Nigdzie przemienna półgrupa
W matematyce półgrupa przemienna nigdzie jest półgrupą S taką, że dla wszystkich a i b w S , jeśli ab = ba , to a = b . Półgrupa S nigdzie nie jest przemienna wtedy i tylko wtedy, gdy dowolne dwa elementy S są do siebie odwrotne .
Charakterystyka półgrup przemiennych nigdzie
Nigdzie półgrup przemiennych nie można scharakteryzować na kilka różnych sposobów. Jeśli S jest półgrupą, to następujące stwierdzenia są równoważne :
- S nigdzie nie jest przemienne.
- S jest prostokątnym pasmem (w znaczeniu, w jakim używa tego terminu John Howie ).
- Dla wszystkich aib w S aba = a . _ _
- Dla wszystkich a , b i c w S , a 2 = a i abc = ac .
Chociaż z definicji wstęgi prostokątne są konkretnymi półgrupami, mają tę wadę, że ich definicja nie jest sformułowana w kategoriach podstawowej operacji binarnej w półgrupie. Podejście poprzez definicję nigdzie przemiennych półgrup naprawia tę wadę.
Aby zobaczyć, że półgrupa przemienna donikąd jest wstęgą prostokątną, niech S będzie półgrupą przemienną nigdzie. Korzystając z właściwości definiujących półgrupę przemienną nigdzie, można zobaczyć, że dla każdego a w S przecięcie klas Greena Ra i La zawiera unikalny element a . Niech S / L będzie rodziną klas L w S i S / R być rodziną klas R w S . mapowanie
- ψ : S → ( S / R ) × ( S / L )
określony przez
- za ψ = ( R za , L za )
jest bijekcją . Jeśli iloczyn kartezjański ( S / R ) × ( S / L ) zostanie przekształcony w półgrupę przez wyposażenie go w mnożenie pasma prostokątnego, mapa ψ stanie się izomorfizmem . Zatem S jest izomorficzne z prostokątnym pasmem.
Inne twierdzenia dotyczące równoważności wynikają bezpośrednio z odpowiednich definicji.