Snop iniekcyjny

W matematyce snopy iniekcyjne grup abelowych są używane do konstruowania rozdzielczości potrzebnych do zdefiniowania kohomologii snopów (i innych funktorów pochodnych , takich jak snop Ext ).

Istnieje kolejna grupa pokrewnych pojęć stosowanych do snopów : zwiotczały ( po francusku flasque ), delikatny , miękki ( po francusku mou ), acykliczny . W historii przedmiotu zostały one wprowadzone przed „ artykułem Tohoku ” Aleksandra Grothendiecka z 1957 r ., który wykazał, że kategoria abelowa pojęcia przedmiotu iniekcyjnego wystarczyło znaleźć teorię. Inne klasy snopów to pojęcia starsze historycznie. Abstrakcyjne ramy definiowania kohomologii i funktorów pochodnych ich nie potrzebują. Jednak w większości konkretnych sytuacji rozwiązania za pomocą acyklicznych snopów są często łatwiejsze do skonstruowania. Snopy acykliczne służą zatem do celów obliczeniowych, na przykład sekwencja widmowa Leraya .

Krążki iniekcyjne

Snop iniekcyjny to snop, który jest obiektem iniekcyjnym kategorii snopów abelowych; ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ innymi słowy, homomorfizmy od do zawsze można rozszerzyć na dowolny snop. $}}$ ${$ $Displaystyle { \ mathcal {A$ zawierający ${\ Displaystyle {\ mathcal {A}}.}$

Kategoria snopów abelowych ma wystarczającą liczbę obiektów iniekcyjnych: oznacza to, że każdy snop jest podrzędnym snopem iniekcyjnym. Ten wynik Grothendiecka wynika z istnienia generatora kategorii (można go zapisać jawnie i jest powiązany z klasyfikatorem podobiektów ). To wystarczy, aby pokazać, że prawe funktory dowolnego lewostronnego funktora dokładnego istnieją i są unikalne aż do izomorfizmu kanonicznego.

Ze względów technicznych krążki iniekcyjne są zwykle lepsze od innych klas krążków wspomnianych powyżej: mogą zrobić prawie wszystko, co mogą zrobić inne klasy, a ich teoria jest prostsza i bardziej ogólna. W rzeczywistości krążki iniekcyjne są zwiotczałe ( flasque ), miękkie i acykliczne. Istnieją jednak sytuacje, w których inne klasy krążków występują naturalnie, co jest szczególnie prawdziwe w konkretnych sytuacjach obliczeniowych.

Podwójne pojęcie, snopki projekcyjne , nie jest często używane, ponieważ w ogólnej kategorii snopów jest ich za mało: nie każdy snop jest ilorazem snopka rzutowego, aw szczególności nie zawsze istnieją rozwiązania rzutowe. Dzieje się tak na przykład, gdy patrzymy na kategorię snopów w przestrzeni rzutowej w topologii Zariskiego. Powoduje to problemy podczas próby zdefiniowania lewostronnych funktorów prawego dokładnego funktora (takiego jak Tor). Czasami można to zrobić ad hoc: na przykład lewostronne funktory Tora można zdefiniować przy użyciu rozdzielczości płaskiej, a nie rzutowej, ale wykazanie, że jest to niezależne od rozdzielczości, wymaga trochę pracy. Nie wszystkie kategorie snopów napotykają ten problem; na przykład kategoria snopów na schemacie afinicznym zawiera wystarczającą liczbę rzutów.

Krążki acykliczne

Snop acykliczny nad $znikają$ to taki, że wszystkie grupy kohomologii wyższego snopka .

Grupy kohomologiczne dowolnego snopka można obliczyć z dowolnego jego acyklicznego rozwiązania (nazywa się to twierdzeniem De Rham-Weila ).

Drobne krążki

Dobry snop nad X to taki, który ma „ podziały jedności ”; dokładniej dla dowolnego otwartego pokrycia przestrzeni X możemy znaleźć rodzinę homomorfizmów od snopka do samego siebie z sumą 1 taką, że każdy homomorfizm jest równy 0 poza jakimś elementem otwartego pokrycia.

Drobne krążki są zwykle używane tylko w parazwartych przestrzeniach Hausdorffa X . Typowymi przykładami są snop zarodków ciągłych funkcji o wartościach rzeczywistych w takiej przestrzeni lub gładkie funkcje na gładkiej ( parazwartej rozmaitości Hausdorffa ) lub moduły na tych snopach pierścieni. Również drobne krążki nad parakompaktowymi przestrzeniami Hausdorffa są miękkie i acykliczne.

Rozdzielczość snopka na gładkiej rozmaitości można znaleźć za pomocą drobnych snopów przy użyciu rozdzielczości Alexandra – Spaniera.

Jako aplikację rozważmy rzeczywistą rozmaitość X . Istnieje następująca rozdzielczość stałego snopka przez drobne snopy (gładkich) form różniczkowych : ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

\ do C_ {X} ^ {1 }\do \cdots \do C_{X}^{\dim X}\do 0.}

Jest to rozwiązanie, czyli dokładny kompleks snopów według lematu Poincarégo . Kohomologię X z wartościami w można zatem obliczyć jako kohomologię kompleksu globalnie zdefiniowanych form różniczkowych: ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

{\ Displaystyle H ^ {i} (X, \ mathbb {R}) = H ^ {i} (C_ {X} ^ {\ punktor} (X)).}

Miękkie krążki

Miękki snop nad $może$ to taki, że dowolna sekcja z dowolnego zamkniętego podzbioru X zostać rozszerzona do sekcji globalnej.

Miękkie krążki są acykliczne w stosunku do parazwartych przestrzeni Hausdorffa.

Flasque lub zwiotczałe krążki

Snop flasque (zwany także wiotkim snopem ) to snopek o następującej właściwości: jeśli jest podstawową przestrzenią topologiczną , na której zdefiniowany jest snop i ${\ mathcal {F}}$ ${\ displaystyle$

{\ Displaystyle U \ subseteq V \ subseteq X}

są otwartymi podzbiorami , a następnie mapą restrykcji

{\ Displaystyle r_ {U \ subseteq V}: \ Gamma (V, {\ mathcal {F}}) \ do \ Gamma (U, { \mathcal {F}})}

jest surjektywną , jako mapa grup ( pierścieni , modułów itp.).

Krążki flasque są przydatne, ponieważ (z definicji) ich sekcje rozciągają się. Oznacza to, że są to jedne z najprostszych krążków w obsłudze pod względem algebry homologicznej . Każdy snop ma kanoniczne osadzenie w snopie kolbowym wszystkich możliwie nieciągłych sekcji przestrzeni étalé , a powtarzając to, możemy znaleźć kanoniczne rozwiązanie flasque dla dowolnego snopka. Rozdzielczość flasque , czyli rozdzielczość za pomocą snopów flasque, to jedno podejście do definiowania kohomologii snopów .

Krążki Flasque są miękkie i acykliczne.

Flasque to francuskie słowo, które czasami tłumaczono na język angielski jako zwiotczały .

Godement, Roger (1998), Topologie algébrique et théorie des faisceaux , Paryż: Hermann, ISBN 978-2-7056-1252-8 , MR 0345092
Grothendieck, Alexander (1957), „Sur quelques points d'algebre homologique”, The Tohoku Mathematical Journal , druga seria, 9 (2): 119–221, doi : 10.2748/tmj/1178244839 , ISSN 0040-8735 , MR 0102537
„Kohomologia snopów i rozdzielczości iniekcyjne” w MathOverflow