Antyizomorfizm

W teorii kategorii , gałęzi matematyki , antyizomorfizm (lub antyizomorfizm ) między zbiorami strukturalnymi A i B jest izomorfizmem od A do przeciwieństwa B (lub równoważnie od przeciwieństwa A do B ). Jeśli istnieje antyizomorfizm między dwiema strukturami, mówi się, że są one antyizomorficzne.

Intuicyjnie, stwierdzenie, że dwie struktury matematyczne są antyizomorficzne , oznacza stwierdzenie, że są one zasadniczo swoimi przeciwieństwami.

Pojęcie to jest szczególnie przydatne w kontekście algebraicznym, na przykład w zastosowaniu do pierścieni .

Prosty przykład

Niech A będzie relacją binarną (lub wykresem skierowanym ) składającą się z elementów {1,2,3} i relacji binarnej $w$ następujący sposób:

• ${\ Displaystyle 1 \ rightarrow 2,}$
• ${\ Displaystyle 1 \ rightarrow 3,}$
• ${\ Displaystyle 2 \ rightarrow 1.}$

Niech B będzie zbiorem relacji binarnych składającym się z $i$ relacji binarnej zdefiniowanej w następujący sposób :

• ${\ Displaystyle b \ Strzałka w prawo a,}$
• ${\ Displaystyle c \ Strzałka w prawo a,}$
• ${\ Displaystyle a \ Strzałka w prawo b.}$

Zauważ, że przeciwieństwo B (oznaczone B ^op ) to ten sam zestaw elementów z przeciwną relacją binarną $\ Displaystyle \ Leftarrow }$ to znaczy odwróć wszystkie łuki skierowanego wykresu): ⇐ {

• ${\ Displaystyle b \ Lefttarrow a,}$
• ${\ Displaystyle c \ Lefttarrow a,}$
• ${\ Displaystyle a \ Strzałka w lewo b.}$

Jeśli zamienimy a , b i c odpowiednio na 1, 2 i 3, zobaczymy, że każda reguła w B ^op jest taka sama jak jakaś reguła w A . Oznacza to, że możemy zdefiniować izomorfizm od A do B ^op przez $($${\ Displaystyle \ phi (1$ . ${\ displaystyle \ phi}$ jest zatem antyizomorfizmem między A i B.

Antyizomorfizmy pierścieni

Specjalizując ogólny język teorii kategorii w algebraicznym temacie pierścieni, mamy: Niech R i S będą pierścieniami, a f : R → S będzie bijekcją . Wtedy f jest antyizomorfizmem pierścienia, jeśli

${\ Displaystyle f (x + _ {R} y) = f (x) + _ {S} f (y) \ \ \ {\ tekst {i}} \ \ \ f (x \ cdot _ {R} y )=f(y)\cdot _{S}f(x)\ \ \ {\text{dla wszystkich}}x,y\w R.}$

Jeśli R = S , to f jest antyautomorfizmem pierścienia .

Przykład anty-automorfizmu pierścienia podaje sprzężone mapowanie kwaternionów :

${\ Displaystyle x_ {0} + x_ {1} \ mathbf {i} + x_ {2} \ mathbf {j} + x_ {3} \ mathbf {k} \ \ \ mapsto \ \ x_ {0} -x_ { 1}\mathbf {i} -x_{2}\mathbf {j} -x_{3}\mathbf {k} .}$

Notatki

•   Baer, ​​Reinhold (2005) [1952], Algebra liniowa i geometria rzutowa , Dover, ISBN 0-486-44565-8
•   Jacobson, Nathan (1948), Teoria pierścieni , Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, ISBN 0-8218-1502-4
•   Pareigis, Bodo (1970), Kategorie i funktory , Academic Press, ISBN 0-12-545150-4