Homologia Borela-Moore'a

W topologii , homologia Borela-Moore'a lub homologia z zamkniętym nośnikiem jest teorią homologii dla lokalnie zwartych przestrzeni , wprowadzoną przez Armanda Borela i Johna Moore'a w 1960 roku.

Dla rozsądnych przestrzeni zwartych homologia Borela-Moore'a pokrywa się ze zwykłą homologią osobliwą . W przypadku przestrzeni niekompaktowych każda teoria ma swoje zalety. W szczególności zamknięta zorientowana podrozmaitość definiuje klasę w homologii Borela-Moore'a, ale nie w zwykłej homologii, chyba że podrozmaitość jest zwarta.

Uwaga: Borelowska kohomologia równoważna jest niezmiennikiem przestrzeni z działaniem grupy G ; jest zdefiniowany jako ${\ Displaystyle H_ {G} ^ {*} (X) = H ^ {*} ((EG \ razy X) / G).} To nie jest$ związane z tematem tego artykułu.

Definicja

Istnieje kilka sposobów definiowania homologii Borela-Moore'a. Wszystkie one pokrywają się dla rozsądnych przestrzeni, takich jak rozmaitości i lokalnie skończone kompleksy CW .

Definicja za pomocą kohomologii snopów

Dla dowolnej lokalnie zwartej przestrzeni X , homologia Borela-Moore'a ze współczynnikami całkowymi jest definiowana jako kohomologia dualnego kompleksu łańcuchowego, który oblicza kohomologię snopów ze zwartym nośnikiem. W rezultacie istnieje krótki dokładny ciąg analogiczny do twierdzenia o uniwersalnym współczynniku :

{\ Displaystyle 0 \ do {\text{Ext}}_{\mathbb {Z} }^{1}(H_{c}^{i+1}(X,\mathbb {Z} ),\mathbb {Z} )\do H_ {i}^{BM}(X,\mathbb {Z} )\to {\text{Hom}}(H_{c}^{i}(X,\mathbb {Z} ),\mathbb {Z} ) \do 0.}

$części$ współczynniki są zapisywane.

Definicja poprzez lokalnie skończone łańcuchy

Osobliwa homologia przestrzeni topologicznej X jest zdefiniowana jako homologia łańcucha złożonego z pojedynczych łańcuchów, czyli skończonych liniowych kombinacji ciągłych odwzorowań od simpleksu do X . Z drugiej strony homologia Borela-Moore'a rozsądnej lokalnie zwartej przestrzeni X jest izomorficzna z homologią kompleksu łańcuchów lokalnie skończonych pojedynczych łańcuchów. Tutaj „rozsądny” oznacza, że X jest lokalnie kurczliwy, σ-zwarty i ma skończony wymiar.

Bardziej szczegółowo, niech będzie abelową grupą sum formalnych (nieskończonych) do $Displaystyle C_ {i} ^ {BM} (X)}$

{\ Displaystyle u = \ suma _ {\ sigma} a _ {\ sigma} \ sigma,}

gdzie σ przebiega przez zbiór wszystkich ciągłych odwzorowań od standardowego i -simplex Δ ⁱ do X i każde a _σ jest liczbą całkowitą, taką, że dla każdego zwartego podzbioru S z X , tylko skończenie wiele odwzorowań σ, których obraz spełnia S , ma niezerowy współczynnik w tobie _ Wtedy zwykła definicja granicy ∂ pojedynczego łańcucha czyni te grupy abelowe kompleksem łańcuchowym:

{\ Displaystyle \ cdots \ do C_ {2} ^ {BM} (X) \ do C_ {1 }^{BM}(X)\do C_{0}^{BM}(X)\do 0.}

Grupy homologii Borela $homologii$ . To jest,

{\ Displaystyle H_ {i} ^ {BM} (X) = \ ker \ lewo (\ częściowe: C_ {i} ^ {BM} (X) \ do C_ {i-1} ^ {BM} (X) \ prawo)/{\text{im}}\left(\częściowo :C_{i+1}^{BM}(X)\to C_{i}^{BM}(X)\right).}

Jeśli X jest zwarty, to każdy lokalnie skończony łańcuch jest w rzeczywistości skończony. Tak więc, biorąc pod uwagę, że X jest „rozsądny” w powyższym sensie, homologia Borela-Moore'a ${\ Displaystyle H_ {i} ^ {BM} (X)}$ zbiega się ze zwykłą homologią pojedynczą ${\ Displaystyle H_ {i} (X)}$ dla X kompaktowego.

Definicja poprzez kompaktyfikacje

Załóżmy, że X jest homeomorficzny z dopełnieniem zamkniętego podzespołu S w skończonym CW kompleksie Y . _Wtedy homologia $jest$ - z H ja Y , S ) Przy tym samym założeniu na X , jednopunktowe zagęszczenie X jest homeomorficzne ze skończonym CW kompleksem. W rezultacie homologię Borela-Moore'a można postrzegać jako względną homologię jednopunktowego zagęszczenia w odniesieniu do dodanego punktu.

Definicja poprzez dualność Poincarégo

Niech X będzie dowolną lokalnie zwartą przestrzenią z zamkniętym osadzeniem w zorientowanej rozmaitości M o wymiarze m . Następnie

{\ Displaystyle H_ {i} ^ {BM} (X) = H ^ {mi} (M, M \ setminus X),}

gdzie po prawej stronie mamy na myśli względną kohomologię .

Definicja poprzez kompleks dualizujący

Dla dowolnej lokalnie zwartej przestrzeni X o skończonych wymiarach niech $D X$ będzie dualizującym kompleksem $X$ . Następnie

{\ Displaystyle H_ {i} ^ {BM} (X) = \ mathbb {H} ^ {-i} (X, D_ {X} )}

gdzie po prawej stronie mamy na myśli hiperkohomologię .

Nieruchomości

Homologia Borela-Moore'a jest funktorem kowariantnym względem odpowiednich odwzorowań . $_ ^{BM}(Y)}$ mapa f : X → Y indukuje homomorfizm pushforward dla wszystkich liczb całkowitych i . W przeciwieństwie do zwykłej homologii, homologia Borela-Moore'a nie ma możliwości wypychania do przodu dla dowolnej ciągłej mapy f . Jako kontrprzykład można rozważyć inkluzję niewłaściwą ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2} \ setminus \ {0 \} \ do \ mathbb {R} ^ {2}.}$

Homologia Borela-Moore'a jest funktorem kontrawariantnym w odniesieniu do inkluzji otwartych podzbiorów. Oznacza to, że dla U otwartego w X istnieje naturalny homomorfizm odwrotny lub restrykcyjny ${\ Displaystyle H_ {i} ^ {BM} (X) \ do H_ {i} ^ {BM} (U).}$

Dla dowolnej lokalnie zwartej przestrzeni X i dowolnego zamkniętego podzbioru fa , z dopełnieniem, istnieje długa dokładna sekwencja lokalizacji : ${\ displaystyle U = X \ setminus F}$

{\ Displaystyle \ cdots \ do H_ {i} ^ { BM}(F)\do H_{i}^{BM}(X)\do H_{i}^{BM}(U)\do H_{i-1}^{BM}(F)\do \cdots }

Homologia Borela-Moore'a jest ${\ Displaystyle H_ {i} ^ {BM} (X) \ do H_ {i + 1} ^ {BM} (X \ razy \ mathbb {R}).} Przesunięcie wymiaru oznacza, że homologia Borela-Moore'a nie$ niezmienniczą w tym sensie, że dla dowolnej przestrzeni X istnieje izomorfizm jest niezmiennik homotopii w naiwnym sensie. $Na$ przykład homologia Borela-Moore'a w przestrzeni euklidesowej jest izomorficzna z stopniem n a poza $tym$ zero

Dualizm Poincarégo rozciąga się na rozmaitości niezwarte przy użyciu homologii Borela-Moore'a. Mianowicie, dla zorientowanej n -rozmaitości X , dualność Poincarégo jest izomorfizmem od kohomologii osobliwej do homologii Borela-Moore'a,

{\ Displaystyle H ^ {i} (X) {\ stackrel {\ cong} {\ do}} H_ {ni} ^ {BM} (X) }

dla wszystkich liczb całkowitych i . Inną wersją dualności Poincarégo dla rozmaitości niezwartych jest izomorfizm od kohomologii ze zwartym wsparciem do zwykłej homologii:

{\ Displaystyle H_ {c} ^ {i} (X) {\ stackrel {\ cong} {\ do}} H_ {ni} (X).}

Kluczową zaletą homologii Borela-Moore'a jest to, że każda zorientowana rozmaitość M o wymiarze n (w szczególności każda gładka zespolona rozmaitość algebraiczna ), niekoniecznie zwarta, ma podstawową klasę ${\ Displaystyle [M] \ in H_ {n} ^ {BM} (M).}$ Jeśli rozmaitość M ma triangulację , to jej podstawowa klasa jest reprezentowana przez sumę wszystkich uproszczeń górnowymiarowych. W rzeczywistości w homologii Borela-Moore'a można zdefiniować podstawową klasę dla dowolnych (prawdopodobnie pojedynczych) rozmaitości złożonych. W tym przypadku zbiór gładkich punktów ma dopełnienie (rzeczywistego) współwymiaru co najmniej 2, a przez długą dokładną sekwencję powyżej najwyższych homologii wymiarowych ${\ Displaystyle M ^ {\ tekst {reg}} \ podzbiór M}$ z $M$ i ${\ displaystyle M ^ {\ tekst {reg}}}$ są kanonicznie izomorficzne. Podstawowa klasa $M$ jest następnie definiowana jako podstawowa klasa ${\ displaystyle M ^ {\ text {reg}}}$ .

Przykłady

Kompaktowe przestrzenie

Biorąc pod uwagę zwartą przestrzeń topologiczną $,$ jej homologia Borela-Moore'a jest zgodna z homologią standardową to jest,

{\ Displaystyle H_ {*} ^ {BM} (X) \ cong H_ {*} (X)}

Prawdziwa linia

Pierwsze nietrywialne obliczenie homologii Borela-Moore'a dotyczy linii rzeczywistej. Najpierw zauważ, że dowolny $-$ jest kohomologiczny z ${\ displaystyle 0}$ . Ponieważ sprowadza się to do przypadku punktu $Moore'a$ zauważ, że możemy wziąć łańcuch Borela-

{\ Displaystyle \ sigma = \ suma _ {i = 0} ^ {\ infty} 1 \ cdot [p + ja, p + i + 1)}

$zera$ tego łańcucha jest punkt w nieskończoności, punkt jest kohomologiczny do Teraz możemy wziąć łańcuch Borela-Moore'a

{\ Displaystyle \ sigma = \ suma _ {- \ infty <k <\ infty} [k, k + 1)}

który nie ma granicy, a więc jest klasą homologii. To pokazuje że

{\ Displaystyle H_ {k} ^ {BM} (\ mathbb {R}) = {\ rozpocząć {przypadki} \ mathbb {Z} & k = 1 \\ 0& {\text{inaczej}}\end{przypadki}}}

Rzeczywista n-przestrzeń

Poprzednie obliczenia można uogólnić na przypadek ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}.}$ Otrzymujemy

{\ Displaystyle H_ {k} ^ {BM} (\ mathbb {R} ^ {n}) = {\ rozpocząć {przypadki} \ mathbb {Z} & k =n\\0&{\text{inaczej}}\end{przypadki}}}

Nieskończony cylinder

Korzystając z rozkładu Kunnetha, możemy zobaczyć, że nieskończony walec ma homologię ${\ displaystyle S ^ {1} \ razy \ mathbb {R}}$

{\ Displaystyle H_ {k} ^ {BM} (S ^ {1} \ razy \ mathbb {R}) = {\ rozpocząć {przypadki}\mathbb {Z} &k=1\\\mathbb {Z} &k=2\\0&{\text{inaczej}}\end{przypadki}}}

Rzeczywista n-przestrzeń minus punkt

Używając długiej dokładnej sekwencji w homologii Borela-Moore'a, otrzymujemy niezerowe dokładne sekwencje

{\ Displaystyle 0 \ do H_ {n} ^ {BM} (\ {0 \ })\do H_{n}^{BM}(\mathbb {R} ^{n})\do H_{n}^{BM}(\mathbb {R} ^{n}-\{0\}) \do 0}

I

{\ Displaystyle 0 \ do H_ {1} ^{BM}(\mathbb {R} ^{n}-\{0\})\do H_{0}^{BM}(\{0\})\do H_{0}^{BM}(\ mathbb {R} ^{n})\do H_{0}^{BM}(\mathbb {R} ^{n}-\{0\})\do 0}

Z pierwszej sekwencji otrzymujemy to

{\ Displaystyle H_ {n} ^ {BM} (\ mathbb {R} ^ {n}) \ cong H_ {n} ^ { BM}(\mathbb {R} ^{n}-\{0\})}

i od drugiego dostajemy to

{\ Displaystyle H_ {1} ^ {BM} (\ mathbb {R} ^ {n} - \ {0 \}) \ cong H_ {0}^{BM}(\{0\})}

I

{\ Displaystyle 0 \ cong H_ {0} ^ {BM} (\ mathbb {R} ^ {n}) \ cong H_ {0} ^{BM}(\mathbb {R} ^{n}-\{0\})}

Możemy zinterpretować te niezerowe klasy homologii, korzystając z następujących obserwacji:

Istnieje równoważność homotopii ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} - \ {0 \} \ simeq S ^ {n-1}.}$
Izomorfizm topologiczny ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} - \ {0 \} \ cong S ^ {n-1} \ razy \ mathbb {R} _ {> 0}.}$

stąd możemy użyć obliczeń dla nieskończonego cylindra do interpretacji $>$ $} \ razy \ mathbb {R} _ {> 0}}$ homologii reprezentowanej przez $\ Displaystyle S ^ {n-$ i ${\ Displaystyle H_ {1} ^ {BM}}$ jako ${\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {> 0}.}$

Płaszczyzna z usuniętymi punktami

Niech ${\ Displaystyle X = \ mathbb {R} ^ {2} - \ {p_ {1}, \ ldots, p_ {k} \}}$ mają $k$ -usunięto odrębne punkty. Zwróć uwagę na poprzednie obliczenia z faktem, że homologia Borela-Moore'a jest niezmiennikiem izomorfizmu, co daje to obliczenie dla przypadku . ${\ displaystyle k = 1}$ . Ogólnie rzecz ${BM}}$ , znajdziemy $}$ pętli wokół punktu i klasę $\$ { $1$ .

Podwójny stożek

Rozważmy podwójny stożek ${\ Displaystyle X = \ mathbb {V} (x ^ {2} + y ^ {2} -z ^ {2}) \ podzbiór \mathbb {R} ^{3}}$ . Jeśli weźmiemy ${\ Displaystyle U = X \ setminus \ {0 \}},$ to pokazuje długą dokładną sekwencję

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} H_ {2} ^ {BM}(X)&=\mathbb {Z} ^{\oplus 2}\\H_{1}^{BM}(X)&=\mathbb {Z} \\H_{k}^{BM}( X)&=0&&{\text{ dla }}k\not \in \{1,2\}\end{wyrównane}}}

Rodzaj 2 krzywej z usuniętymi trzema punktami

$pod$ uwagę krzywą drugiego rodzaju (powierzchnia Riemanna) $trzy$ punkty , możemy użyć długiej dokładnej sekwencji do obliczenia homologii Borela- ${\ Displaystyle U = X \ setminus F.}$ To daje