Klasyfikator podobiektów
W teorii kategorii klasyfikator podobiektów jest specjalnym obiektem Ω kategorii, tak że intuicyjnie podobiekty dowolnego obiektu X w kategorii odpowiadają morfizmom od X do Ω. W typowych przykładach ten morfizm przypisuje „prawdę” elementom podobiektu, a „fałsz” innym elementom X. Dlatego klasyfikator podobiektów jest również znany jako „obiekt wartości prawdy”, a pojęcie to jest szeroko stosowane w kategorycznym opisie logiki. Należy jednak zauważyć, że klasyfikatory podobiektów są często znacznie bardziej skomplikowane niż proste wartości logiczne logiki binarnej {true, false}.
Przykład wprowadzający
Przykładowo zbiór Ω = {0,1} jest klasyfikatorem podobiektów w kategorii zbiorów i funkcji: każdemu podzbiorowi A z S określonemu funkcją inkluzji j : A → S możemy przypisać funkcję χ A z S do Ω, który dokładnie odwzorowuje elementy A na 1 (patrz funkcja charakterystyczna ). Każda funkcja od S do Ω powstaje w ten sposób z dokładnie jednego podzbioru A .
Dla jasności rozważmy podzbiór A zbioru S ( A ⊆ S ), gdzie S jest zbiorem. Pojęcie bycia podzbiorem można wyrazić matematycznie za pomocą tzw. funkcji charakterystycznej χ A : S → {0,1}, która jest zdefiniowana następująco:
(Tutaj interpretujemy 1 jako prawdę, a 0 jako fałsz.) Rolą funkcji charakterystycznej jest określenie, które elementy należą do podzbioru A . W rzeczywistości χ A jest prawdziwe dokładnie na elementach A .
W ten sposób zbiór wszystkich podzbiorów S i zbiór wszystkich map od S do Ω = {0,1} są izomorficzne .
Aby sklasyfikować to pojęcie, przypomnijmy, że w teorii kategorii podobiekt jest w rzeczywistości parą składającą się z przedmiotu i strzałki monicznej (interpretowanej jako włączenie do innego obiektu). W związku z tym prawda odnosi się do elementu 1, który jest wybierany strzałką: prawda : {0} → { : {0} → {0, 1} that maps 0 to 1. The subset A of S can now be defined as the pullback of true along the characteristic function χA, shown on the following diagram:
Zdefiniowane w ten sposób χ jest morfizmem Sub C ( S ) → Hom C (S, Ω). Z definicji Ω jest klasyfikatorem podobiektów , jeśli ten morfizm jest izomorfizmem.
Definicja
Dla ogólnej definicji zaczynamy od kategorii C , która ma obiekt końcowy , który oznaczamy przez 1. Obiekt Ω z C jest klasyfikatorem podobiektu dla C , jeśli istnieje morfizm
- 1 → Ω
o następującej właściwości:
- Dla każdego monomorfizmu j : U → X istnieje unikalny morfizm χ j : X → Ω taki, że następujący diagram przemienny
- jest diagramem pullback — to znaczy U jest granicą diagramu:
Morfizm χ j jest wtedy nazywany morfizmem klasyfikującym dla podobiektu reprezentowanego przez j .
Dalsze przykłady
Snopy zestawów
Kategoria snopów zbiorów w przestrzeni topologicznej X ma klasyfikator podobiektów Ω, który można opisać następująco: Dla dowolnego zbioru otwartego U z X , Ω( U ) jest zbiorem wszystkich otwartych podzbiorów U . Obiektem końcowym jest snop 1, który przypisuje singleton { *} każdemu zbiorowi otwartemu U z X. Morfizm η:1 → Ω jest dany przez rodzinę odwzorowań η U : 1( U ) → Ω( U ) zdefiniowaną przez η U (*)= U dla każdego otwartego zbioru U od X . Mając snop F na X i snop podrzędny j : G → F , morfizm klasyfikujący χ j : F → Ω jest dany przez rodzinę odwzorowań χ j,U : F ( U ) → Ω( U ), gdzie χ j,U ( x ) jest sumą wszystkich zbiorów otwartych V z U takie, że ograniczenie x do V (w sensie snopów) zawiera się w j V ( G ( V )).
Z grubsza mówiąc, twierdzenie wewnątrz tego toposu jest zmiennie prawdziwe lub fałszywe, a jego wartość logiczna z punktu widzenia otwartego podzbioru U jest otwartym podzbiorem U , w którym twierdzenie jest prawdziwe.
Wkłady wstępne
Biorąc pod uwagę małą kategorię , kategoria presnopoków (tj. kategoria funktora składająca się ze wszystkich funktorów kontrawariantnych z do ) ma klasyfikator podobiektów podany przez funktor wysyłający dowolny do zbioru } na . Morfizmy klasyfikujące są zbudowane dość podobnie do tych z powyższego przykładu snopów zestawów.
Topos elementarny
Oba powyższe przykłady są podciągnięte przez następujący fakt ogólny: każdy elementarny topos , zdefiniowany jako kategoria ze skończonymi granicami i przedmiotami mocy , musi koniecznie mieć klasyfikator podobiektów. Dwa powyższe przykłady to topos Grothendiecka , a każdy topos Grothendiecka jest toposem elementarnym.
Pojęcia pokrewne
Quasitopos ma obiekt, który jest prawie klasyfikatorem podobiektów ; klasyfikuje tylko silne podobiekty.
Notatki
- Artin, Michał ; Aleksander Grothendieck ; Jean-Louis Verdier (1964). Séminaire de Géometrie Algébrique IV . Springer-Verlag .
- Barr, Michał; Charlesa Wellsa (1985). Toposy, trójki i teorie . Springer-Verlag . ISBN 0-387-96115-1 .
- Dzwon, Jan (1988). Toposy i lokalne teorie mnogości: wprowadzenie . Oksford: Oxford University Press .
- Goldblatt, Robert (1983). Topos: kategorialna analiza logiki . Holandia Północna , przedrukowane przez Dover Publications, Inc (2006). ISBN 0-444-85207-7 .
- Johnstone, Peter (2002). Szkice słonia: kompendium teorii toposu . Oksford: Oxford University Press .
- Johnstone, Peter (1977). Teoria toposu . Prasa akademicka . ISBN 0-12-387850-0 .
- Mac Lane, Saunders (1998). Kategorie dla pracującego matematyka . Absolwent Teksty z matematyki . Tom. 5 (wyd. 2). Nowy Jork, NY: Springer-Verlag . ISBN 0-387-98403-8 . Zbl 0906.18001 .
- MacLane, Saunders ; Ieke Moerdijk (1992). Snopy w geometrii i logice: pierwsze wprowadzenie do teorii toposu . Springer-Verlag . ISBN 0-387-97710-4 .
- McLarty, Colin (1992). Podstawowe kategorie, podstawowe toposy . Oksford: Oxford University Press . ISBN 0-19-853392-6 .
- Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, wyd. (2004). Podstawy kategoryczne. Specjalne tematy w porządku, topologia, algebra i teoria snopów . Encyklopedia matematyki i jej zastosowań . Tom. 97. Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-83414-7 . Zbl 1034.18001 .
- Taylor, Paweł (1999). Praktyczne podstawy matematyki . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-63107-6 .