Obiekt zerowy (algebra)

Morfizmy do i od obiektu zerowego

W algebrze obiekt zerowy danej struktury algebraicznej jest, w znaczeniu wyjaśnionym poniżej, najprostszym obiektem takiej struktury. Jako zbiór jest singletonem , a jako magma ma strukturę trywialną , która jest jednocześnie grupą abelową . Wspomniana struktura grup abelowych jest zwykle identyfikowana jako dodatek , a jedyny element nazywa się zero , więc sam obiekt jest zwykle oznaczany jako ${0}$ . Często odnosi się do obiekt trywialny (określonej kategorii ), ponieważ każdy obiekt trywialny jest izomorficzny z każdym innym (w ramach unikalnego izomorfizmu).

Instancje obiektu zerowego obejmują między innymi:

Jako grupa , grupa zerowa lub grupa trywialna .
Jako pierścień , pierścień zerowy lub pierścień trywialny .
Jako algebra ciała lub algebra pierścienia , algebra trywialna .
Jako moduł (na pierścieniu $R$ ), moduł zerowy . Stosowany jest również termin moduł trywialny , chociaż może być niejednoznaczny, ponieważ trywialny moduł G to moduł G o trywialnym działaniu.
Jako przestrzeń wektorowa (nad polem $R$ ), zerowa przestrzeń wektorowa , zerowymiarowa przestrzeń wektorowa lub po prostu zerowa przestrzeń .

Obiekty te są opisane łącznie nie tylko w oparciu o wspólną strukturę singletonową i trywialną, ale także ze względu na wspólne właściwości teorii kategorii .

W ostatnich trzech przypadkach mnożenie skalarne przez element pierścienia podstawowego (lub pola) definiuje się jako:

κ 0 = 0

, gdzie

κ \in R

.

Najbardziej ogólny z nich, moduł zerowy, jest modułem skończenie generowanym z pustym zespołem prądotwórczym.

W przypadku struktur wymagających struktury mnożenia wewnątrz obiektu zerowego, takich jak trywialny pierścień , jest tylko jeden możliwy, $0 \times 0 = 0$ , ponieważ nie ma elementów niezerowych. Ta struktura jest asocjacyjna i przemienna . Pierścień $R$ , który ma zarówno addytywną, jak i multiplikatywną tożsamość, jest trywialny wtedy i tylko wtedy, gdy $1 = 0$ , ponieważ ta równość implikuje, że dla wszystkich $r$ w $R$ ,

{\ Displaystyle r = r \ razy 1 = r \ razy 0 = 0.}

W tym przypadku możliwe jest zdefiniowanie dzielenia przez zero , ponieważ pojedynczy element jest swoją własną multiplikatywną odwrotnością. Niektóre właściwości ${0}$ zależą od dokładnej definicji tożsamości multiplikatywnej; patrz § Struktury jednostkowe poniżej.

Każda trywialna algebra jest również trywialnym pierścieniem. Trywialna algebra nad ciałem jest jednocześnie zerową przestrzenią wektorową, o której mowa poniżej . W pierścieniu przemiennym algebra trywialna jest jednocześnie modułem zerowym.

Trywialny pierścień jest przykładem kwadratu zero . Przykładem algebry zerowej jest algebra trywialna .

Zerowymiarowa przestrzeń wektorowa jest szczególnie wszechobecnym przykładem obiektu zerowego, przestrzenią wektorową nad polem z pustą podstawą . Ma zatem wymiar zero. Jest to również trywialna grupa nad dodawaniem i trywialny moduł wspomniany powyżej .

Nieruchomości

2 ↕	${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} 0 \\ 0 \ koniec {bmatrix}}}$	=	${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} \, \\\, \ koniec {bmatrix}}}$	[ ]	‹0
	↔ 1		^ 0	↔ 1
Element przestrzeni zerowej, zapisany jako pusty wektor kolumnowy (pierwszy z prawej), jest mnożony przez pustą macierz 2×0 , aby otrzymać dwuwymiarowy wektor zerowy (najbardziej z lewej). Przestrzegane są zasady mnożenia macierzy .

Pierścień zerowy, moduł zerowy i przestrzeń wektorów zerowych są obiektami zerowymi odpowiednio kategorii pseudopierścieni , kategorii modułów i kategorii przestrzeni wektorowych . Jednak pierścień zerowy nie jest obiektem zerowym w kategorii pierścieni , ponieważ nie ma homomorfizmu pierścienia zerowego w żadnym innym pierścieniu.

$0$ Obiekt zerowy z definicji musi być obiektem końcowym, co oznacza, że morfizm $A \to {0}$ musi istnieć i być unikalny dla dowolnego obiektu $A$ . Ten morfizm odwzorowuje dowolny element $A$ na .

$0$ Obiekt zerowy, również z definicji, musi być obiektem początkowym, co oznacza, że morfizm ${0} \to A$ musi istnieć i być unikalny dla dowolnego obiektu $A$ . Morfizm ten odwzorowuje , jedyny element ${0}$ , na element zerowy $0 \in A$ , zwany wektorem zerowym w przestrzeniach wektorowych. Ta mapa jest monomorfizmem , a zatem jej obraz jest izomorficzny z ${0}$ . W przypadku modułów i przestrzeni wektorowych ten podzbiór ${0} \subset A$ jest jedynym podmodułem wygenerowanym jako pusty (lub 0-wymiarowa podprzestrzeń liniowa ) w każdym module (lub przestrzeni wektorowej) $A$ .

Struktury jednostkowe

Obiekt ${0}$ jest obiektem końcowym dowolnej struktury algebraicznej, o ile istnieje, tak jak to opisano w przykładach powyżej. Ale jego istnienie i, jeśli istnieje, właściwość bycia obiektem początkowym (a więc obiektem zerowym w sensie kategorii-teoretycznym ) zależą od dokładnego zdefiniowania tożsamości multiplikatywnej 1 w określonej strukturze.

Jeśli definicja $1$ wymaga, aby $1 \neq 0$ , to obiekt ${0}$ nie może istnieć, ponieważ może zawierać tylko jeden element. W szczególności pierścień zerowy nie jest polem . Jeśli matematycy mówią czasem o polu z jednym elementem , to ten abstrakcyjny i nieco tajemniczy obiekt matematyczny nie jest polem.

W kategoriach, w których tożsamość multiplikatywna musi być zachowana przez morfizmy, ale może być równa zeru, obiekt ${0}$ może istnieć. Ale nie jako obiekt początkowy, ponieważ morfizmy zachowujące tożsamość od ${0}$ do dowolnego obiektu, w którym $1 \neq 0$ nie istnieją. Na przykład w kategorii pierścieni Pierścień pierścieniem liczb całkowitych Z jest obiektem początkowym, a nie ${0}$ .

Jeśli struktura algebraiczna wymaga tożsamości multiplikatywnej, ale ani jej zachowania przez morfizmy, ani $1 \neq 0$ , to istnieją morfizmy zerowe i sytuacja nie różni się od struktur niejednostkowych omówionych w poprzedniej sekcji.

Notacja

$0$ Przestrzenie wektorów zerowych i moduły zerowe są zwykle oznaczane przez (zamiast ${0}$ ). Dzieje się tak zawsze wtedy, gdy występują one w dokładnej kolejności .

Zobacz też

Linki zewnętrzne

Davida Sharpe'a (1987). Pierścienie i faktoryzacja . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge . P. 10 : trywialny pierścień . ISBN 0-521-33718-6 .
Barile, Margherita. „Moduł trywialny” . MathWorld .
Barile, Margherita. „Moduł zerowy” . MathWorld .