Specjalne klasy półgrup

W matematyce półgrupa jest zbiorem niepustym wraz z asocjacyjną operacją binarną . Specjalna klasa półgrup to klasa półgrup spełniających dodatkowe właściwości lub warunki. Zatem klasa przemiennych składa się ze wszystkich tych półgrup, w których operacja binarna spełnia właściwość przemienności, że ab = ba dla wszystkich elementów a i b w półgrupie. Klasa skończonych półgrup składa się z tych półgrup, dla których podstawowy zbiór ma skończoną liczność . Członkowie klasy półgrup Brandta muszą spełniać nie tylko jeden warunek, ale zestaw dodatkowych właściwości. Zdefiniowano duży zbiór specjalnych klas półgrup, chociaż nie wszystkie z nich były badane równie intensywnie.

W algebraicznej teorii półgrup przy konstruowaniu klas specjalnych uwaga skupia się tylko na tych właściwościach, ograniczeniach i warunkach, które można wyrazić za pomocą operacji binarnych w półgrupach, a czasami na liczności i podobnych właściwościach podzbiorów zbioru podstawowego . Zakłada się, że podstawowe zestawy nie zawierają żadnych innych struktur matematycznych, takich jak porządek czy topologia .

Jak w każdej teorii algebraicznej, jednym z głównych problemów teorii półgrup jest klasyfikacja wszystkich półgrup i pełny opis ich struktury. W przypadku półgrup, ponieważ operacja binarna jest wymagana tylko do spełnienia właściwości asocjatywności, problem klasyfikacji jest uważany za niezwykle trudny. Uzyskano opisy struktur dla pewnych specjalnych klas półgrup. Na przykład struktura zbiorów idempotentów regularnych półgrup jest całkowicie znana. Opisy struktur przedstawiono w kategoriach lepiej znanych typów półgrup. Najbardziej znanym typem półgrupy jest tzw grupa .

Poniżej przedstawiono (z konieczności niepełną) listę różnych specjalnych klas półgrup. W miarę możliwości właściwości definiujące są formułowane w kategoriach operacji binarnych w półgrupach. Odwołania wskazują miejsca, z których pochodzą właściwości definiujące.

Notacje

Przy opisywaniu właściwości definiujących różne specjalne klasy półgrup przyjmuje się następujące konwencje notacji.

Notacje

Notacja	Oznaczający
S	Dowolna półgrupa
mi	Zestaw idempotentów w S
G	Grupa jednostek w S
I	Minimalny ideał S
V	Regularne elementy S
X	Dowolny zestaw
a , b , c	Dowolne elementy S
x , y , z	Konkretne elementy S
e , fa , g	Dowolne elementy E
H	Specyficzny element E
l , m , rz	Dowolne dodatnie liczby całkowite
j , k	Konkretne dodatnie liczby całkowite
v , w	Dowolne elementy V
0	Element zerowy S
1	Element tożsamości S
S 1	S jeśli 1 ∈ S ; S ∪ { 1 } jeśli 1 ∉ S
a ≤ L b a ≤ R b a ≤ H b a ≤ J b	S 1 a ⊆ S 1 b aS 1 ⊆ bS 1 S 1 a ⊆ S 1 b i aS 1 ⊆ bS 1 S 1 aS 1 ⊆ S 1 bS 1
L , R , H , D , J	Relacje Greena
La , Ra , Ha , Da , Ja _ _ _ _ _	Klasy zielone zawierające a
${\ Displaystyle x ^ {\ omega}}$	Jedyna potęga x , która jest idempotentna. Ten element istnieje, zakładając, że półgrupa jest (lokalnie) skończona. Zobacz różne skończone półgrupy, aby uzyskać więcej informacji na temat tej notacji.
${\ Displaystyle | X |}$	Liczność X , przy założeniu, że X jest skończony.

Na przykład definicję xab = xba należy czytać jako:

• Istnieje x taki element półgrupy, że dla każdego a i b w półgrupie xab i xba są równe.

Lista specjalnych klas półgrup

Trzecia kolumna określa, czy ten zestaw półgrup tworzy rozmaitość . I czy zbiór skończonych półgrup tej specjalnej klasy tworzy różne skończone półgrupy . Zauważ, że jeśli ten zbiór jest rozmaitością, to jego zbiór elementów skończonych jest automatycznie rozmaitością półgrup skończonych.

Lista specjalnych klas półgrup

Terminologia	Definiowanie właściwości	Różnorodność skończonej półgrupy	Bibliografia)
Skończona półgrupa	S jest skończonym zbiorem .	Nie nieskończony Skończone
Pusta półgrupa	S = ${\ Displaystyle \ pusty zbiór}$	NIE
Trywialna półgrupa	Liczność S wynosi 1.	Nieskończony Skończone
monoid	1 ∈ S	NIE	Gril str. 3
Zespół (półgrupa idempotentna)	za 2 = za	Nieskończony Skończone	C&P str. 4
Pasek prostokątny	Zespół taki, że abca = acba	Nieskończony Skończone	Fennemore'a
Semikrata	Pasmo przemienne, czyli: za 2 = za ab = ba	Nieskończony Skończone	C&P str. 24 Fennemore'a
Półgrupa przemienna	ab = ba	Nieskończony Skończone	C&P str. 3
Półgrupa przemienna Archimedesa	ab = ba Istnieje x i k takie, że a k = xb .		C&P str. 131
Nigdzie przemienna półgrupa	ab = ba ⇒ a = b		C&P str. 26
Lewa słabo przemienna	Istnieją x i k takie, że ( ab ) k = bx .		Nagy str. 59
Prawo słabo przemienne	Istnieją x i k takie, że ( ab ) k = xa .		Nagy str. 59
Słabo przemienny	Lewa i prawa słabo przemienna. To jest: Istnieją x i j takie, że ( ab ) j = bx . Istnieją y i k takie, że ( ab ) k = ya .		Nagy str. 59
Warunkowo przemienna półgrupa	Jeśli ab = ba, to axb = bxa dla wszystkich x .		Nagy str. 77
R -półgrupa przemienna	ab R ba		Nagy str. 69–71
RC -półgrupa przemienna	R -przemienne i warunkowo przemienne		Nagy str. 93–107
L -półgrupa przemienna	ab L ba		Nagy str. 69–71
LC -półgrupa przemienna	L - przemienne i warunkowo przemienne		Nagy str. 93–107
H -półgrupa przemienna	ab H ba		Nagy str. 69–71
Półgrupa quasi-przemienna	ab = ( ba ) k dla pewnego k .		Nagy str. 109
Prawa półgrupa przemienna	xab = xba		Nagy str. 137
Lewa półgrupa przemienna	abx = bak		Nagy str. 137
Zewnętrznie przemienna półgrupa	axb = bxa		Nagy str. 175
Półgrupa medialna	xaby = xbay		Nagy str. 119
E- k półgrupa ( k stała)	( ab ) k = za k b k	Nieskończony Skończone	Nagy str. 183
Półgrupa wykładnicza	( ab ) m = za m b m dla wszystkich m	Nieskończony Skończone	Nagy str. 183
WE- k półgrupa ( k stała)	Istnieje dodatnia liczba całkowita j zależna od pary (a,b) taka, że ​​( ab ) k + j = a k b k ( ab ) j = ( ab ) j a k b k		Nagy str. 199
Słabo wykładnicza półgrupa	WE- m dla wszystkich m		Nagy str. 215
Prawa półgrupa znosząca	ba = ca ⇒ b = do		C&P str. 3
Lewa półgrupa znosząca	ab = ac ⇒ b = do		C&P str. 3
Półgrupa anulująca	Czyli lewa i prawa półgrupa znosząca ab = ac ⇒ b = do ba = ca ⇒ b = do		C&P str. 3
„E”-odwrotna półgrupa ( E -gęsta półgrupa)	Istnieje x takie, że ax ∈ E .		C&P str. 98
Regularna półgrupa	Istnieje x takie, że axa = a .		C&P str. 26
Regularny zespół	Zespół taki, że abaca = abca	Nieskończony Skończone	Fennemore'a
Półgrupa wewnątrzregularna	Istnieją x i y takie, że xa 2 y = a .		C&P str. 121
Lewa regularna półgrupa	Istnieje x takie, że xa 2 = a .		C&P str. 121
Lewy regularny zespół	Pasmo takie, że aba = ab	Nieskończony Skończone	Fennemore'a
Prawa regularna półgrupa	Istnieje x takie, że a 2 x = a .		C&P str. 121
Prawy regularny zespół	Zespół taki, że aba = ba	Nieskończony Skończone	Fennemore'a
Całkowicie regularna półgrupa	H a to grupa.		Gril str. 75
(odwrotna) półgrupa Clifforda	Zwykła półgrupa, w której wszystkie idempotenty są centralne. Równoważnie dla skończonej półgrupy: ${\ Displaystyle a ^ {\ omega} b = ba ^ {\ omega}}$	Skończone	Petrich str. 65
k -regularna półgrupa ( k stała)	Istnieje x takie, że a k xa k = a k .		Hari
Ostatecznie regularna półgrupa (π-regularna półgrupa, quasi regularna półgrupa)	Istnieje k i x (zależne od a ) takie, że a k xa k = a k .		Edwa Shum Higg p. 49
Półgrupa quasi-okresowa, epigrupa , półgrupa związana z grupą, całkowicie (lub silnie) półgrupa regularna π i wiele innych; zobacz Kela, aby zobaczyć listę)	Istnieje k (zależne od a ) takie, że k należy do podgrupy S		Kela Gril p. 110 Higg str. 4
Prymitywna półgrupa	0 Jeśli ≠ mi i fa = ef = fe, to mi = fa .		C&P str. 26
Jednostka regularna półgrupa	Istnieje u w G takie, że aua = a .		Tvm
Silnie jednostkowa regularna półgrupa	Istnieje u w G takie, że aua = a . mi re fa ⇒ fa = v -1 ev dla pewnego v w G .		Tvm
Półgrupa prawosławna	Istnieje x takie, że axa = a . E jest podpółgrupą S .		Gril str. 57 Howi str. 226
Odwrotna półgrupa	Istnieje unikalne x takie, że axa = a i xax = x .		C&P str. 28
Lewa odwrotna półgrupa ( R -unipotent)	Ra zawiera unikalny h .		Gril str. 382
Prawa odwrotna półgrupa ( L -unipotent)	La zawiera unikalny h .		Gril str. 382
Lokalnie odwrotna półgrupa (pseudoodwrotna półgrupa)	Istnieje x takie, że axa = a . E jest pseudosemilatyką.		Gril str. 352
M -półgrupa odwrotna	Istnieją x i y takie, że baxc = bc i byac = bc .		C&P str. 98
Obfita półgrupa	Klasy L * a i R * a , gdzie a L * b if ac = ad ⇔ bc = bd i a R * b if ca = da ⇔ cb = db , zawierają idempotenty.		Chen
Rpp-półgrupa (prawa główna półgrupa rzutowa)	Klasa L * a , gdzie a L * b if ac = ad ⇔ bc = bd , zawiera co najmniej jeden idempotent.		Szum
Lpp-semigroup (lewa główna półgrupa rzutowa)	Klasa R * a , gdzie a R * b if ca = da ⇔ cb = db , zawiera co najmniej jeden idempotent.		Szum
Półgrupa zerowa ( Półgrupa zerowa )	0 ∈ S ab = 0 Równoważnie ab = cd	Nieskończony Skończone	C&P str. 4
Lewa półgrupa zerowa	ab = a	Nieskończony Skończone	C&P str. 4
Lewe pasmo zerowe	Lewa zerowa półgrupa, która jest zespołem. To jest: ab = a aa = a	Nieskończony Skończone	Fennemore'a
Opuścić grupę	Półgrupa, która jest lewostronnie prosta i prawostronnie znosząca. Bezpośredni iloczyn lewej półgrupy zerowej i grupy abelowej.		C&P str. 37, 38
Prawa półgrupa zerowa	ab = b	Nieskończony Skończone	C&P str. 4
Prawe pasmo zerowe	Prawa półgrupa zerowa, która jest wstęgą. To jest: ab = b aa = a	Nieskończony Skończone	Fennemore'a
Właściwa grupa	Półgrupa, która jest prawostronnie prosta i lewostronnie znosząca. Bezpośredni iloczyn prawej półgrupy zerowej i grupy.		C&P str. 37, 38
Prawa grupa abelowa	Właściwa prosta i warunkowo przemienna półgrupa. Bezpośredni iloczyn prawej półgrupy zerowej i grupy abelowej.		Nagy str. 87
Półgrupa unipotentna	E jest singletonem.	Nieskończony Skończone	C&P str. 21
Lewa półgrupa redukcyjna	Jeśli xa = xb dla wszystkich x to a = b .		C&P str. 9
Prawa półgrupa redukcyjna	Jeśli ax = bx dla wszystkich x to a = b .		C&P str. 4
Półgrupa redukcyjna	Jeśli xa = xb dla wszystkich x to a = b . Jeśli ax = bx dla wszystkich x to a = b .		C&P str. 4
Oddzielna półgrupa	ab = za 2 = b 2 ⇒ za = b		C&P str. 130–131
Odwracalna półgrupa	Sa ∩ Sb ≠ Ø aS ∩ bS ≠ Ø		C&P str. 34
Prawa odwracalna półgrupa	Sa ∩ Sb ≠ Ø		C&P str. 34
Lewa odwracalna półgrupa	aS ∩ bS ≠ Ø		C&P str. 34
Półgrupa aperiodyczna	Istnieje k (zależne od a ) takie, że a k = a k+1 Równoważnie dla skończonej półgrupy: dla każdej za , $\ Displaystyle a ^ {\ omega} a = a ^ {\ omega}}$ .		KKM str. 29 Przypnij str. 158
półgrupa ω	E jest policzalnym malejącym łańcuchem pod rządem a ≤ H b		Gril str. 233–238
Lewa półgrupa Clifford (półgrupa LC)	aS ⊆ Sa		Szum
Półgrupa Right Clifford (półgrupa RC)	Sa ⊆ aS		Szum
Ortogrupa	H a to grupa. E jest podgrupą S		Szum
Kompletna półgrupa przemienna	ab = ba a k należy do podgrupy S dla pewnego k . Każdy niepusty podzbiór E ma infimum.		Gril str. 110
Nilsemigroup (półgrupa Nilpotent)	0 ∈ S a k = 0 dla pewnej liczby całkowitej k , która zależy od a . Równoważnie dla skończonej półgrupy: dla każdego elementu x i y , ${\ Displaystyle yx ^ {\ omega} = x ^ {\ omega} = x ^ {\ omega} y}$ .	Skończone	Gril str. 99 Przypnij str. 148
Półgrupa podstawowa	ab = ba S ma postać G ∪ N gdzie G jest grupą, a 1 ∈ G N jest ideałem, nilsemigrupą i 0 ∈ N		Gril str. 111
E -jednolita półgrupa	Istnieje unikalne x takie, że axa = a i xax = x . ea = mi ⇒ za ∈ mi		Gril str. 245
Skończenie przedstawiona półgrupa	S ma prezentację ( X ; R ), w której X i R są skończone.		Gril str. 134
Podstawowa półgrupa	Równość na S jest jedyną kongruencją zawartą w H .		Gril str. 88
Półgrupa generowana idempotentnie	S jest równe półgrupie generowanej przez E .		Gril str. 328
Lokalnie skończona półgrupa	Każda skończenie generowana podpółgrupa S jest skończona.	Nie nieskończony Skończone	Gril str. 161
N -półgrupa	ab = ba Istnieje x i dodatnia liczba całkowita n taka, że ​​a = xb n . topór = ay ⇒ x = y xa = ya ⇒ x = y E = Ø		Gril str. 100
L - półgrupa unipotentna (prawa półgrupa odwrotna)	La zawiera unikalny e .		Gril str. 362
R - półgrupa unipotentna (Lewa półgrupa odwrotna)	Ra zawiera unikalny e .		Gril str. 362
Lewa prosta półgrupa	La = S _		Gril str. 57
Prawa prosta półgrupa	Ra = S _		Gril str. 57
Półgrupa podelementarna	ab = ba S = C ∪ N , gdzie C jest półgrupą znoszącą, N jest półgrupą nilsemi lub półgrupą jednoelementową. N jest ideałem S . Zero z N to 0 z S . Dla x , y w S i c w C , cx = cy implikuje, że x = y .		Gril str. 134
Półgrupa symetryczna ( półgrupa pełnej transformacji )	Zestaw wszystkich odwzorowań X na siebie ze złożeniem odwzorowań jako operacja binarna.		C&P str. 2
Słabo redukcyjna półgrupa	Jeśli xz = yz i zx = zy dla wszystkich z w S , to x = y .		C&P str. 11
Prawa jednoznaczna półgrupa	Jeżeli x , y ≥ Rz to x ≥ Ry y lub y ≥ Rx . _ _		Gril str. 170
Lewa jednoznaczna półgrupa	Jeżeli x , y ≥ L z to x ≥ L y lub y ≥ L x .		Gril str. 170
Jednoznaczna półgrupa	Jeżeli x , y ≥ Rz to x ≥ Ry y lub y ≥ Rx . _ _ Jeżeli x , y ≥ L z to x ≥ L y lub y ≥ L x .		Gril str. 170
Lewa 0-jednoznaczna	0∈ S 0 ≠ x ≤ L y , z ⇒ y ≤ L z lub z ≤ L y		Gril str. 178
Prawo 0-jednoznaczne	0∈ S 0 ≠ x ≤ Ry y , z ⇒ y ≤ L z lub z ≤ Ry y		Gril str. 178
0-jednoznaczna półgrupa	0∈ S 0 ≠ x ≤ L y , z ⇒ y ≤ L z lub z ≤ L y 0 ≠ x ≤ Ry y , z ⇒ y ≤ L z lub z ≤ Ry y		Gril str. 178
Lewa półgrupa Putcha	za ∈ bS 1 ⇒ za n ∈ b 2 S 1 dla pewnego n .		Nagy str. 35
Prawy półgrupa Putcha	za ∈ S 1 b ⇒ za n ∈ S 1 b 2 dla pewnego n .		Nagy str. 35
Półgrupa Putcha	a ∈ S 1 b S 1 ⇒ a n ∈ S 1 b 2 S 1 dla pewnej dodatniej liczby całkowitej n		Nagy str. 35
Biprosta półgrupa ( D -prosta półgrupa)	Da = S _		C&P str. 49
0-bisprosta półgrupa	0 ∈ S S - {0} to klasa D z S .		C&P str. 76
Całkowicie prosta półgrupa	Nie istnieje A ⊆ S , A ≠ S takie, że SA ⊆ A i AS ⊆ A . Istnieje h w E takie, że ilekroć hf = f i fh = f mamy h = f .		C&P str. 76
Całkowicie 0-prosta półgrupa	0 ∈ S S 2 ≠ 0 Jeśli A ⊆ S jest takie, że AS ⊆ A i SA ⊆ A to A = 0 lub A = S . Istnieje niezerowe h w E takie, że ilekroć hf = f , fh = f i f ≠ 0 mamy h = f .		C&P str. 76
D - półgrupa prosta (półgrupa Bisimple)	Da = S _		C&P str. 49
Półprosta półgrupa	Niech jot ( za ) = S 1 zaS 1 , ja ( za ) = jot ( za ) - ja za . Każda półgrupa czynników Reesa J ( a )/ I ( a ) jest 0-prosta lub prosta.		C&P str. 71–75
${\ Displaystyle \ mathbf {CS}}$ : Prosta półgrupa	ja _ = S . (Nie istnieje A ⊆ S , A ≠ S takie, że SA ⊆ A i AS ⊆ A .), równoważnie dla skończonej półgrupy: ${\ Displaystyle a ^ {\ omega} a = a}$ i ${\ Displaystyle (aba) ^ {\ omega} = a ^ {\ omega }}$ .	Skończone	C&P str. 5 Higg p. 16 Szpilki s. 151, 158
0-prosta półgrupa	0 ∈ S S 2 ≠ 0 Jeśli A ⊆ S jest takie, że AS ⊆ A i SA ⊆ A , to A = 0.		C&P str. 67
Lewa 0-prosta półgrupa	0 ∈ S S 2 ≠ 0 Jeśli A ⊆ S jest takie, że SA ⊆ A , to A = 0.		C&P str. 67
Prawa 0-prosta półgrupa	0 ∈ S S 2 ≠ 0 Jeśli A ⊆ S jest takie, że AS ⊆ A to A = 0.		C&P str. 67
Cykliczna półgrupa ( monogeniczna półgrupa )	S = { w , w 2 , w 3 , ... } dla pewnego w w S	Nie nieskończony Nie skończone	C&P str. 19
Okresowa półgrupa	{ a , a 2 , a 3 , ... } jest zbiorem skończonym.	Nie nieskończony Skończone	C&P str. 20
Półgrupa bicykliczna	1 ∈ S S dopuszcza prezentację ${\ Displaystyle \ langle x, y \ mid xy = 1 \ rangle}$ .		C&P str. 43–46
Półgrupa pełnej transformacji T X (półgrupa symetryczna)	Zestaw wszystkich odwzorowań X na siebie ze złożeniem odwzorowań jako operacja binarna .		C&P str. 2
Pasek prostokątny	Pasmo takie, że aba = a Równoważnie abc = ac	Nieskończony Skończone	Fennemore'a
Półgrupa prostokątna	Ilekroć trzy z ax , ay , bx , by są równe, wszystkie cztery są równe.		C&P str. 97
Symetryczna odwrotna półgrupa I X	Półgrupa przekształceń cząstkowych jeden do jednego X .		C&P str. 29
Półgrupa Brandta	0 ∈ S ( ac = bc ≠ 0 lub ca = cb ≠ 0 ) ⇒ za = b ( ab ≠ 0 i bc ≠ 0 ) ⇒ abc ≠ 0 Jeśli a ≠ 0 istnieją unikalne x , y , z , takie że xa = a , ay = a , za = y . ( mi ≠ 0 i fa ≠ 0 ) ⇒ eSf ≠ 0.		C&P str. 101
Dowolna półgrupa F X	Zbiór skończonych ciągów elementów X z działaniem ( x 1 , ..., x m ) ( y 1 , ..., y n ) = ( x 1 , ..., x m , y 1 , .. ., y n )		Gril str. 18
Półgrupa macierzowa Reesa	0 G grupa G z dołączonym 0. 0 P : Λ × I → G mapa. 0 Zdefiniuj operację w I × G × Λ przez ( ja , g , λ ) ( j , h , μ ) = ( ja , g P ( λ, j ) h , μ ). 000 ( ja , G , Λ )/( ja × { 0 } × Λ ) jest półgrupą macierzy Reesa M ( G ; ja , Λ ; P ).		C&P s. 88
Półgrupa przekształceń liniowych	Półgrupa przekształceń liniowych przestrzeni wektorowej V nad ciałem F przy złożeniu funkcji .		C&P s. 57
Półgrupa relacji binarnych B X	Zbiór wszystkich relacji binarnych na X w składzie		C&P s. 13
Półgrupa numeryczna	0 ∈ S ⊆ N = { 0,1,2, ... } pod + . N - S jest skończony		Delg
Półgrupa z inwolucją (*-półgrupa)	Istnieje jednoargumentowa operacja a → a * w S taka, że ​​a ** = a i ( ab )* = b * a *.		Jak ja
Półgrupa Baera – Leviego	Półgrupa przekształceń jeden do jednego f od X takich, że X - f ( X ) jest nieskończony.		C&P II Ch.8
U -półgrupa	Istnieje jednoargumentowa operacja a → a ' w S taka, że ​​( a ')' = a .		Howi s. 102
I -półgrupa	Istnieje jednoargumentowa operacja a → a ' w S taka, że ​​( a ')' = a i aa ' a = a .		Howi s. 102
Półpasmo	Zwykła półgrupa generowana przez jej idempotenty.		Howi s. 230
Grupa	Istnieje h takie, że dla każdego a ah = ha = a . Istnieje x (zależne od a ) takie, że ax = xa = h .	Nie nieskończony Skończone
Półgrupa topologiczna	Półgrupa będąca jednocześnie przestrzenią topologiczną. Takie, że iloczyn półgrupy jest ciągły.	Nie dotyczy	Przypnij str. 130
Półgrupa składniowa	Najmniejszy skończony monoid, który może rozpoznać podzbiór innej półgrupy.		Przypnij str. 14
${\ Displaystyle \ mathbf {R}}$ : R -trywialne monoidy	R - trywialne. Oznacza to, że każda R jest trywialna. Równoważnie dla skończonej półgrupy: ${\ Displaystyle (ab) ^ {\ omega} a = (ab) ^ {\ omega}}$ .	Skończone	Przypnij str. 158
${\ Displaystyle \ mathbf {L}}$ : L -trywialne monoidy	L - trywialne. Oznacza to, że każda L -równoważności jest trywialna. Równoważnie dla skończonych monoidów ${\ Displaystyle b (ab) ^ {\ omega} = (ab) ^ {\ omega}}$ .	Skończone	Przypnij str. 158
${\ Displaystyle \ mathbf {J}}$ : J -trywialne monoidy	Monoidy, które są J -trywialne. Oznacza to, że każda J -równoważności jest trywialna. Równoważnie, monoidy, które są L - trywialne i R - ciekawostki.	Skończone	Przypnij str. 158
${\ Displaystyle \ mathbf {R_ {1}}}$ : idempotentne i R -trywialne monoidy	R - trywialne. Oznacza to, że każda R jest trywialna. Równoważnie dla skończonych monoidów: aba = ab .	Skończone	Przypnij str. 158
${\ Displaystyle \ mathbf {L_ {1}}}$ : idempotentne i L -trywialne monoidy	L - trywialne. Oznacza to, że każda L -równoważności jest trywialna. Równoważnie dla skończonych monoidów: aba = ba .	Skończone	Przypnij str. 158
${\ Displaystyle \ mathbb {D} \ mathbf {S}}$ : półgrupa, której regularne D to półgrupa	Równoważnie dla skończonych monoidów: ${\ Displaystyle (a ^ {\ omega} a ^ {\ omega} a ^ {\ omega}) ^ {\ omega} = a ^ { \omega }}$ . Równoważnie regularne klasy H to grupy, Równoważnie, v ≤ J a implikuje v R va i v La śr Równoważnie dla każdego idempotentu e , zbiór a taki, że e ≤ Ja jest domknięty pod iloczynem (tzn . ten zbiór jest podgrupą) Równoważnie, nie istnieje idempotent e i f taki, że e J f , ale nie ef Je Równoważnie monoid nie dzieli ${\ Displaystyle S \ razy S}$$Displaystyle B_ {2} ^ {1} }$	Skończone	Pin s. 154, 155, 158
${\ Displaystyle \ mathbb {D} \ mathbf {A}}$ : półgrupa, której regularne D to aperiodyczna półgrupa	Każda regularna klasa D jest aperiodyczną półgrupą Równoważnie, każda zwykła klasa D jest prostokątnym paskiem Równoważnie, regularna klasa D jest półgrupą, a ponadto S jest aperiodyczna Równoważnie, dla skończonej monoidy: regularna klasa D to półgrupa, a ponadto $\ Displaystyle aa ^ {\ omega} = a ^ {\ omega}}$ Równoważnie , e ≤ Ja implikuje eae = e Równoważnie, e ≤ J f implikuje efe = e .	Skończone	Przypnij str. 156, 158
${\ Displaystyle \ ell \ mathbf {1}}$ / ${\ Displaystyle \ mathbf {K}}$ : Lewacka trywialna półgrupa	mi : e S = mi , Równoważnie, I jest lewą półgrupą zerową równą E , Równoważnie dla skończonej półgrupy: I jest lewą zerową półgrupą równą ${\ Displaystyle S ^ {| S |}}$ , Równoważnie dla skończonej półgrupy: $\ Displaystyle a_ {1} \ kropki a_ {n} y = a_ {1} \ kropki a_ {n}$ } Równoważnie dla skończonej półgrupy: $\ omega}}$ {	Skończone	Pin s. 149, 158
${\ Displaystyle \ mathbf {r1}}$ / ${\ Displaystyle \ mathbf {D}}$ : prawa trywialna półgrupa	mi : Se = mi , Równoważnie, I jest prawą półgrupą zerową równą E , Równoważnie dla skończonej półgrupy: I jest prawą półgrupą zerową równa się ${\ Displaystyle S ^ {| S |}}$ , Równoważnie dla skończonej półgrupy: ${\ Displaystyle ba_ {1} \ kropki a_ {n} = a_ {1} \ kropki a_ {n}}$ , Równoważnie dla skończonej półgrupy: ${\ Displaystyle ba ^ {\ omega} = a ^ {\ omega}}$ .	Skończone	Pin s. 149, 158
${\ Displaystyle \ mathbb {L} \ mathbf {1}}$ : lokalnie trywialna półgrupa	eSe = mi , Równoważnie, I jest równe E , Równoważnie eaf = ef , Równoważnie dla skończonej półgrupy: ${\ Displaystyle ya_ {1} \ kropki a_ {n} = a_ {1} \ kropki a_ {n}}$ , Równoważnie dla skończonej półgrupy: ${\ Displaystyle a_ {1} \ kropki a_ {n} ya_ {1} \ kropki a_ {n} = a_ {1 }\kropki a_{n}}$ , Równoważnie dla skończonej półgrupy: ${\ Displaystyle a ^ {\ omega} ba ^ {\ omega} = a ^ {\ omega}}$ .	Skończone	Pin s. 150, 158
${\ Displaystyle \ mathbb {L} \ mathbf {G}}$ : grupy lokalne	eSe to grupa, Równoważnie, E ⊆ I , Równoważnie dla skończonej półgrupy: ${\ Displaystyle (a ^ {\ omega} ba ^ {\ omega}) ^ {\ omega} = a ^ {\ omega}}$ .	Skończone	Szpilki s. 151, 158

Lista specjalnych klas uporządkowanych półgrup

Terminologia	Definiowanie właściwości	Różnorodność	Bibliografia)
Zamówiona półgrupa	Półgrupa z relacją częściowego porządku ≤, taka, że ​​a ≤ b implikuje c•a ≤ c•b i a•c ≤ b•c	Skończone	Przypnij str. 14
${\ Displaystyle \ mathbf {N} ^ {+}}$	Nilpotent skończone półgrupy z za ${\ Displaystyle a \ równoważnik b ^ {\ omega}$	Skończone	Pin s. 157, 158
${\ Displaystyle \ mathbf {N} ^ {-}}$	Nilpotent skończone półgrupy z ${\ Displaystyle b ^ {\ omega} \ równoważnik a}$	Skończone	Pin s. 157, 158
${\ Displaystyle \ mathbf {J} _ {1} ^ {+}}$	Semilattices z ${\ Displaystyle 1 \ równoważnik a}$	Skończone	Pin s. 157, 158
${\ Displaystyle \ mathbf {J} _ {1} ^ {-}}$	Semilattices z ${\ Displaystyle a \ równoważnik 1}$	Skończone	Pin s. 157, 158
${\ Displaystyle \ mathbb {L} \ mathbf {J} _ {1} ^ {+}}$ lokalnie dodatni J-trywialna półgrupa	Skończone półgrupy spełniające ${\ Displaystyle a ^ {\ omega} \ równoważnik a ^ {\ omega} ba ^ {\ omega}}$	Skończone	Pin s. 157, 158

[C&P]		AH Clifford , GB Preston (1964). Algebraiczna teoria półgrup, tom. I (wydanie drugie). Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne . ISBN 978-0-8218-0272-4
[C&P II]		AH Clifford, GB Preston (1967). Algebraiczna teoria półgrup, tom. II (wydanie drugie). Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne . ISBN 0-8218-0272-0
[Chen]		Hui Chen (2006), „Budowa rodzaju obfitych półgrup”, Mathematical Communications ( 11 ), 165–171 (dostęp 25 kwietnia 2009 r.)
[Delg]		M. Delgado i in. , Półgrupy numeryczne , [1] (dostęp 27 kwietnia 2009)
[Edwa]		PM Edwards (1983), „Ostatecznie regularne półgrupy”, Biuletyn Australijskiego Towarzystwa Matematycznego 28 , 23–38
[Gril]		Grill PA (1995). Półgrupy . CRC Naciśnij . ISBN 978-0-8247-9662-4
[Hari]		KS Harinath (1979), „Niektóre wyniki dotyczące półgrup regularnych k ”, Indian Journal of Pure and Applied Mathematics 10 (11), 1422–1431
[Jak ja]		JM Howie (1995), Podstawy teorii półgrup , Oxford University Press
[Niegrzeczny]		Attila Nagy (2001). Specjalne klasy półgrup . Springera . ISBN 978-0-7923-6890-8
[Zwierzak domowy]		M. Petrich, NR Reilly (1999). Całkowicie regularne półgrupy . John Wiley & Synowie . ISBN 978-0-471-19571-9
[szum]		KP Shum „Półgrupy Rpp, ich uogólnienia i podklasy specjalne” w Advances in Algebra and Combinatorics pod redakcją KP Shum i in. (2008), World Scientific , ISBN 981-279-000-4 (s. 303–334)
[Tvm]		Proceedings of the International Symposium on Theory of Regular Semigroups and Applications , University of Kerala , Thiruvananthapuram , Indie , 1986
[Kela]		AV Kelarev, Zastosowania epigrup do stopniowanej teorii pierścieni , Semigroup Forum , tom 50, numer 1 (1995), 327-350 doi : 10.1007/BF02573530
[KKM]		Mati Kilp, Ulrich Knauer, Alexander V. Mikhalev (2000), Monoids, Acts and Categories: with Applications to Wieniec Products and Graphs , Expositions in Mathematics 29 , Walter de Gruyter, Berlin, ISBN 978-3-11-015248-7 .
[Higg]		Petera M. Higginsa (1992). Techniki teorii półgrup . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-853577-5 .
[Szpilka]		Pin, Jean-Éric (2016-11-30). Matematyczne podstawy teorii automatów (PDF) .
[Fennemore]		Fennemore, Charles (1970), „Wszystkie odmiany zespołów”, Semigroup Forum , 1 (1): 172–179, doi : 10.1007 / BF02573031