Hiperhomologia

W algebrze homologicznej , hiperhomologii lub hiperkohomologii ( ${\ Displaystyle \ mathbb {H} _ {*} (-), \ mathbb {H} ^ {*} (-)}$ ) jest uogólnieniem funktorów (ko) homologii, które przyjmuje jako dane wejściowe nie obiekty w kategorii $ale$ , zamiast tego łańcuchowe kompleksy obiektów, więc obiekty w ${\ Displaystyle {\ text {Ch}} ({\ mathcal {A}})$ } Jest to coś w rodzaju skrzyżowania pochodnej kohomologii funktora obiektu z homologią kompleksu łańcuchowego, ponieważ hiperkohomologia odpowiada pochodnemu globalnemu funktorowi sekcji. R ∗ $Displaystyle \ mathbf {R} ^ {*} \ Gamma (-)}$ .

Hiperhomologia nie jest już często używana: od około 1970 roku została w dużej mierze zastąpiona przez z grubsza równoważną koncepcję funktora pochodnego między kategoriami pochodnymi .

Motywacja

Jedna z motywacji hiperkohomologii wynika z faktu, że nie ma oczywistego uogólnienia kohomologicznych długich dokładnych sekwencji związanych z krótkimi dokładnymi sekwencjami

${\ Displaystyle 0 \ do M '\ do M \ do M''\ do 0}$

tj. istnieje powiązana długa sekwencja dokładna

${\ Displaystyle 0 \ do H ^ {0} (M ') \ do H ^ {0} (M )\do H^{0}(M'')\do H^{1}(M')\do \cdots }$

Okazuje się, że hiperkohomologia daje techniki konstruowania podobnej kohomologicznej powiązanej długiej dokładnej sekwencji z dowolnej długiej dokładnej sekwencji

${\ Displaystyle 0 \ do M_ {1} \ do M_ {2} \ do \ cdots \ do M_ {k} \ do 0}$

ponieważ jego dane wejściowe są podawane przez kompleksy łańcuchowe, a nie tylko obiekty z kategorii abelowej. Możemy przekształcić ten kompleks łańcuchów w wyróżniony trójkąt (używając języka triangulowanych kategorii na kategorii pochodnej)

${\ Displaystyle M_ {1} \ do [M_ {2} \ do \ cdots \ do M_ {k- 1}]\do M_{k}[-k+3]\xstrzałka w prawo {+1} }$

przez co oznaczamy

${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} '_ {\ punktor} \ do {\ mathcal {M}} _ {\ punktor} \ do {\ mathcal {M }}''_{\bullet }\xrightarrow {+1} }$

Następnie biorąc pochodne $,$ otrzymujemy długą dokładną sekwencję, która jest długą dokładną

Definicja

Podajemy definicję hiperkohomologii, ponieważ jest ona bardziej powszechna. Jak zwykle, hiperkohomologia i hiperhomologia są w zasadzie tym samym: jedna konwersja z jednej na drugą poprzez dualizację, tj. zmianę kierunku wszystkich strzałek, zastąpienie obiektów iniekcyjnych obiektami rzutowymi i tak dalej.

Załóżmy, że A jest kategorią abelową z wystarczającą liczbą iniekcji , a F lewym funktorem dokładnym do innej kategorii abelowej B . Jeśli C jest zespołem obiektów A ograniczonym z lewej strony, to hiperkohomologia

Cześć ^ja ( C )

C (dla liczby całkowitej i ) oblicza się w następujący sposób :

Weźmy quasi-izomorfizm Φ : C → I , tutaj I jest złożeniem elementów iniekcyjnych A .
Hiperkohomologia Hi ( C ) C jest więc kohomologią Hi ( F ( I ) ) kompleksu F ( I ⁾^.

Hiperkohomologia C jest niezależna od wyboru quasi-izomorfizmu aż do unikalnych izomorfizmów.

Hiperkohomologię można również zdefiniować za pomocą kategorii pochodnych : hiperkohomologia C to po prostu kohomologia RF ( C ) traktowana jako element kategorii pochodnej B.

⁰⁰⁰ , które znikają dla indeksów ujemnych, hiperkohomologię można zdefiniować jako pochodne funktory H = FH = HF .

Sekwencje widmowe hiperkohomologii

Istnieją dwie hiperkohomologiczne sekwencje widmowe ; jeden z _terminem E2

{\ Displaystyle R ^ {i} F (H ^ {j} (C))}

a drugi z _terminem E1

{\ Displaystyle R ^ {j} F (C ^ {i})}

i E2 termin _{_}

{\ Displaystyle H ^ {i} (R ^ {j} F (C))}

oba zbieżne do hiperkohomologii

{\ Displaystyle H ^ {i + j} (RF (C))}

,

gdzie R ^j F jest funktorem wyprowadzonym w prawo z F .

Aplikacje

Jednym z zastosowań sekwencji widmowych hiperkohomologii jest badanie gerbes . Przypomnijmy, że wiązki ${\ Displaystyle H ^ {1} (X, {\ podkreślenie$ rang n w przestrzeni można sklasyfikować jako grupę Cech-kohomologii $)$ . Główną ideą stojącą za gerbes jest rozszerzenie tej idei kohomologicznie, więc zamiast brać ${\ Displaystyle H ^ {1} (X, {\ textbf {R}} ^ {0} F)}$ $dla$ jakiegoś funktora tego rozważamy grupę kohomologiczną ${\ displaystyle H ^ {1} (X, {\ textbf {R}} ^ {1} F)}$ , więc klasyfikuje obiekty, które są sklejone przez obiekty w oryginalnej grupie klasyfikacyjnej. Blisko spokrewnionym przedmiotem, który bada gerbes i hiperkohomologię, jest kohomologia Deligne'a .

Przykłady

Dla rozmaitości X nad polem k , druga sekwencja widmowa z góry daje sekwencję widmową Hodge-de Rham dla kohomologii algebraicznej de Rham :
${\ Displaystyle E_ {1} ^ {p, q} = H ^ {q} (X, \ Omega _ {X} ^ {p}) \ Strzałka w prawo \ mathbf {H} ^ {p + q }(X,\Omega _{X}^{\punktor})=:H_{DR}^{p+q}(X/k)}$ .
Inny przykład pochodzi z holomorficznego kompleksu logarytmicznego na złożonej rozmaitości. Niech X będzie $a$ rozmaitością kompaktowaniem $dzielnikiem$ to, że jest rozmaitością algebraiczną i na $przejściami$ z prostymi normalnymi Naturalna inkluzja kompleksów krążków
${\ Displaystyle \ Omega _ {Y} ^ {\ punktor} (\ log D) \ strzałka w prawo j_ {*} \ Omega _ {X} ^ {\ punktor}}$

okazuje się być quasi-izomorfizmem i indukuje izomorfizm

${\ Displaystyle H ^ {k} (X; \ mathbb {C}) \ strzałka w prawo \ mathbf {H} ^ {k} (Y,\Omega _{Y}^{\bullet}(\log D))}$ .

Zobacz też

H. Cartan, S. Eilenberg, algebra homologiczna ISBN 0-691-04991-2
VI Daniłow (2001) [1994], „Funktor hiperhomologii” , Encyklopedia matematyki , EMS Press
A. Grothendieck, Sur quelques points d'algèbre homologique Tohoku Math. J. 9 (1957) s. 119-221