Słaby wymiar

W algebrze abstrakcyjnej słaby wymiar niezerowego prawego modułu M nad pierścieniem R jest największą liczbą n taką, że grupa Tor ${ R}(M,N)}$ ) {\ Displaystyle \ operatorname {Tor} _ {n} jest niezerowe dla jakiegoś lewego R -modułu N (lub nieskończoności, jeśli nie ma największego takiego n istnieje), a słaby wymiar lewego modułu R jest zdefiniowany podobnie. Wymiar słaby został wprowadzony przez Henri Cartana i Samuela Eilenberga ( 1956 , s. 122). Wymiar słaby jest czasami nazywany wymiarem płaskim , ponieważ jest to najkrótsza długość rozdzielczości modułu przez moduły płaskie . Słaby wymiar modułu jest co najwyżej równy jego wymiarowi rzutowemu .

Słaby wymiar globalny pierścienia to największa liczba n taka, że ${\ Displaystyle \ operatorname {Tor} _ {n} ^ {R} (M, N)}$ jest niezerowy dla pewnego prawa R -moduł M i lewy R -moduł N . Jeśli nie ma takiej największej liczby n , słaby wymiar globalny jest zdefiniowany jako nieskończony. Jest co najwyżej równy lewemu lub prawemu globalnemu wymiarowi pierścienia R .

Przykłady

• Moduł liczb wymiernych na pierścieniu $liczb$ całkowitych ma słaby wymiar 0, ale wymiar $rzutowy$
• Moduł nad pierścieniem $ma$$\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ wymiar 1, wymiar
• Moduł nad pierścieniem ma słaby wymiar 0, ale wymiar iniekcyjny 1. $Z$$Z}}$
• Domena Prüfera ma co najwyżej słaby wymiar globalny 1.
• Regularny pierścień von Neumanna ma słaby globalny wymiar 0.
• Iloczyn nieskończenie wielu pól ma słaby wymiar globalny 0, ale jego wymiar globalny jest niezerowy .
• Jeśli pierścień jest prawy noetherowski , to prawy wymiar globalny jest taki sam jak słaby wymiar globalny i jest co najwyżej lewym wymiarem globalnym. W szczególności, jeśli pierścień jest prawy i lewy noetherowski, wówczas lewy i prawy wymiar globalny oraz słaby wymiar globalny są takie same.
• Trójkątny pierścień $macierzy$ 1 słaby globalny wymiar 1, ale lewy globalny wymiar 2. Jest prawy noetherowski, ale nie lewy noetherowski.

•    Cartan, Henri ; Eilenberg, Samuel (1956), algebra homologiczna , Princeton Mathematical Series, tom. 19, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-04991-5 , MR 0077480
•    Năstăsescu, Constantin; Van Oystaeyen, Freddy (1987), Wymiary teorii pierścieni , Matematyka i jej zastosowania, tom. 36, D. Reidel Publishing Co., doi : 10.1007/978-94-009-3835-9 , ISBN 9789027724618 , MR 0894033