Lemat Nakayamy

W matematyce , a dokładniej w algebrze abstrakcyjnej i algebrze przemiennej , lemat Nakayamy - znany również jako twierdzenie Krulla-Azumayi - reguluje interakcję między pierwiastkiem Jacobsona pierścienia (zazwyczaj pierścienia przemiennego ) a jego skończenie generowanymi modułami . Nieformalnie lemat natychmiast daje dokładny sens, w którym skończenie generowane moduły na przemiennym pierścieniu zachowują się jak przestrzenie wektorowe nad polem . Jest to ważne narzędzie w geometrii algebraicznej , ponieważ umożliwia punktowe badanie lokalnych danych dotyczących rozmaitości algebraicznych , w postaci modułów nad lokalnymi pierścieniami , jako przestrzeni wektorowych nad polem pozostałości pierścienia.

Lemat został nazwany na cześć japońskiego matematyka Tadashi Nakayamy i wprowadzony w obecnej formie w Nakayama (1951) , chociaż po raz pierwszy został odkryty w szczególnym przypadku ideałów w pierścieniu przemiennym przez Wolfganga Krulla , a następnie ogólnie przez Goro Azumayę ( 1951 ). . W przypadku przemienności lemat jest prostą konsekwencją uogólnionej postaci twierdzenia Cayleya-Hamiltona , obserwacji dokonanej przez Michaela Atiyaha ( 1969 ). Szczególny przypadek tzw nieprzemienna wersja lematu dla prawych ideałów pojawia się u Nathana Jacobsona ( 1945 ), dlatego nieprzemienny lemat Nakayamy jest czasami nazywany twierdzeniem Jacobsona – Azumayi . Ten ostatni ma różne zastosowania w teorii rodników Jacobsona .

Oświadczenie

Niech będzie pierścieniem przemiennym $o$ tożsamości 1. Poniżej znajduje się lemat Nakayamy, jak stwierdzono w Matsumura (1989 :

$Stwierdzenie$ 1 : Niech $będzie$ ideałem w $,$ a skończenie modułem nad R $R}$ \ Jeśli ${\ Displaystyle IM = M}$ , to istnieje ${\ Displaystyle r \ in R}$ z ${\ Displaystyle r \ równoważnik 1 \; (\ operatorname {mod} I)}$ tak, że ${\ Displaystyle rM = 0}$ .

Jest to udowodnione poniżej .

Następujący wniosek jest również znany jako lemat Nakayamy i właśnie w tej formie pojawia się najczęściej.

Stwierdzenie 2 $}$$R$ jest modułem nad $,$${\ Displaystyle J (R) M = M}$ jest radykałem Jacobsona z $displaystyle$ i , a następnie ${\ Displaystyle M = 0}$ .

Dowód : $-1}$$odwracalny$$r$ (z jak wyżej) jest w rodniku Jacobsona, więc jest

$\ Displaystyle M$$gdy$ , ma się to, że jest zbędnym modułem podrzędnym $,$ generowany w sposób skończony

Stwierdzenie 3 : Jeśli jest skończenie wygenerowanym modułem nad R , N jest modułem podrzędnym $\$$displaystyle M}$ i M = N + J ( R ) M , M = N .

Dowód : Zastosuj Twierdzenie 2 do M / N .

Poniższy wynik manifestuje lemat Nakayamy w kategoriach generatorów.

Stwierdzenie 4 : Jeśli M jest skończenie wygenerowanym modułem nad R i obrazy elementów m ₁ ,..., m _n z M w M / J ( R ) M generują M / J ( R ) M jako R -moduł , wtedy m ₁ ,..., m _n również generuje M jako R -moduł.

Dowód : Zastosuj Twierdzenie 3 do N = Σ _i Rm _i .

Jeśli zamiast tego założy się, że R jest zupełne , a M jest oddzielone w odniesieniu do topologii I -adycznej dla ideału I w R , to ostatnie stwierdzenie jest prawdziwe, gdy I zamiast J ( R ) i bez zakładania z góry, że M jest generowany w sposób skończony . Tutaj separacja oznacza, że I -adic spełnia aksjomat separacji T ₁ i jest równoważna ${\ Displaystyle \ textstyle {\ bigcap _ {k = 1} ^ {\ infty} ja ^ {k} M = 0.}}$

Konsekwencje

Pierścienie lokalne

$M / {\ mathfrak {m}} M}$$przypadku$ skończenie wygenerowanego modułu lokalnym pierścieniu $z$ maksymalnym ideałem iloraz $m$${\$ jest przestrzenią wektorową nad polem ${\ Displaystyle R / {\ mathfrak {m}}}$ . Stwierdzenie 4 implikuje zatem, podstawa M ${\ Displaystyle M / {\ mathfrak {m}} M}$ podnosi się do minimalnego zestawu generatorów ${\ displaystyle M}$ . I odwrotnie, każdy $wpisami$ zestaw generatorów jest uzyskiwany w ten sposób, a dowolne dwa takie zestawy generatorów są powiązane odwracalną macierzą z w pierścieniu.

Interpretacja geometryczna

W tej formie lemat Nakayamy nabiera konkretnego znaczenia geometrycznego. Pierścienie lokalne powstają w geometrii jako zalążki funkcji w punkcie. Skończenie generowane moduły nad lokalnymi pierścieniami powstają dość często jako zarodki sekcji wiązek wektorowych . Pracując na poziomie zarodków, a nie punktów, pojęcie wiązki wektorów o skończonych wymiarach ustępuje miejsca spójnemu snopowi . Nieformalnie lemat Nakayamy mówi, że nadal można uważać spójny snop za pochodzący w pewnym sensie z wiązki wektorów. Dokładniej, niech ${\ displaystyle {\ mathcal {M}}}$ być spójnym snopem $-modułów$$_$ dowolnego Łodyga w punkcie oznaczonym przez $M}}} ,$$\ mathcal$${\ mathcal {M}}$ Displaystyle } jest modułem w pierścieniu lokalnym ${\ Displaystyle ({\ mathcal {O}} _ {X, p}, {\ Displaystyle {\ mathfrak {m}} _ {p}})} i włókno$ M $\ Displaystyle {\ mathcal {M}} p$${\ Displaystyle p}$ to przestrzeń wektorowa ${p} / {\mathfrak {m}}_{p}{\mathcal {M}}_{p}}$ . Lemat Nakayamy sugeruje, że podstawa włókna ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} (p)}$ podnosi się do minimalnego zestawu generatorów ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {p}}$ . To jest:

• Każda podstawa włókna spójnego snopka $.$ punkcie pochodzi z minimalnej bazy przekrojów lokalnych

Przeformułowując to geometrycznie, jeśli $E \ do X}$ lokalnie wolnym modułem reprezentującym wiązkę wektorów $}}$${ \ Displaystyle {\$$mathcal {O$ , a jeśli weźmiemy podstawę wiązki wektorów w punkcie na schemacie $,$ tę można podnieść do podstawy przekrojów wiązki wektorów w jakimś sąsiedztwie punktu. Możemy uporządkować te dane w sposób schematyczny

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {macierz} E | _ {p} i \ do & E | _ {U} i \ do & E \\\ strzałka w dół && \ strzałka w dół &&\ strzałka w dół \ \p&\do &U&\do &X\end{macierz}}}$

gdzie ${\ displaystyle E | _ {p}}$ jest n-wymiarową przestrzenią wektorową, powiedzmy, podstawą w ${\ Displaystyle E | _ {p}}$ (który jest podstawą sekcji pakietu mi $\ displaystyle E_ {p} \ top p}$ ) można podnieść do podstawy sekcji $\ Displaystyle E | _ {U} \ do U}$$p}$ dla jakiegoś sąsiedztwa z $displaystyle$ .

W górę i w dół

Główny artykuł: Wchodzenie i schodzenie

Twierdzenie o wchodzeniu w górę jest zasadniczo następstwem lematu Nakayamy. Stwierdza:

• Niech $hookrightarrow S$ integralnym przedłużeniem przemiennych i $}$ pierwszym $\ Displaystyle R$ \ . q ${\ displaystyle {\ mathfrak {q}}}$ w ${\ displaystyle S}$ taki, że $p}}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {q}} \ cap R = {\ mathfrak$ . Ponadto ${\ Displaystyle {\ mathfrak {q}}}$ można wybrać tak, aby zawierał dowolną liczbę pierwszą $Displaystyle$ { $S}$ taką, że ${\ Displaystyle {\ mathfrak {q}} _ {1} \ cap R \ podzbiór {\ mathfrak {p}}}$ .

Epimorfizmy modułów

Lemat Nakayamy precyzuje jeden sens, w którym skończenie generowane moduły na pierścieniu przemiennym są jak przestrzenie wektorowe nad polem. Następująca konsekwencja lematu Nakayamy daje inny sposób, w jaki jest to prawdą:

• Jeśli jest $skończenie$$.$$suriekcyjnym$ i to $_$ _ .

Na lokalnym pierścieniu można powiedzieć więcej o epimorfizmach modułów:

• Załóżmy, że jest lokalnym pierścieniem z maksymalnym ideałem i $\ Displaystyle M$$N}$ , $są$ skończenie generowanymi $\ displaystyle R}$ . Jeśli jest $M$$iloraz$ taką ${\ Displaystyle \ phi _ {\ mathfrak {m}}: M / {\ mathfrak {m}} M \ do N / {\ mathfrak {m}} N} jest suriekcją, więc ϕ {\$ Displaystyle $phi }$ jest suriekcją.

Wersje homologiczne

Lemat Nakayamy ma również kilka wersji w algebrze homologicznej . Powyższe stwierdzenie dotyczące epimorfizmów można wykorzystać do pokazania:

• Niech $skończenie$ generowanym modułem w lokalnym pierścieniu. Wtedy jest $rzutowy wtedy i tylko$ wtedy gdy jest wolny . Można to wykorzystać do obliczenia grupy Grothendiecka dowolnego lokalnego pierścienia $K$ ( $Displaystyle K (R) = \ mathbb {Z}}$ .

Geometrycznym i globalnym odpowiednikiem tego jest twierdzenie Serre-Swana , odnoszące się do modułów rzutowych i spójnych snopów.

Bardziej ogólnie, jeden ma

• Niech będzie $lokalnym$ pierścieniem i skończenie wygenerowanym modułem nad $R$$displaystyle$ } Wtedy rzutowy wymiar nad $jest równy$ długości każdej minimalnej swobodnej rozdzielczości M $M}$$displaystyle$ Co więcej, wymiar rzutowy jest równy wymiarowi globalnemu ${\ displaystyle M}$ , która jest z definicji najmniejszą liczbą całkowitą $ja$ , że

$) = 0.}$

Tutaj jest polem pozostałościowym, a $\$$.$ , $Displaystyle {\ tekst {Tor}}}$ jest funktorem tora

${\ Displaystyle \ operatorname {Tor} _ {i + 1}$

Twierdzenie o funkcji odwrotnej

Lemat Nakayamy służy do udowodnienia wersji twierdzenia o funkcji odwrotnej w geometrii algebraicznej:

• Niech ${\textstyle f: X\to Y}$ będzie morfizmem rzutowym między rozmaitościami quasi-rzutowymi . Wtedy $f}$$iniekcyjna$$jest$ izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy jest bijekcją, różnica dla .

Dowód

Standardowy dowód lematu Nakayamy wykorzystuje następującą technikę dzięki Atiyah i Macdonaldowi (1969) .

• Niech M będzie R -modułem generowanym przez n elementów, a φ: M → M an R - mapa liniowa. Jeśli istnieje ideał I z R taki, że φ( M ) ⊂ IM , to istnieje wielomian moniczny

${\ Displaystyle p (x) = x ^ {n} + p_ {1} x ^ {n-1} + \ cdots + p_ {n}} z$

p k _∈ ja k ^, takie, że

${\ displaystyle p(\varphi )=0}$

jako endomorfizm M .

To twierdzenie jest dokładnie uogólnioną wersją twierdzenia Cayleya-Hamiltona , a dowód przebiega w ten sam sposób. Na generatorach x _i M istnieje relacja postaci

$\ Displaystyle \ varphi (x_ {i}) = \ suma _ {j = 1} ^ {n} a_ {ij} x_ {j}}$

gdzie a _ij ∈ ja . Zatem

${\ Displaystyle \ suma _ {j = 1} ^ {n} \ lewo (\ varphi \ delta _ {ij} -a_ {ij} }\prawo)x_{j}=0.}$

Wymagany wynik następuje po pomnożeniu przez przyporządkowaną macierz (φδ _ij − a _ij ) i powołanie się na regułę Cramera . Znajdziemy wtedy det(φδ _ij − a _ij ) = 0, więc wymagany wielomian to

${\ Displaystyle p (t) = \ det (t \ delta _ {ij} -a_ {ij}).}$

Aby udowodnić lemat Nakayamy z twierdzenia Cayleya-Hamiltona, załóżmy, że IM = M i przyjmijmy, że φ jest tożsamością na M . Następnie zdefiniuj wielomian p ( x ) jak powyżej. Następnie

${\ Displaystyle r = p (1) = 1 + p_ {1} + p_ {2} + \ cdots + p_ {n}}$

posiada wymaganą właściwość.

Przypadek nieprzemienny

Wersja lematu dotyczy prawych modułów nad nieprzemiennymi pierścieniami jednostkowymi R . Powstałe twierdzenie jest czasami znane jako twierdzenie Jacobsona-Azumayi .

Niech J( R ) będzie rodnikiem Jacobsona R . Jeśli U jest modułem prawym na pierścieniu R , a I jest ideałem prawym w R , to zdefiniuj U · I jako zbiór wszystkich (skończonych) sum elementów postaci u · i , gdzie · jest po prostu działanie R na U . Z konieczności U · I jest podmodułem U .

Jeśli V jest maksymalnym podmodułem U , to U / V jest proste . Więc U · J( R ) jest koniecznie podzbiorem V , z definicji J( R ) i faktu, że U / V jest proste. Zatem, jeśli U zawiera co najmniej jeden (właściwy) maksymalny submoduł, to U · J( R ) jest właściwym submodułem U . Jednak nie musi to dotyczyć dowolnych modułów U nad R , ponieważ U nie musi zawierać żadnych maksymalnych podmodułów. Oczywiście, jeśli U jest modułem noetherowskim , to zachodzi. Jeśli R jest noetherowskie, a U jest generowane w sposób skończony , to U jest modułem noetherowskim nad R , a wniosek jest spełniony. Nieco niezwykłe jest to, że słabsze założenie, a mianowicie, że U jest generowane w sposób skończony jako R -moduł (i brak założenia skończoności na R ), jest wystarczający do zagwarantowania wniosku. Jest to zasadniczo stwierdzenie lematu Nakayamy.

Dokładnie, jeden ma:

Lemat Nakayamy : Niech U będzie skończenie wygenerowanym prawym modułem nad (jednostkowym) pierścieniem R . Jeśli U jest niezerowym modułem, to U · J( R ) jest właściwym podmodułem U .

Dowód

Niech $będzie$$, minimalnym w$ podzbiorem $odniesieniu$ do właściwości, . Ponieważ $różny$ od zera, ten zbiór $jest$ . Oznacz każdy element przez ${ \$$x_ {i}}$ dla ${\ Displaystyle i \ w \ {1, \ ldots, n \}}$ . Ponieważ generuje ${\ Displaystyle U}$$,$ ∑ $i} R = U}$ .

Załóżmy, że ${\ Displaystyle U \ cdot \ operatorname {J} (R) = U}$ , aby uzyskać sprzeczność. ${m }u_{s}j_{s}}$$=$ \ Displaystyle dla pewnego ${\ Displaystyle m \ w \ mathbb {N}, \, u_ {s} \ w U, \, j_ {s} \ w \ nazwa operatora {J} (R),\,s=1,\kropki ,m}$ .

u ${\ Displaystyle u_ {s}}$ można dalej rozłożyć jako $u_ {s} = \ suma \ limity _ {i = 1} ^ { n} x_ {i} r_ {i, s}}$ dla pewnego ${\ displaystyle r_ {i, s} \ w R}$ . Dlatego mamy

${\ Displaystyle u = \ suma _ {s = 1} ^ {m} \ lewo (\ suma _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} r_ {i, s} \ prawej) j_ {s} = \sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}\left(\sum _{s=1}^{m}r_{i,s}j_{s}\right)}$ .

Ponieważ $jest$$ideałem$ dwustronnym ${\ Displaystyle \ suma _ {s = 1} ^ {m} r_ {i, s} j_ {s} \ in \ operatorname {J} (R)} dla$ , każdego ${\ Displaystyle i \ in \ {1, \ kropki, n \}}$ i w ten sposób staje się to

${\ Displaystyle u = \ suma _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} k_ {i}}$ dla niektórych ${\ Displaystyle k_ {i} \ w \ operatorname {J} (R)}$ , ${\ Displaystyle i = 1, \ kropki, n}$ .

$u = \ suma _ {i = 1} ^ {n} x_ {i}}$ Displaystyle i stosując rozdzielność, otrzymujemy

${\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} (1-k_ {i}) = 0}$ .

Wybierz trochę ${\ Displaystyle j \ w \ {1, \ kropki, n \}}$ . Gdyby prawy ideał $}$ to byłby zawarty w maksymalnym prawym ideale obu $neq$${\ Displaystyle 1-k_ {j}}$ i ${\ Displaystyle k_ {j}}$ należałby do $zgodnie$$)$ do sprzeczności (zauważ, rodnika Zatem $R = R}$$}}$ ma prawą odwrotność ${\ Displaystyle (1-k_ {j}) ^ {- 1}}$ w ${\ Displaystyle R}$ . Mamy

${\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} (1-k_ {i}) ( 1-k_{j})^{-1}=0}$ .

Dlatego,

${\ Displaystyle \ suma _ {i \ neq j} x_ {i} (1-k_ {i}) (1 -k_{j})^{-1}=-x_{j}}$ .

Tak więc jest liniową kombinacją elementów z $jot$$X \ setminus \ {x_ {j} \}$ . Jest to $sprzeczne$ minimalnością i ustala wynik.

Wersja stopniowana

Istnieje również stopniowana wersja lematu Nakayamy. Niech R będzie pierścieniem, który jest $półgrupę$ uporządkowaną nieujemnych liczb całkowitych i niech oznacza ideał generowany przez dodatnio ocenione elementy. Następnie , jeśli M jest stopniowanym modułem nad R $i wystarczająco$ dla którego dla (w szczególności, jeśli M jest generowany w sposób skończony, R nie zawiera elementów stopnia ujemnego) tak, że $=$$M=0$ M . Of particular importance is the case that R is a polynomial ring with the standard grading, and M is a finitely generated module.

Dowód jest znacznie łatwiejszy niż w przypadku bez stopniowania: biorąc $M_ {i} \$ za najmniejszą liczbę całkowitą taką, że widzimy, że ${\ Displaystyle$ nie pojawiają się w ${\ Displaystyle R_ {+} M}$ , więc albo ${\ Displaystyle M \ neq R_ {+} M}$ , albo takie ja nie istnieje, tj. ${\ Displaystyle M=0}$ .

Zobacz też

• Teoria modułów
• Twierdzenie Serre-Swana

Notatki

• Atiyah, Michael F .; Macdonald, Ian G. (1969), Wprowadzenie do algebry przemiennej , Reading, MA: Addison-Wesley .
•    Azumaya, Goro (1951), „Na algebrach maksymalnie centralnych”, Nagoya Mathematical Journal , 2 : 119–150, doi : 10.1017 / s0027763000010114 , ISSN 0027-7630 , MR 0040287 .
•    Eisenbud, David (1995), Algebra przemienna , Graduate Texts in Mathematics, tom. 150, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-5350-1 , ISBN 978-0-387-94268-1 , MR 1322960
• Griffiths, Phillip ; Harris , Joseph (1994), Zasady geometrii algebraicznej , Wiley Classics Library , New York: John Wiley & Sons   
• Hartshorne, Robin (1977), Geometria algebraiczna , Absolwent Teksty z matematyki, tom. 52, Springer-Verlag .
•   Isaacs, I. Martin (1993), Algebra, kurs podyplomowy (wyd. 1), Brooks / Cole Publishing Company, ISBN 0-534-19002-2
•     Jacobson, Nathan (1945), „Radykalna i pół-prostota dla dowolnych pierścieni”, American Journal of Mathematics , 67 (2): 300–320, doi : 10.2307/2371731 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2371731 , MR 0012271 .
•    Matsumura, Hideyuki (1989), Przemienna teoria pierścieni , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, tom. 8 (wyd. 2), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-36764-6 , MR 1011461 .
•    Nagata, Masayoshi (1975), pierścienie lokalne , Robert E. Krieger Publishing Co., Huntington, NY, ISBN 978-0-88275-228-0 , MR 0460307 .
•    Nakayama, Tadasi (1951), „Uwaga na temat skończenie generowanych modułów”, Nagoya Mathematical Journal , 3 : 139–140, doi : 10.1017 / s0027763000012265 , ISSN 0027-7630 , MR 0043770 .

Spinki do mankietów

• Jak zrozumieć lemat Nakayamy i jego wnioski