Odmiana albańska

W matematyce odmiana albańska , nazwana na $cześć$ Giacomo Albanese jest jakobiańskiej krzywej

Precyzyjne stwierdzenie

Odmiana albańska $. Innymi słowy$ $generowana$ $abelowa$ przez odmianę $przyjmującą$ dany tożsamości ${\ Displaystyle \ operatorname {Alb} (V)}$ istnieje morfizm od odmiany do jej odmiany albańskiej $)$ , tak że każdy morfizm z $\ Displaystyle V}$ do odmiany abelowej (biorąc dany punkt do tożsamości) czynniki jednoznacznie przez ${\ Displaystyle \ operatorname {Alb} (V)}$ . W przypadku rozmaitości złożonych André Blanchard ( $)}$ { Displaystyle \ operatorname $V$ każdy morfizm do czynników torusa jest unikalny na tej mapie. (W tym przypadku jest to odmiana analityczna; nie musi być algebraiczna).

Nieruchomości

W przypadku zwartych rozmaitości Kählera wymiarem rozmaitości albańskiej jest liczba Hodge'a $różniczek$ przestrzeni pierwszego rodzaju na , który dla $displaystyle V}$ powierzchni nazywa się nieregularnością powierzchni . Jeśli chodzi o formy różniczkowe , każda holomorficzna forma 1 na $odmianie$ wycofaniem niezmiennej dla translacji formy 1 na albańskiej, pochodzącej z holomorficznej cotangensowej przestrzeni Alb $\ Displaystyle \ operatorname {Alb} (V)}$ w swoim elemencie tożsamości. $morfizm$ jak w przypadku krzywej, wybierając punkt bazowy na (z którego „całkować”), albański

{\ Displaystyle V \ do \ nazwa operatora {Alb} (V)}

jest zdefiniowana, wzdłuż której formy 1 wycofują się. Ten morfizm jest wyjątkowy aż do tłumaczenia odmiany albańskiej. $h ^ {0,1}}$ dodatniej charakterystyce wymiar odmiany albańskiej może być mniejszy niż liczby Hodge'a $displaystyle$ godz (które nie muszą być równe). Aby zobaczyć to pierwsze, należy zauważyć ${\ Displaystyle H ^ {1} (X, O_ {X}).}$ że odmiana albańska jest dualna w stosunku do odmiany Picard , której przestrzeń styczna w tożsamości jest dana przez To ${\ Displaystyle \ dim \ operatorname {Alb} (X) \ równoważnik h ^ {1, 0}}$ jest wynikiem Jun-ichi Igusa w bibliografii.

Twierdzenie Roitmana

Jeśli pole podstawowe k jest algebraicznie domknięte , można pokazać, że mapa albańska uwzględnia homomorfizm grupowy (zwany także mapą albańską ) $}$ )

\ Displaystyle CH_ {0} (V) \ do \ nazwa operatora {Alb} (V) (k)}

od grupy Chow 0-wymiarowych cykli na V do grupy punktów wymiernych ${\ Displaystyle \ operatorname {Alb} (V)}$ , która jest grupą abelową od ${\ Displaystyle \operatorname {Alb} (V)}$ jest odmianą abelową.

Twierdzenie Roitmana , wprowadzone przez AA Rojtmana ( 1980 ), stwierdza, że dla l prim to char( k ), mapa Albanese indukuje izomorfizm w podgrupach l -torsji. Ograniczenie dotyczące pierwszeństwa rzędu skręcania względem charakterystyki pola podstawowego zostało wkrótce potem usunięte przez Milne'a: podgrupa skrętna ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {CH} _ {0} (X)}$ i podgrupa torsyjna punktów o wartości k albańskiej odmiany X pokrywają się.

Zastąpienie grupy Chow przez algebraiczną homologię osobliwą Suslina-Voevodsky'ego po wprowadzeniu kohomologii Motivic Twierdzenie Roitmana zostało otrzymane i przeformułowane w ramy motywiczne. Na przykład podobny wynik odnosi się do nieosobliwych odmian quasi-rzutowych. Dalsze wersje twierdzenia Roitmana są dostępne dla schematów normalnych. W rzeczywistości najbardziej ogólne sformułowania twierdzenia Roitmana (tj. homologiczne, kohomologiczne i Borela-Moore'a ) obejmują motywiczny kompleks albański ${\ Displaystyle \ operatorname {LAlb} (V)}$ i zostały udowodnione przez Luca Barbieri- Viale i Bruno Kahn (patrz odnośniki III.13).

Połączenie z odmianą Picarda

Odmiana albańska jest podwójna z odmianą Picarda ( połączony składnik zera schematu Picarda klasyfikującego odwracalne snopy na V ):

{\ Displaystyle \ nazwa operatora {alba} V = (\ nazwa operatora {zdjęcie} _ {0} V) ^ {\ vee}.}

W przypadku krzywych algebraicznych twierdzenie Abela-Jacobiego implikuje, że odmiany Albanese i Picard są izomorficzne.

Zobacz też

Pośredni Jakobian
Schemat albański
motyw albański

Uwagi i odniesienia

Barbieri-Viale, Luca; Kahn, Bruno (2016), O pochodnej kategorii 1-motywów , Astérisque, tom. 381, SMF, arXiv : 1009.1900 , ISBN 978-2-85629-818-3 , ISSN 0303-1179 , MR 3545132
Blanchard, André (1956), "Sur les variétés analytiques complexes", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 3, 73 (2): 157–202, doi : 10.24033/asens.1045 , ISSN 0012-9593 , MR 0087184
Griffiths, Phillip ; Harris, Joe (1994). Zasady geometrii algebraicznej . Biblioteka Wiley Classics. Wiley Interscience. s. 331, 552. ISBN 978-0-471-05059-9 .
Igusa, Jun-ichi (1955). „Podstawowa nierówność w teorii odmian Picarda” . Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America . 41 (5): 317–20. Bibcode : 1955PNAS...41..317I . doi : 10.1073/pnas.41.5.317 . PMC 528086 . PMID 16589672 .
Parshin, Aleksei N. (2001) [1994], „Albanese_variety” , Encyklopedia matematyki , EMS Press