Pusta półgrupa

W matematyce półgrupa bez elementów ( półgrupa pusta ) to półgrupa , w której podstawowym zbiorem jest zbiór pusty . Wielu autorów nie uznaje istnienia takiej półgrupy. Dla nich półgrupa jest z definicji niepustym wraz z asocjacyjną operacją binarną. Jednak nie wszyscy autorzy nalegają, aby podstawowy zestaw półgrupy nie był pusty. Można logicznie zdefiniować półgrupę, w której podstawowy zestaw S jest pusty. Operacją binarną w półgrupie jest pusta funkcja od S × S do S . Ta operacja próżniowo spełnia aksjomaty domknięcia i asocjatywności półgrupy. Nie wykluczanie pustej półgrupy upraszcza pewne wyniki dotyczące półgrup. Na przykład wynik, że przecięcie dwóch podgrup półgrupy T jest podpółgrupą T , obowiązuje nawet wtedy, gdy przecięcie jest puste.

Gdy półgrupa jest zdefiniowana jako posiadająca dodatkową strukturę, problem może nie wystąpić. Na przykład definicja monoidu wymaga elementu tożsamości , który wyklucza pustą półgrupę jako monoid.

W teorii kategorii pusta półgrupa jest zawsze dopuszczalna. Jest to unikalny obiekt początkowy kategorii półgrup.

Półgrupa bez elementów jest półgrupą odwrotną , ponieważ warunek konieczny jest spełniony próżniowo.

Zobacz też