kompleks koszulski

W matematyce kompleks Koszula został po raz pierwszy wprowadzony w celu zdefiniowania teorii kohomologii dla algebr Liego przez Jeana-Louisa Koszula (patrz kohomologia algebry Liego ). Okazało się, że jest to użyteczna konstrukcja ogólna w algebrze homologicznej . Jako narzędzie, jego homologia może być wykorzystana do stwierdzenia, kiedy zestaw elementów (lokalnego) pierścienia jest sekwencją M-regularną , a zatem może być wykorzystana do udowodnienia podstawowych faktów dotyczących głębokości modułu lub ideału, który jest algebraicznym pojęciem wymiaru, spokrewnionym z geometrycznym pojęciem wymiaru Krulla , ale różnym od niego . Co więcej, w pewnych okolicznościach kompleks jest kompleksem syzygii , to znaczy mówi ci o relacjach między generatorami modułu, relacjach między tymi relacjami i tak dalej.

Definicja

Niech R będzie pierścieniem przemiennym, a E wolnym modułem skończonego rzędu r nad R . Piszemy dla ${\ displaystyle \ bigwedge ^ {i} E}$ -tej potęgi zewnętrznej E mi . Następnie, biorąc pod $kompleks$ -liniową mapę Koszul powiązany z s jest łańcuchowym -moduły:

${\ Displaystyle K _ {\ punktor} (s) \ dwukropek 0 \ do \ duży klin ^ {r }E{\overset {d_{r}}{\to }}\bigwedge ^{r-1}E\to \cdots \to \bigwedge ^{1}E{\overset {d_{1}}{\to }}R\do 0}$ ,

gdzie różniczka $displaystyle$ dana wzorem: dla dowolnego $e_ {i}}$ w mi ,

${\ Displaystyle d_ {k} (e_ {1} \ klin \ kropki \ klin e_ {k}) = \ suma _ {i = 1} ^ {k} (-1) ^ {i + 1} s (e_ { i})e_{1}\wedge \cdots \wedge {\widehat {e_{i}}}\wedge \cdots \wedge e_{k}}$ .

Indeks $że$ ​​termin został pominięty. Aby pokazać $_$ , kompleksu

Zauważ, że ${\ Displaystyle \ bigwedge ^ {1} E = E}$ i ${\ displaystyle d_ {1} = s}$ . Zauważ też, że ${\ Displaystyle \ bigwedge ^ {r} E \ simeq R}$ ; ten izomorfizm nie jest kanoniczny (na przykład wybór formy objętościowej w geometrii różniczkowej stanowi przykład takiego izomorfizmu).

mi ${\ displaystyle E = R ^ {r}}$ (tj. wybrano uporządkowaną podstawę), to dając -liniową mapę ${\ displaystyle s \ okrężnica R ^ {r } \ do R} sprowadza się do podania$$), a$ sekwencji w R ( ustawia ${\ Displaystyle K_ {\ punktor} (s_ {1}, \ kropki, s_ {r}) = K _ {\ punktor} (s).}$

Jeśli M jest skończenie generowanym modułem R , to ustawia się:

${\ Displaystyle K _ {\ punktor} (s, M) = K _ {\ punktor} (s) \ czasami _ {R} M}$ ,

który jest znowu kompleksem łańcuchowym z indukowaną różniczką ${\ Displaystyle (d \ otimes 1_ {M}) (v \ otimes m) = d (v )\czasami m}$ .

I - ta homologia kompleksu koszulskiego

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {H} _ {i} (K_ {\ punktor }(s,M))=\nazwa_operatora {ker} (d_{i}\otimes 1_{M})/\nazwa_operatora {im} (d_{i+1}\otimes 1_{M})}$

nazywa się i -tą homologią koszulską . Na przykład, jeśli ${\ Displaystyle E = R ^ {r}}$ i ${\ Displaystyle s = [s_ {1} \ cdots s_ {r}]}$ jest wierszem wektor z wpisami w R , to jest re $\ Displaystyle d_ {1} \ otimes 1_ {M}}$

${\ Displaystyle s \ dwukropek M ^ {r} \ do M \, (m_ {1} ,\kropki ,m_{r})\mapsto s_{1}m_{1}+\kropki +s_{r}m_{r}}$

a więc

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {H} _ {0} (K _ {\ punktor} (s, M)) = M / (s_ {1}, \ kropki, s_ {r}) M = R / (s_ {1} ,\kropki ,s_{r})\oraz _{R}M.}$

Podobnie,

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {H} _ {r} (K_ {\ punktor} (s, M)) = \ {m \ w M: s_ {1} m = s_ {2} m = \ kropki = s_ {r }m=0\}=\nazwa_operatora {Hom} _{R}(R/(s_{1},\kropki,s_{r}),M).}$

Zespoły koszulskie w małych gabarytach

Mając przemienny pierścień R , element x w R i R - moduł M , mnożenie przez x daje homomorfizm R - modułów,

${\ Displaystyle M \ do M.}$

Biorąc pod uwagę to jako kompleks łańcuchowy (poprzez umieszczenie ich w stopniu 1 i 0 oraz dodanie zer w innym miejscu), jest to oznaczone przez ${\ Displaystyle K (x, M)}$ . Z konstrukcji homologie są

${\ Displaystyle H_ {0} (K(x,M))=M/xM,H_{1}(K(x,M))=\nazwa operatora {Ann} _{M}(x)=\{m\in M,xm=0\ },}$

anihilator x w M . _ _ Tak więc kompleks Koszula i jego homologia kodują podstawowe własności mnożenia przez x . Ten kompleks $_$ nazywany jest kompleksem R względem , w .

Kompleks Koszul dla pary jest ${\ Displaystyle (x, y) \ w R ^ {2}}$

${\ Displaystyle 0 \ do R {\ xrightarrow {\ d_ {2} \}} R ^ {2} {\ xrightarrow {\ d_ {1} \ }} R \do 0,}$

z macierzami podanymi przez ${\ Displaystyle d_ {1}}$ i ${\ Displaystyle d_ {2}}$

${\ Displaystyle d_ {1} = {\ rozpocząć {bmatrix} x & y \\\ koniec {bmatrix}}}$ i

${\ Displaystyle d_ {2} = {\ rozpocząć {bmatrix} -y \\ x \\\ koniec {bmatrix}}.}$

Zauważ, że po lewej stronie jest stosowany ${\ displaystyle d_ {i}} .$ Cykle w stopniu 1 są więc dokładnie relacjami liniowymi na elementach x i y , natomiast granice są relacjami trywialnymi. Pierwsza homologia koszulska H ₁ ( K _• ( x , y )) mierzy więc dokładnie relacje mod relacji trywialnych. Z większą liczbą elementów, wyżej wymiarowe homologie Koszula mierzą wersje tego wyższego poziomu.

$_$ przypadku regularną sekwencję wyższe wszystkie są zerowe.

Przykład

Jeśli k $_$ polem a jest k ${\ Displaystyle k [X_ {1}, X_ {2}, \ kropki, X_ {d}]}$ , kompleks Koszul ${\ Displaystyle K _ {\ punktor} (X_ {i})}$ na ${\ Displaystyle X_ {i}}$ tworzy konkretną swobodną rozdzielczość R wynoszącą k .

Właściwości homologii koszulskiej

Niech E $,$ modułem swobodnym skończonego rzędu nad R niech będzie mapą i niech t elementem . Niech ${\ Displaystyle K (s, t)}$ będzie koszulskim kompleksem ${\ Displaystyle (s, t) \ okrężnica E \ oplus R \ do R }$ .

Korzystanie ${\ Displaystyle \ klin ^ {k} (E \ oplus R) = \ oplus _{i=0}^{k}\bigwedge ^{ki}E\otimes \bigwedge ^{i}R=\bigwedge ^{k}E\oplus \bigwedge ^{k-1}E} ,$ jest dokładna sekwencja kompleksów:

${\ Displaystyle 0 \ do K (s) \ do K (s, t) \ do K (s) [-1] \do 0}$

gdzie [-1] oznacza przesunięcie stopnia o -1 i ${\ Displaystyle d_ {K (s) [-1]} = - d_ {K (s )}}$ . Jedna uwaga: dla ${\ Displaystyle (x, y)}$ w $oplus \ bigwedge ^ {k-1} E}$ ,

${\ Displaystyle d_ {K (s, t)} ((x, y)) = (d_ {K (s)} x + ty, d_ {K (s) [-1]} y).}$

W języku algebry homologicznej powyższe oznacza, $Displaystyle$ stożkiem odwzorowania $t$ : .

Biorąc długi dokładny ciąg homologii, otrzymujemy:

${\ Displaystyle \ cdots \ do \ nazwa operatora {H} _ {i} (K (s)) {\ overset {t} {\ do}} \ nazwa operatora {H} _ {i} (K (s)) \ do \operatorname {H} _{i}(K(s,t))\to \operatorname {H} _{i-1}(K(s)){\overset {t}{\to }}\cdots . }$

Tutaj homomorfizm łączący

${\ Displaystyle \ delta: \ nazwa operatora {H} _ { i+1}(K(s)[-1])=\nazwa_operatora {H} _{i}(K(s))\do \nazwa_operatora {H} _{i}(K(s))}$

oblicza się w następujący sposób. $) = [d_ {K (s, t)} (y)]}$ ) gdzie y $_$ elementem na _ _ K. $t)}$ jest bezpośrednią sumą, możemy po prostu przyjąć, że y wynosi (0, x ). Wtedy wczesny wzór na $x]}$ δ $=$$) = t$ .

Powyższą dokładną sekwencję można wykorzystać do udowodnienia następującego faktu.

Twierdzenie — Niech R będzie pierścieniem, a M modułem nad nim. $_$ sekwencja _ _ _ _ _ _ _

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {H} _ {i} (K (x_ {1}, \ kropki, x_ {r}) \ czasami M) =0}$

dla wszystkich ${\ Displaystyle i \ geq 1}$ . W szczególności, gdy M = R , to znaczy

${\ Displaystyle 0 \ do \ klina ^ {r} R ^ {r} {\ overset {d_ {r}}} {\ do}} \ klina ^ {r-1} R ^ {r} \ do \ cdots \ do \klin ^{2}R^{r}{\overset {d_{2}}{\to }}R^{r}{\overset {[x_{1}\cdots x_{r}]}{\to }}R\do R/(x_{1},\cdots,x_{r})\do 0}$

jest dokładny; tj $r$ jest - rozdzielczością R $_ \displaystyle R/(x_{1},\kropki,x_{r})}$ 1 .

Dowód przez indukcję po r . Jeśli ${\ Displaystyle r = 1}$ , to ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {H} _ {1} (K (x_ {1};M))=\nazwa_operatora {Ann} _{M}(x_{1})=0}$ . Następnie załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla r - 1. Następnie, korzystając z powyższej dokładnej sekwencji, widzimy ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {H} _ {i} (K (x_ {1}, \ kropki, x_ {r}; M)) = 0$ } dowolny ${\ Displaystyle i \ geq 2}$ . Znikanie jest $również$$ważne$ jest niezerowym ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {H} _ {0} (K (x_ {1}, \ kropki, x_ {r-1}; M)) = M / (x_ {1}, \ kropki, x_ {r-1 }) M.}$${\ Displaystyle \ kwadrat}$

Wniosek - Niech R , M $_$ jak _ _ _ Załóżmy, że istnieje pierścień S , S -regularny ciąg ${\ Displaystyle y_ {1}, y_ {2}, \ cdots, y_ {n}}$ w S i homomorfizm pierścienia S → R , który odwzorowuje ${\ displaystyle y_ {i}}$ na ${\ displaystyle x_ {i}}$ . (Na przykład można wziąć ${\ Displaystyle S = \ mathbb {Z} [y_ {1}, \ cdots, y_ {n}]}$ .) Następnie

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {H} _ {i} (K (x_ {1}, \ kropki, x_ {n}) \ czasami _ {R} M) = \ nazwa operatora {Tor} _ {i} ^ {S} (S/(y_{1},\kropki,y_{n}),M).}$

Tor oznacza funktor Tor , a M jest modułem S przechodzącym przez S → R.

Dowód: Z twierdzenia zastosowanego do S i S jako S -modułu wynika, że ​​K ( y ₁ , ..., y _n ) jest S -wolnym rozwiązaniem S / ( y ₁ , ..., y _n ) . Zatem z definicji i -ta homologia ${\ Displaystyle K (y_ {1}, \ kropki, y_ {n}) \ otimes _ {S} M}$ jest prawą stroną powyższego. Z drugiej strony ${\ Displaystyle K (y_ {1}, \ kropki, y_ {n}) \otimes _{S}M=K(x_{1},\dots ,x_{n})\otimes _{R}M}$ przez definicję struktury S -modułu na M . ${\ Displaystyle \ kwadrat}$

Wniosek - Niech R , M $_$ jak _ _ _ Wtedy zarówno ideał, jak i niszczyciel M ${\ Displaystyle I = (x_ {1}, x_ {2}, \ cdots, x_ {n})}$ zniszczyć

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {H} _ {i} (K (x_ {1}, \ kropki, x_ {n}) \ czasami M)}$

dla wszystkich ja .

Dowód: Niech S = R [ y ₁ , ..., y _n ]. Zamień M w S - moduł przez homomorfizm pierścienia S → R , y _i → xi _i R an S -moduł przez y _i → 0 . Z powyższego wniosku wynika, że ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {H} _ {i} (K (x_ {1}, \ kropki, x_ {n}) \ czasami M) = \operatorname {Tor} _{i}^{S}(R,M)}$ a następnie

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Ann} _ {S} \ lewo (\ nazwa operatora {Tor} _ {i} ^ {S} (R, M) \ prawej) \ supset \ nazwa operatora {Ann} _ {S} (R) +\nazwa_operatora {Ann} _{S}(M)\supset (y_{1},\kropki ,y_{n})+\nazwa_operatora {Ann} _{R}(M)+(y_{1}-x_ {1}, ..., y_ {n} -x_ {n}).}$${\ Displaystyle \ kwadrat}$

Dla lokalnego pierścienia zachodzi odwrotność twierdzenia. Bardziej ogólnie,

Twierdzenie — Niech R będzie pierścieniem, a M niezerowym, skończenie generowanym modułem nad R . Jeśli x ₁ , x ₂ , ..., x r są elementami rodnika Jacobsona R , _to następujące są równoważne :

1. Sekwencja jest regularną sekwencją na M , $\ Displaystyle x_ {1}, \ kropki, x_ {r}}$ {
2. ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {H} _ {1} (K (x_ {1}, \ kropki, x_ {r}) \ czasami M) =0}$ ,
3. ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {H} _ {i} (K (x_ {1}, \ kropki, x_ {r}) \ czasami M) =0}$ dla wszystkich i ≥ 1.

Dowód: Musimy tylko pokazać, że 2. implikuje 1., reszta jest jasna. Argumentujemy przez indukcję względem r . Przypadek r = 1 jest już znany. Niech x ' oznacza x ₁ , ..., x _{r -1} . Rozważać

${\ Displaystyle \ cdots \ do \ nazwa operatora {H} _ {1} (K (x '; M)) {\ overset {x_ {r}}} {\ do}} \ nazwa operatora {H} _ {1} (K (x';M))\to \nazwa_operatora {H} _{1}(K(x_{1},\kropki,x_{r};M))=0\to M/x'M{\overset { x_{r}}{\do}}\cdots .}$

$Displaystyle N=\nazwa_operatora {H} _{1}(K(x';M))}$ pierwszy jest suriekcją, ${\ Displaystyle N = x_ {r} N}$${$ N . Zgodnie z lematem Nakayamy , ${\ Displaystyle N = 0}$ i tak x ' jest regularną sekwencją według hipotezy indukcyjnej. Ponieważ drugi jest iniekcyjny (tj. jest niezerowym dzielnikiem), ${\ Displaystyle x_ {1}, \ kropki, x_ {r}}$ jest regularną sekwencją x r {\ displaystyle $r }}$ . (Uwaga: zgodnie z lematem Nakayamy, wymaganie ${\ Displaystyle M / (x_ {1}, \ kropki, x_ {r}) M \ neq 0}$ jest automatyczne.) ${\ Displaystyle \ kwadrat}$

Produkty tensorowe kompleksów koszulskich

Ogólnie rzecz biorąc, jeśli C , D są kompleksami łańcuchowymi, to ${\ displaystyle C \ otimes D}$ iloczyn tensorowy jest kompleksem łańcuchowym określonym przez do

$re jot {\ Displaystyle (C \ otimes D) _ {n} = \ suma _ {i + j = n} C_ {i} \ czasami$

z różniczką: dla dowolnych elementów jednorodnych x , y ,

$\ Displaystyle d_ {C \ otimes D} (x \ otimes y) = d_ {C} (x) \ czasami y + (-1) ^ {| x |} x \ otimes d_ {D }(y)}$

gdzie | x | jest stopniem x .

Taka konstrukcja dotyczy w szczególności zespołów koszulskich. Niech E , F $E$$do$ modułami skończonego rzędu i niech → { \ } mapy liniowe. Niech będzie kompleksem koszulskim mapy liniowej ${\ Displaystyle K (s, t)} K. ( s , t ) {\ Displaystyle K$${\ Displaystyle (s, t) \ dwukropek E \ oplus F \ do R}$ . Następnie jako kompleksy

${\ Displaystyle K (s, t) \ simeq K (s) \ czasami K (t).}$

Aby to zobaczyć, wygodniej jest pracować z algebrą zewnętrzną (w przeciwieństwie do potęg zewnętrznych). Zdefiniuj stopniowane wyprowadzenie stopnia ${\ Displaystyle -1}$

${\ Displaystyle d_ {s}: \ klin E \ do \ klin E}$

wymagając: dla dowolnych elementów jednorodnych x , y w Λ E ,

• ${\ Displaystyle d_ {s} (x) = s (x)}$ kiedy ${\ Displaystyle | x | = 1}$
• ${\ Displaystyle d_ {s} (x \ klin y) = d_ {s} (x) \ klin y + (-1) ^ {| x |} x \ klin d_ {s} (y )}$

Łatwo zauważyć, że ${\ Displaystyle d_ {s} \ circ d_ {s} = 0}$ (indukcja na stopniu) i że działanie na elementy jednorodne jest zgodne $= {\ displaystyle d_ {s}}$ z różnicami w #Definition .

Teraz mamy ${\ Displaystyle \ klin (E \ oplus F) = \ klin E \ otimes \ klin F}$ jako stopniowane moduły R. Ponadto, zgodnie z definicją iloczynu tensorowego wspomnianego na początku,

${\ Displaystyle d_ {K (s) \ czasami K (t)} (e \ razy 1 + 1 \ razy f) = d_ {K (s)} (e) \ razy 1 + 1 \ czasami d_ {K (t )}(f)=s(e)+t(f)=d_{K(s,t)}(e+f).}$

ponieważ $_$ _ $_$ _ pochodne tego samego typu, implikuje to ${\ Displaystyle d_ {K (s) \ czasami K (t)} = d_ {K (s, t)}.}$

Uwaga, w szczególności,

${\ Displaystyle K (x_ {1}, x_ {2}, \ kropki ,x_{r})\simeq K(x_{1})\otimes K(x_{2})\otimes \cdots \otimes K(x_{r})}$ .

Kolejne twierdzenie pokazuje, w jaki sposób koszulski zespół elementów koduje pewne informacje o ciągach w generowanym przez nie ideale.

Twierdzenie — Niech R będzie pierścieniem, a I = ( x ₁ , ..., x _n ) ideałem generowanym przez jakieś n -elementy. Wtedy dla dowolnego R -modułu M i dowolnych elementów y ₁ , ..., y _r w I ,

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {H} _ {i} (K (x_ {1}, \ kropki, x_ {n}, y_ {1}, \ kropki, y_ {r}; M)} \ simeq \ bigoplus _ { i=j+k}\operatorname {H} _{j}(K(x_{1},\kropki,x_{n};M))\czasami \klin ^{k}R^{r}.}$

gdzie jest $różnicą$ kompleks z (W rzeczywistości rozkład zachodzi na poziomie łańcucha).

Dowód: (Łatwy, ale na razie pominięty)

Jako aplikacja możemy pokazać wrażliwość na głębokość homologii Koszul. Biorąc pod uwagę skończenie wygenerowany moduł M na pierścieniu R , zgodnie z (jedną) definicją, głębokość M względem ideału I jest sumą długości wszystkich regularnych sekwencji elementów I na M . Jest to oznaczone przez ${\ Displaystyle \ operatorname {głębokość} (ja, M)}$ . Przypomnijmy, że M -ciąg regularny x ₁ , ..., x _n w ideale I jest maksymalne, jeśli I nie zawiera niezerowego dzielnika na ${\ Displaystyle M / (x_ {1}, \ kropki, x_ {n} )M}$ .

Homologia Koszula daje bardzo użyteczną charakterystykę głębokości.

  Twierdzenie (czułość na głębokość) — Niech R będzie pierścieniem noetherowskim, x ₁ , ..., x _n elementów R i I = ( x ₁ , ..., x _n ) stworzonym przez nie ideałem. Dla skończenie wygenerowanego modułu M nad R , jeśli dla pewnej liczby całkowitej m ,

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {H} _ {i} (K (x_ {1}, \ kropki, x_ {n}) \ czasami M) =0}$ dla wszystkich i > m ,

chwila

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {H} _ {m} (K (x_ {1}, \ kropki, x_ {n}) \ czasami M )\neq 0,}$

wtedy każdy maksymalny M -regularny ciąg w I ma długość n - m (w szczególności wszystkie mają tę samą długość). W konsekwencji,

${\ Displaystyle \ operatorname {głębokość} (ja, M) = nm}$ .

Dowód: Aby rozjaśnić oznaczenia, piszemy H(-) zamiast H( K (-)). Niech y ₁ , ..., y _s będzie maksymalnym M -ciągiem regularnym w ideale I ; oznaczamy tę sekwencję przez ${\ displaystyle {\ podkreślenie {y}}}$ . Najpierw pokazujemy przez indukcję $że$ , ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {H} _ {i} ({\ podkreślenie {y}}, x_ {1}, \ kropki, x_ {l}; M)}$ to ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Ann} _ {M / {\ podkreślenie {y}} M} (x_ {1}, \ kropki, x_ {l})} jeśli ja =$ l $i = l}$ i wynosi zero, jeśli ${\ displaystyle i> l}$ . Podstawowy przypadek ${\ Displaystyle l = 0}$ wynika jasno z #Właściwości homologii Koszul . Z długiej dokładnej sekwencji homologii Koszula i hipotezy indukcyjnej,

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {H} _ {l} \ lewo ({\ podkreślenie {y}}, x_ {1}, \ kropki, x_ {l}; M \ prawej) = \nazwa_operatora {ker} \left(x_{l}:\nazwa_operatora {Ann} _{M/{\podkreślenie {y}}M}(x_{1},\kropki ,x_{l-1})\do \ nazwa operatora {Ann} _{M/{\podkreślenie {y}}M}(x_{1},\kropki,x_{l-1})\prawo)}$ ,

czyli ${\ Displaystyle \ operatorname {Ann} _ {M / {\ podkreślenie {y}} M} (x_ {1}, \ kropki, x_ {l}).} Ponadto, na podstawie tego samego$ argumentu, zniknięcie zachodzi dla ${\ displaystyle i> l}$ . To kończy dowód twierdzenia.

Teraz z twierdzenia i wczesnego twierdzenia wynika, że ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {H} _ {i} (x_ {1}, \ kropki, x_ { n};M)=0}$ dla wszystkich i > n - s . Aby wywnioskować, że n - s = m , pozostaje pokazać, że jest niezerowe, jeśli i = n - s . od ${\ Displaystyle {\ podkreślenie {y}}}$ jest maksymalnym M -regularnym ciągiem w ja , ideał I jest zawarty w zbiorze wszystkich dzielników zera na ${\ Displaystyle M / {\ podkreślenie {y} }M}$ , skończona suma powiązanych liczb pierwszych modułu. Tak $ja$ , istnieje pewne niezerowe v w że ${\ Displaystyle I \ podzbiór {\ mathfrak {p}} = \ operatorname {Ann} _ {R} (v)}$ , czyli

${\ Displaystyle 0 \ neq v \ w \ nazwa operatora {Ann} _ {M / {\ podkreślenie {y}} M} (I) \ simeq \ nazwa operatora {H} _ {n} \ lewo (x_ {1}, \ kropki ,x_{n},{\podkreślenie {y}};M\right)=\operatorname {H} _{ns}(x_{1},\kropki ,x_{n};M)\czasami \klin ^ {s} R ^ {s}.}$${\ Displaystyle \ kwadrat}$

Samodwoistość

Istnieje podejście do kompleksu koszulskiego, które wykorzystuje kompleks cochain zamiast kompleksu łańcuchowego. Jak się okazuje, prowadzi to zasadniczo do tego samego kompleksu (fakt znany jako samodwoistość kompleksu koszulskiego).

Niech E będzie modułem swobodnym skończonego rzędu r nad pierścieniem R . Wtedy każdy element e z E powoduje zewnętrzne lewe mnożenie przez e :

${\ Displaystyle l_ {e}: \ klin ^ {k} E \ do \ klin ^ {k + 1} E, \, x \ mapsto e \ klin x.}$

Ponieważ ${\ Displaystyle e \ klin e = 0}$ , mamy: ${\ Displaystyle l_ {e} \ circ l_ {e} = 0}$ ; to jest,

${\ Displaystyle 0 \ do R {\ overset {1 \ mapsto e} {\ do}} \ klin ^ {1} E {\overset {l_{e}}{\do}}\klin ^{2}E\do \cdots \do \klin ^{r}E\do 0}$

to cochain kompleks wolnych modułów. Kompleks ten, zwany także kompleksem koszulskim, jest kompleksem używanym w ( Eisenbud 1995 ) . Biorąc podwójność, pojawia się kompleks:

${\ Displaystyle 0 \ do (\ klin ^ {r} E) ^{*}\to (\klin ^{r-1}E)^{*}\to \cdots \to (\klin ^{2}E)^{*}\to (\klin ^{1}E )^{*}\do R\do 0}$ .

∧ ${\ Displaystyle \ klin ^ {k} E \ simeq (\ klin ^ {rk} E) ^ {*}$ , kompleks ${\ Displaystyle (\ klin E, l_ {e})} pokrywa się w$ definicji z kompleksem Koszul .

Używać

Kompleks Koszula jest niezbędny do zdefiniowania wspólnego widma krotki komutujących ograniczonych operatorów liniowych w przestrzeni Banacha .

Zobacz też

• Zespół Koszul–Tate
• Syzygy (matematyka)

Notatki

•   David Eisenbud , Algebra przemienna. Z myślą o geometrii algebraicznej , Graduate Texts in Mathematics , tom 150, Springer-Verlag , Nowy Jork, 1995. ISBN 0-387-94268-8
•    William Fulton (1998), Teoria przecięć , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . 3. Folge., tom. 2 (wyd. 2), Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62046-4 , MR 1644323
•   Matsumura, Hideyuki (1989), Commutative Ring Theory , Cambridge Studies in Advanced Mathematics (wyd. 2), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-36764-6
• Serre, Jean-Pierre (1975), Algèbre locale, Multiplicités , Cours au Collège de France, 1957–1958, redigé par Pierre Gabriel. Troisième édition, 1975. Notatki z wykładów z matematyki (po francusku), tom. 11, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag

Linki zewnętrzne

• Melvin Hochster , Math 711: Wykład z 3 października 2007 (zwłaszcza ostatnia część).