Rozdzielczość (algebra)

W matematyce , a dokładniej w algebrze homologicznej , rozdzielczość (lub rozdzielczość lewostronna ; podwójnie współrozdzielczość lub rozdzielczość prawa ) to dokładna sekwencja modułów (lub bardziej ogólnie obiektów kategorii abelowej ) , która jest używana do definiowania niezmienników charakteryzujący strukturę określonego modułu lub obiektu tej kategorii. Kiedy, jak zwykle, strzałki są skierowane w prawo, sekwencja powinna być nieskończona w lewo dla (lewych) rozdzielczości i w prawo dla rozdzielczości prawych. Jednak skończona rozdzielczość to taka, w której tylko skończenie wiele obiektów w sekwencji jest niezerowych ; jest zwykle reprezentowany przez skończoną dokładną sekwencję, w której obiekt najbardziej na lewo (dla rozdzielczości) lub obiekt najbardziej na prawo (dla współrozdzielczości) jest obiektem zerowym .

Ogólnie rzecz biorąc, obiekty w sekwencji są ograniczone do posiadania pewnej właściwości P (na przykład bycia wolnymi). Mówi się więc o rozdzielczości P. W szczególności każdy moduł ma wolne rozdzielczości , rzutowe rozdzielczości i płaskie rozdzielczości , które są lewostronnymi rozdzielczościami składającymi się odpowiednio z wolnych modułów , rzutowych modułów lub płaskich modułów . Podobnie każdy moduł ma rozdzielczości iniekcyjne , które są właściwymi rozdzielczościami składającymi się z modułów iniekcyjnych .

Uchwały modułów

Definicje

Biorąc pod uwagę moduł M na pierścieniu R , lewostronna rozdzielczość (lub po prostu rozdzielczość ) M jest dokładną sekwencją (prawdopodobnie nieskończoną) R -modułów

{\ Displaystyle \ cdots {\ overset {d_ {n + 1}}} {\ longrightarrow}} E_ {n} {\ overset {d_ {n}} {\ longrightarrow}} \ cdots {\ overset {d_ {3}} {\longrightarrow }}E_{2}{\overset {d_{2}}{\longrightarrow }}E_{1}{\overset {d_{1}}{\longrightarrow }}E_{0}{\overset {\ varepsilon }{\longrightarrow }}M\longrightarrow 0.}

Homomorfizmy d _i nazywane są mapami granicznymi. Mapa ε nazywana jest mapą augmentacyjną . Dla zwięzłości powyższą rozdzielczość można zapisać jako

{\ Displaystyle E _ {\ punktor} {\ overset {\ varepsilon} {\ longrightarrow}} M \ longrightarrow 0.}

Podwójne pojęcie to właściwa rozdzielczość (lub współrozdzielczość lub po prostu rozdzielczość ). W szczególności, biorąc pod uwagę moduł M na pierścieniu R , właściwa rozdzielczość to możliwie nieskończona dokładna sekwencja R -modułów

_ ^{0}{\overset {d^{0}}{\longrightarrow }}C^{1}{\overset {d^{1}}{\longrightarrow }}C^{2}{\overset {d^ {2}}{\longrightarrow }}\cdots {\overset {d^{n-1}}{\longrightarrow }}C^{n}{\overset {d^{n}}{\longrightarrow }}\cdots ,}

gdzie każdy ^Ci jest modułem R (często stosuje się indeksy górne na obiektach w rozdzielczości i mapach między nimi, aby wskazać dwoistą naturę takiej rozdzielczości). Dla zwięzłości powyższą rozdzielczość można zapisać jako

{\ Displaystyle 0 \ longrightarrow M {\ overset {\ varepsilon} {\ longrightarrow}} C ^ {\ punktor}.}

Mówi się, że (ko)rozdzielczość jest skończona , jeśli tylko skończenie wiele zaangażowanych modułów jest niezerowych. Długość skończonej rozdzielczości to maksymalny indeks n oznaczający niezerowy moduł w skończonej rozdzielczości.

Wolne, rzutowe, iniekcyjne i płaskie rozdzielczości

W wielu przypadkach na moduły E _i rozwiązujące dany moduł M nakładane są warunki . Na przykład swobodna rozdzielczość modułu M jest lewą rozdzielczością _, w której wszystkie moduły Ei są wolnymi R -modułami. Podobnie, rzutowe i płaskie rozdzielczości są _{lewostronnymi} rozdzielczościami takimi, że wszystkie Ei są odpowiednio rzutowymi i płaskimi modułami R. Rozdzielczość iniekcyjna jest właściwe rezolucje, których C ⁱ są wszystkimi modułami iniekcyjnymi .

₀₀ Każdy R -moduł posiada wolną lewą rozdzielczość. A fortiori każdy moduł dopuszcza również rozdzielczości rzutowe i płaskie. Ideą dowodu jest zdefiniowanie E jako wolnego R -modułu generowanego przez elementy M , a następnie E ₁ jako swobodnego R -modułu generowanego przez elementy jądra mapy naturalnej E → M itd. Podwójnie, każdy r -moduł posiada rozdzielczość iniekcyjną. Rozdzielczości projekcyjne (i bardziej ogólnie rozdzielczości płaskie) mogą być używane do obliczania funktorów Tora .

₀ Rozdzielczość rzutowa modułu M jest jednoznaczna aż do homotopii łańcuchowej , tj. przy danych dwóch rozdzielczościach rzutowych P → M i P ₁ → M z M istnieje między nimi homotopia łańcuchowa.

Rozdzielczości służą do definiowania wymiarów homologicznych . Minimalna długość skończonej rozdzielczości rzutowej modułu M nazywana jest jego wymiarem rzutowym i oznaczana pd( M ). Na przykład moduł ma wymiar rzutowy zero wtedy i tylko wtedy, gdy jest modułem rzutowym. Jeśli M nie dopuszcza skończonej rozdzielczości rzutowej, to wymiar rzutowy jest nieskończony. Na przykład dla przemiennego pierścienia lokalnego R wymiar rzutowy jest skończony wtedy i tylko wtedy, gdy R jest regularne iw tym przypadku pokrywa się z wymiarem Krulla R . Analogicznie, wymiar iniekcyjny id( M ) i wymiar płaski fd( M ) są również zdefiniowane dla modułów.

Wymiary iniekcyjne i rzutowe są używane w kategorii prawych modułów R w celu zdefiniowania wymiaru homologicznego dla R zwanego prawym globalnym wymiarem R . Podobnie wymiar płaski służy do definiowania słabego wymiaru globalnego . Zachowanie tych wymiarów odzwierciedla charakterystykę pierścienia. Na przykład pierścień ma prawy wymiar globalny 0 wtedy i tylko wtedy, gdy jest pierścieniem półprostym , a pierścień ma słaby wymiar globalny 0 wtedy i tylko wtedy, gdy jest pierścieniem regularnym von Neumanna .

Stopniowane moduły i algebry

Niech M będzie stopniowanym modułem nad stopniowaną algebrą , która jest generowana przez ciało przez jego elementy o dodatnim stopniu. Wtedy M ma swobodną rozdzielczość, w której swobodne moduły Ei mogą być stopniowane w taki sposób, że _di i _ε są stopniowanymi mapami liniowymi . Wśród tych stopniowanych rozdzielczości swobodnych _minimalne rozdzielczości swobodne to takie, dla których liczba elementów bazowych każdego Ei jest minimalna. Liczba elementów bazowych każdego E _i i ich stopnie są takie same dla wszystkich minimalnych wolnych rozdzielczości stopniowanego modułu.

Jeśli I jest jednorodnym ideałem w pierścieniu wielomianowym nad ciałem, regularność Castelnuovo-Mumforda rzutowego zbioru algebraicznego określonego przez I jest minimalną liczbą całkowitą r taką, że stopnie elementów bazowych E i _w minimalnej swobodnej rozdzielczości Jestem niższy niż ri .

Przykłady

Klasycznym przykładem swobodnej rozdzielczości jest zespół Koszula ciągu regularnego w lokalnym pierścieniu lub jednorodnego ciągu regularnego w algebrze stopniowanej skończenie generowanej na ciele.

Niech X będzie przestrzenią asferyczną , tzn. jej uniwersalne pokrycie E jest kurczliwe . Wtedy każdy pojedynczy (lub uproszczony ) zespół łańcuchowy E jest swobodną rozdzielczością modułu Z nie tylko na pierścieniu Z , ale także na pierścieniu grupowym Z [ π ₁ ( X )].

Rozdzielczość w kategoriach abelowych

Definicja rozdzielczości obiektu M w abelowej kategorii A jest taka sama jak powyżej, ale Ei _i Ci ^są obiektami w A , a wszystkie zaangażowane odwzorowania są morfizmami w A .

Analogicznymi pojęciami modułów rzutowych i iniekcyjnych są obiekty rzutowe i iniekcyjne , a zatem rezolucje rzutowe i iniekcyjne. Jednak takie rozwiązania nie muszą istnieć w ogólnej kategorii abelowej A . Jeśli każdy obiekt A ma rozdzielczość rzutową (odp. iniektywną), to mówi się, że A ma wystarczającą liczbę rzutów (odp. wystarczającą liczbę iniekcji ). Nawet jeśli takie rozwiązania istnieją, często trudno jest z nimi pracować. Na przykład, jak wskazano powyżej, każdy R -moduł ma rozdzielczość iniekcyjną, ale ta rozdzielczość nie jest funktoralna , tj. dany homomorfizm M → M' , razem z rozdzielczościami iniekcyjnymi

{\ Displaystyle 0 \ rightarrow M \ rightarrow I_ {*}, \ \ 0 \ rightarrow M'\ rightarrow I'_ {*},}

generalnie nie ma funkcjonalnego sposobu na uzyskanie mapy między ${\ displaystyle I_ {*}}$ i ${\ displaystyle I'_ {*}}$ .

Kategorie abelowe bez rzutowych rozdzielczości w ogóle

$abelowych$ klasą przykładów kategorii bez rozdzielczości rzutowych $są$ kategorie snopów Na przykład, jeśli jest przestrzenią rzutową, każdy spójny snop na $\ mathbb {P} _ {S} ^ {$ $=$ $} \displaystyle X}$ ma prezentację określoną przez dokładną sekwencję

{\ Displaystyle \ bigoplus _ {i, j = 0} {\ mathcal {O}} _ { X}(s_{i,j})\do \bigoplus _{i=0}{\mathcal {O}}_{X}(s_{i})\do {\mathcal {M}}\do 0. }

Pierwsze dwa wyrazy nie są na ogół rzutowe, ponieważ ${\ Displaystyle H ^ {n} (\ mathbb {P} _ {S} ^ {n}, {\ mathcal {O}} _ {X} (s)} \ neq 0}$ dla ${\ displaystyle s> 0}$ . Ale oba warunki są lokalnie darmowe i lokalnie płaskie. Obie klasy snopów mogą być używane zamiast niektórych obliczeń, zastępując rozdzielczości projekcyjne do obliczania niektórych funktorów pochodnych.

Rozdzielczość acykliczna

W wielu przypadkach tak naprawdę nie interesują nas obiekty występujące w rozdzielczości, ale zachowanie się rozdzielczości względem danego funktora . Dlatego w wielu sytuacjach stosuje się pojęcie rozdzielczości acyklicznych : mając lewy funktor dokładny F : A → B między dwiema kategoriami abelowymi, rozdzielczość

{\ Displaystyle 0 \ strzałka w prawo M \ strzałka w prawo E_ {0} \ strzałka w prawo E_ {1} \ strzałka w prawo E_ {2} \ strzałka w prawo \ cdots}

obiektu M z A nazywamy F -acyklicznym, jeśli funktory pochodne R _i F ( E _n ) znikają dla wszystkich i > 0 oraz n ≥ 0. Podwójnie, lewostronna rozdzielczość jest acykliczna względem prawego dokładnego funktora, jeśli jego funktory pochodne znikają na obiektach rozdzielczości.

Na przykład, biorąc pod uwagę moduł R M , iloczyn $tensorowy$ jest właściwym funktorem dokładnym Mod ( R → R ). Każda płaska rozdzielczość jest acykliczna względem tego funktora. Płaska rozdzielczość jest acykliczna dla iloczynu tensorowego przez każde M . Podobnie rozwiązania acykliczne dla wszystkich funktorów Hom ( ⋅ , M ) to rozdzielczości rzutowe, a te, które są acykliczne dla funktorów Hom ( M , ⋅ ) to rozdzielczości iniekcyjne.

Każda rozdzielczość iniekcyjna (rzutowa) jest F -acykliczna dla dowolnego lewego dokładnego (odpowiednio prawego dokładnego) funktora.

Znaczenie rozwiązań acyklicznych polega na tym, że pochodne funktory R _i F (lewego funktora dokładnego, a także L _i F prawego dokładnego funktora) można otrzymać z homologii F -rozkładów acyklicznych: dany acykliczny rozdzielczość obiektu M $_$ _

{\ Displaystyle R_ {i} F (M) = H_ {i} F (E_ {*}),}

gdzie prawa strona jest i -tym obiektem homologii kompleksu ${\ Displaystyle F (E_ {*}).}$

Ta sytuacja ma zastosowanie w wielu sytuacjach. Na przykład dla stałego snopka R na rozmaitości różniczkowalnej M można rozwiązać za pomocą krążków gładkich form różniczkowych : $\ Displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {*} (M)}$

{\ Displaystyle 0 \ strzałka w prawo R \ podzbiór {\ mathcal {C}} ^ {0} (M) {\stackrel {d}{\rightarrow }}{\mathcal {C}}^{1}(M){\stackrel {d}{\rightarrow }}\cdots {\mathcal {C}}^{\dim M }(M)\strzałka w prawo 0.}

Krążki są drobnymi krążkami ${\ Displaystyle \ Gamma: {\ mathcal {F}} \ mapsto {\ mathcal {F}} (M)}$ $, że$ w odniesieniu do globalnego funktora przekroju . Dlatego kohomologia snopka , która jest funktorem pochodnym globalnego funktora sekcji Γ, jest obliczana jako ${\ Displaystyle \ operatorname {H} ^ {i} (M, \ mathbf {R}) = \ operatorname {H} ^ {i} ({\ mathcal {C}} ^ {*} (M)).}$

Podobnie rozwiązania Godement są acykliczne w stosunku do globalnego funktora sekcji.

Zobacz też

Notatki

Iain T. Adamson (1972), Elementarne pierścienie i moduły , University Mathematical Texts, Oliver and Boyd, ISBN 0-05-002192-3
Eisenbud, David (1995), Algebra przemienna. Z myślą o geometrii algebraicznej , Graduate Texts in Mathematics , tom. 150, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 3-540-94268-8 , MR 1322960 , Zbl 0819.13001
Jacobson, Nathan (2009) [1985], Basic algebra II (wyd. Drugie), Dover Publications, ISBN 978-0-486-47187-7
Lang, Serge (1993), Algebra (wyd. Trzecie), Reading, Mass .: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0 , Zbl 0848.13001
Weibel, Charles A. (1994). Wprowadzenie do algebry homologicznej . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Tom. 38. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55987-4 . MR 1269324 . OCLC 36131259 .