie miała miejsce, jeśli jej domeną jest spójna przestrzeń .

$displaystyle \ mathbb {R}}$ stała funkcja od liczb rzeczywistych do ${$${\ Displaystyle \ mathbb {R}.}$ jest stała przez spójność R $}$ funkcja od wymiernych ${\ Displaystyle f: \ mathbb {Q} \ do \ mathbb {R$ } ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ zdefiniowane przez ${\ Displaystyle f (x) = 0 {\ tekst {dla}} x <\ pi,}$ i $dla}} x> \ pi,}$${\ Displaystyle f (x ) = 1 {\$ { jest lokalnie stała (wykorzystuje to fakt, że jest $irracjonalny$ i dlatego dwa zbiory ${\ Displaystyle \ {x \ in \ mathbb {Q}: x <\ pi \}}$ i ${\ Displaystyle \ {x \ in \ mathbb {Q}: x> \ pi \}}$ są otwarte w ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ ).

Jeśli $stała$${\ displaystyle A.}$ to jest stała składowej A Odwrotna sytuacja jest prawdziwa w przypadku przestrzeni połączonych lokalnie , czyli przestrzeni, których połączone komponenty są otwartymi podzbiorami.

Dalsze przykłady obejmują:

• Biorąc pod uwagę ${\ Displaystyle p ^ {- 1} (x)}$$do$ , możemy przypisać x ) $X$ } ponad ${\ Displaystyle x}$ ; to przypisanie jest lokalnie stałe.
• Mapa z przestrzeni topologicznej do przestrzeni dyskretnej $jest$ ciągła wtedy i tylko wtedy $gdy$ jest lokalnie stała

Związek z teorią snopów

Istnieją snopki funkcji lokalnie stałych na ${\ displaystyle X.}$${\ displaystyle X$ być bardziej określonym, lokalnie stałe funkcje o wartościach całkowitych $na$ tworzą snop w sensie, że dla każdego otwartego zbioru my $}$ może tworzyć funkcje tego rodzaju; a następnie sprawdź, czy aksjomaty snopów są spełnione dla tej konstrukcji, dając nam snop grup abelowych (nawet pierścieni przemiennych ). Ten snop można by zapisać ${\ displaystyle Z_ {X}}$ ; $opisane$ za łodyg mamy łodygę kopię $_$$.$ _ ${\ Displaystyle x \ in X.}$ Można to odnieść do stałego snopka , co oznacza dokładnie snop lokalnie stałych funkcji biorąc ich wartości w (tej samej) grupie. Typowy snop oczywiście nie jest stały w ten sposób; ale konstrukcja jest przydatna w łączeniu kohomologii snopów z teorią homologii oraz w logicznych zastosowaniach snopów. Idea lokalnego systemu współczynników polega na tym, że możemy mieć teorię snopów, które lokalnie wyglądają jak takie „nieszkodliwe” snopki (prawie każdego $,$ ale z globalnego punktu widzenia wykazują pewne „skręcenie”.

Zobacz też

• Twierdzenie Liouville'a (analiza zespolona) – Twierdzenie w analizie zespolonej