Półgrupa z trzema elementami

W algebrze abstrakcyjnej półgrupa zdefiniowanej z trzema elementami jest obiektem składającym się z trzech elementów i na nich operacji asocjacyjnej . Podstawowym przykładem byłyby trzy liczby całkowite 0, 1 i −1 wraz z operacją mnożenia. Mnożenie liczb całkowitych jest asocjacyjne, a iloczyn dowolnych dwóch z tych trzech liczb całkowitych jest ponownie jedną z tych trzech liczb całkowitych.

Istnieje 18 nierównoważnych sposobów zdefiniowania operacji asocjacyjnej na trzech elementach: podczas gdy w sumie można zdefiniować 3 9 = 19683 różnych operacji binarnych, tylko 113 z nich jest asocjacyjnych, a wiele z nich jest izomorficznych lub antyizomorficznych tak, że zasadniczo jest tylko 18 możliwości.

Jednym z nich jest C3 , cykliczna grupa z trzema elementami. Wszystkie pozostałe mają półgrupę z dwoma elementami jako podgrupami . W powyższym przykładzie zbiór {−1,0,1} podlegający mnożeniu zawiera zarówno {0,1}, jak i {−1,1} jako podgrupy (ta ostatnia jest podgrupą C 2 ) .

Sześć z nich to bands , co oznacza, że ​​wszystkie trzy elementy są idempotentne , więc iloczyn dowolnego elementu z samym sobą jest znowu sobą. Dwa z tych pasm są przemienne , a więc półkraty (jeden z nich to trójelementowy zbiór całkowicie uporządkowany, a drugi to trzyelementowa półkrata, która nie jest kratą). Pozostałe cztery występują w parach antyizomorficznych.

Jeden z tych nieprzemiennych prążków wynika z przyłączenia elementu tożsamościowego do LO 2 , lewej półgrupy zerowej z dwoma elementami (lub dualnie do RO 2 , prawej półgrupy zerowej ). Czasami nazywany jest monoidem typu flip-flop , odnosząc się do obwodów typu flip-flop stosowanych w elektronice: trzy elementy można opisać jako „ustawiony”, „zresetowany” i „nic nie robić”. Ta półgrupa występuje w dekompozycji Krohna-Rhodesa skończonych półgrup. Nieredukowalnymi elementami w tym rozkładzie są skończone grupy proste plus ta trzyelementowa półgrupa i jej podgrupy.

Istnieją dwie cykliczne półgrupy , jedna opisana równaniem x 4 = x 3 , która zawiera O 2 , półgrupę zerową z dwoma elementami, jako podgrupę. Druga jest opisana przez x 4 = x 2 i ma C 2 , grupę z dwoma elementami, jako podgrupę. (Równanie x 4 = x opisuje C 3 , grupę z trzema elementami, o której już wspomniano.)

Istnieje siedem innych niecyklicznych niepasmowych półgrup przemiennych, w tym początkowy przykład {−1, 0, 1} i O 3 , półgrupa zerowa z trzema elementami. Istnieją również dwie inne antyizomorficzne pary nieprzemiennych półgrup niepasmowych.

Lista półgrup z trzema elementami (z dokładnością do izomorfizmu) z tablicami Cayleya dla działania półgrup

1. Grupa cykliczna (C 3 )

X y z
X   X    y    z 
y   y    z    X 
z   z    X    y 

2. Półgrupa monogeniczna (indeks 2, okres 2)

X y z
X   y    z    y 
y   z    y    z 
z   y    z    y 

Podgrupa: {y,z} ≈ C 2

3. Aperiodyczna półgrupa monogeniczna (indeks 3)

X y z
X   y    z    z 
y   z    z    z 
z   z    z    z 

Podgrupa: {y,z} ≈ O 2

4. Monoid przemienny ({−1,0,1} podczas mnożenia)

X y z
X   z    y    X 
y   y    y    y 
z   X    y    z 

Podgrupy: {x,z} ≈ C 2 . {y, z} ≈ CH 2

5. Monoid przemienny

X y z
X   z    X    X 
y   X    y    z 
z   X    z    z 

Podgrupy: {x,z} ≈ C 2 . {y, z} ≈ CH 2

6. Półgrupa przemienna

X y z
X   z    X    X 
y   X    z    z 
z   X    z    z 

Podgrupy: {x,z} ≈ C 2 . {y, z} ≈ O 2

7. Półgrupa zerowa (O 3 )

X y z
X   z    z    z 
y   z    z    z 
z   z    z    z 

Podgrupy: {x,z} ≈ {y,z} ≈ O 2

8. Półgrupa przemienna aperiodyczna

X y z
X   z    z    z 
y   z    y    z 
z   z    z    z 

Podgrupy: {x,z} ≈ O 2 . {y, z} ≈ CH 2

9. Przemienna półgrupa aperiodyczna

X y z
X   z    y    z 
y   y    y    y 
z   z    y    z 

Podgrupy: {x,z} ≈ O 2 . {y, z} ≈ CH 2

10. Przemienna monoida aperiodyczna

X y z
X   z    X    z 
y   X    y    z 
z   z    z    z 

Podgrupy: {x,z} ≈ O 2 . {y, z} ≈ CH 2

11A. półgrupa aperiodyczna

X y z
X   z    z    z 
y   y    y    y 
z   z    z    z 

Podgrupy: {x,z} ≈ O 2 , {y,z} ≈ LO 2

11B. jego przeciwieństwo

X y z
X   z    y    z 
y   z    y    z 
z   z    y    z 

12A. półgrupa aperiodyczna

X y z
X   z    z    z 
y   X    y    z 
z   z    z    z 

Podgrupy: {x,z} ≈ O 2 , {y,z} ≈ CH 2

12B. jest przeciwnie

X y z
X   z    X    z 
y   z    y    z 
z   z    z    z 

13. Semilattice ( łańcuszek )

X y z
X   X    y    z 
y   y    y    z 
z   z    z    z 

Podgrupy: {x,y} ≈ {x,z} ≈ {y,z} ≈ CH 2

14. Semilattica

X y z
X   X    z    z 
y   z    y    z 
z   z    z    z 

Podgrupy: {x,z} ≈ {y,z} ≈ CH 2

15A. idempotentna półgrupa

X y z
X   X    X    X 
y   y    y    y 
z   X    X    z 

Podgrupy: {x,y} ≈ LO 2 , {x,z} ≈ CH 2

15B. jest przeciwnie

X y z
X   X    y    X 
y   X    y    X 
z   X    y    z 

16A. idempotentna półgrupa

X y z
X   X    X    z 
y   y    y    z 
z   z    z    z 

Podgrupy: {x,y} ≈ LO 2 , {x,z} ≈ {y,z} ≈ CH 2

16B. jest przeciwnie

X y z
X   X    y    z 
y   X    y    z 
z   z    z    z 

17A. lewa półgrupa zerowa (LO 3 )

X y z
X   X    X    X 
y   y    y    y 
z   z    z    z 

Podgrupy: {x,y} ≈ {x,z} ≈ {y,z} ≈ LO 2

17B. jego przeciwieństwo (RO 3 )

X y z
X   X    y    z 
y   X    y    z 
z   X    y    z 

18A. półgrupa idempotentna (monoida lewego przerzutnika)

X y z
X   X    X    X 
y   y    y    y 
z   X    y    z 

Podgrupy: {x,y} ≈ LO 2 , {x,z} ≈ {y,z} ≈ CH 2

18B. jego przeciwieństwo (prawa monoida typu flip-flop)

X y z
X   X    y    X 
y   X    y    y 
z   X    y    z 

Indeks dwóch podgrup elementów : C2 : grupa cykliczna, O2 : półgrupa zerowa, CH2 : półgrupa (łańcuch), LO2 / RO2 : półgrupa zerowa lewa/prawa.

Zobacz też

Pobrano z „ https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Semigroup_with_three_elements&oldid=1119497859 ”