Rezolucja Cartana-Eilenberga

W algebrze homologicznej rozdzielczość Cartana -Eilenberga jest w pewnym sensie rozdzielczością kompleksu łańcuchowego . Może być używany do konstruowania hiper-pochodnych funktorów. Został nazwany na cześć Henri Cartana i Samuela Eilenberga .

Definicja

Niech będzie kategorią abelową z wystarczającą liczbą rzutów i niech będzie kompleksem łańcuchowym z obiektami w $A} }}$${ \ mathcal$$displaystyle$ . Wtedy rozdzielczość $równa$ – Eilenberga $displaystyle P_ {p, q} = 0}$$P.$ zespołowi górnej półpłaszczyzny ( dla ${\ displaystyle q <0}$ ) składający się z obiektów rzutowych $mapy$ łańcucha „powiększenia” ${\ Displaystyle \ varepsilon \ dwukropek P_ {p, *} \ do A_ {*}}$ takie, że

• then the p-th column is zero, i.e. Jeśli $A_{p}=0$ { \ $P_{p,q}=0$ for all .

• Dla dowolnej stałej kolumny ${\ Displaystyle P_ {p, *}}$ ,
  • $} (P, d ^ {h}): = d ^ {h} (P_ { p + 1.*})} uzyskane$ p ${\ Displaystyle P_ {*, *}}$ zastosowanie poziomej różnicy do ( kolumna ${\ displaystyle p + 1} st. P. p + 1 ,$$p + 1 ,$ \ ) tworzy rzutową rozdzielczość $} (P, d ^ {h}) \ do B_ {p} (A)}$${\ Displaystyle B_ {p} (\ varepsilon): B_ {$${\ displaystyle A_ {p}}$ granic ZA .
  • Złożony otrzymany przez przyjęcie homologii każdego rzędu względem różnicy poziomej tworzy rzutową rozdzielczość $) {\ Displaystyle H_ {p} (P, d ^ {h})$${\ Displaystyle H_ {p} (\ varepsilon): H_ {p} (P, d ^ {h}) \ do H_ {p} (A)}$ stopnia p homologii ZA $\ displaystyle A}$ .

Można pokazać, że dla każdego p kolumna jest $Displaystyle$ rozdzielczością ${p, *}}$ .

Istnieje analogiczna definicja wykorzystująca rozdzielczości iniekcyjne i kompleksy kołańcuchowe.

Istnienie rezolucji Cartana-Eilenberga można udowodnić za pomocą lematu podkowy .

Funktory hiperpochodne

$} na$ prawy funktor dokładny , można zdefiniować lewe hiperpochodne funktory ${\ Displaystyle F \ okrężnica {\ mathcal {A}} \ do {\ mathcal {B}}$ złożonym łańcuchu wg. ${\ Displaystyle A_ {*}}$

• Konstruowanie rozdzielczości Cartana-Eilenberga ${\ Displaystyle \ varepsilon: P_ {*, *} \ do A_ {*}}$ ,
• $Zastosowanie$ funktora do $_$ _
• Biorąc pod uwagę homologię otrzymanego kompleksu całkowitego.

Podobnie można również zdefiniować prawe funktory hiperpochodne dla lewych funktorów dokładnych.

Zobacz też

• Hyperhomology

•    Weibel, Charles A. (1994), Wprowadzenie do algebry homologicznej , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, tom. 38, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-55987-4 , MR 1269324