W górę i w dół

W algebrze przemiennej , gałęzi matematyki , w górę i w dół to terminy, które odnoszą się do pewnych właściwości łańcuchów ideałów pierwszych w rozszerzeniach całkowych .

Wyrażenie w górę odnosi się do przypadku, gdy łańcuch można wydłużyć przez „ włączenie w górę ”, podczas gdy w dół odnosi się do przypadku, gdy łańcuch można wydłużyć przez „włączenie w dół”.

Głównymi wynikami są twierdzenia Cohena-Seidenberga , które zostały udowodnione przez Irvina S. Cohena i Abrahama Seidenberga . Są one znane jako o wzroście i spadku .

W górę i w dół

Niech A ⊆ B będzie przedłużeniem pierścieni przemiennych .

Twierdzenia o wznoszeniu się i opadaniu dają wystarczające warunki, aby łańcuch ideałów pierwszych w B , którego każdy element leży nad elementami dłuższego łańcucha ideałów pierwszych w A , mógł zostać rozciągnięty na długość łańcucha ideałów pierwszych w A.

Leżenie i nieporównywalność

Najpierw poprawmy trochę terminologię. Jeśli i są ideałami pierwszymi odpowiednio A i B takimi, że p { \ $mathfrak$ ${p}}}$

{\ Displaystyle {\ mathfrak {q}} \ czapka A = {\ mathfrak {p}}}

(zwróć uwagę, że ${\ Displaystyle {\ mathfrak {q}} \ cap A}$ ${\ mathfrak {q}}}$ automatycznie ideałem pierwszym A ) wtedy mówimy, że leży pod ${\ mathfrak {p}}}$ $displaystyle$ i leży nad ${\ displaystyle {\ mathfrak {q}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ } Ogólnie mówi się, że przedłużenie pierścienia A ⊆ B pierścieni przemiennych spełnia właściwość leżenia jeśli każdy ideał pierwszy z $}$ leży pod jakimś ideałem pierwszym z B . $\ mathfrak {p}$ { }

$, że$ rozszerzenie A ⊆ B spełnia właściwość nieporównywalności $,$ jeśli i ilekroć różnymi liczbami pierwszymi B leżącymi nad liczbą ${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ w ZA , a następnie ${\ Displaystyle {\ mathfrak {q}}}$ ⊈ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {q}} '}$ i ${\ Displaystyle {\ mathfrak {q}} '}$ ⊈ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {q}}$ }

Idąc w górę

rozszerzenie pierścienia A ⊆ B spełnia własność wznoszącą się, jeśli kiedykolwiek

{\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {1} \ subseteq {\ mathfrak {p}} _ {2} \ subseteq \! \! \; \ cdots \ cdots \cdots \!\!\,\subseteq {\mathfrak {p}}_{n}}

jest łańcuchem ideałów pierwszych A i

{\ Displaystyle {\ mathfrak {q}} _ {1} \ subseteq {\ mathfrak {q}} _ {2} \ subseteq \ cdots \ subseteq {\ mathfrak {q}} _{M}}

jest łańcuchem ideałów pierwszych ${i} }$ { \ displaystyle { \ mathfrak { $}$ dla 1 ≤ i ≤ m , to ten drugi łańcuch może być przedłużony do łańcucha

{\ Displaystyle {\ mathfrak {q}} _ {1} \ subseteq {\ mathfrak {q}} _ {2} \ subseteq \ cdots \ subseteq {\ mathfrak {q}}_ {m}\subseteq \cdots \subseteq {\mathfrak {q}}_{n}}

q $} _$ ${i}}$ } leży na każdym 1 ≤ ≤ n

W ( Kaplansky 1970 ) pokazano, że jeśli przedłużenie A ⊆ B spełnia właściwość wznoszenia się, to spełnia również właściwość leżenia.

Schodząc

rozszerzenie pierścienia A ⊆ B spełnia właściwość malejącą, jeśli kiedykolwiek

{\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {1} \ supseteq {\ mathfrak {p}} _ {2} \ supseteq \! \! \; \ cdots \ cdots \cdots \!\!\,\supseteq {\mathfrak {p}}_{n}}

jest łańcuchem ideałów pierwszych A i

{\ Displaystyle {\ mathfrak {q}} _ {1} \ supseteq {\ mathfrak {q}} _ {2} \ supseteq \ cdots \ supseteq {\ mathfrak {q}} _{M}}

jest łańcuchem ideałów pierwszych ${i} }$ { \ displaystyle { \ mathfrak { $}$ dla 1 ≤ i ≤ m , to ten drugi łańcuch może być przedłużony do łańcucha

{\ Displaystyle {\ mathfrak {q}} _ {1} \ supseteq {\ mathfrak {q}} _ {2} \ supseteq \ cdots \ supseteq {\ mathfrak {q}}_ {m}\supseteq \cdots \supseteq {\mathfrak {q}}_{n}}

q ${q}} _$ \ ${i}}$ leży nad każdym 1 ≤ n .

Istnieje uogólnienie przypadku rozszerzenia pierścienia z morfizmami pierścieni. Niech f : A → B będzie (jednostkowym) homomorfizmem pierścienia , tak że B jest przedłużeniem pierścienia f ( A ). Wtedy f spełnia własność rosnącą , jeśli właściwość rosnąca zachodzi dla f ( A ) w B .

Podobnie, jeśli B jest przedłużeniem pierścienia f ( A ), to mówi się, że f spełnia właściwość malejącą , jeśli właściwość malejąca zachodzi dla f ( A ) w B .

W przypadku zwykłych rozszerzeń pierścieni, takich jak A ⊆ B , mapa inkluzji jest mapą odpowiednią.

Twierdzenia o ruchu w górę iw dół

Zwykłe stwierdzenia twierdzeń o wzroście i spadku odnoszą się do rozszerzenia pierścienia A ⊆ B :

(Idąc w górę) Jeśli B jest integralnym przedłużeniem A , to rozszerzenie spełnia właściwość wchodzenia w górę (a zatem właściwość leżenia) oraz właściwość nieporównywalności.
(schodząc) Jeśli B jest całkowitym przedłużeniem A , a B jest dziedziną, a A jest całkowicie domknięty w swoim ciele ułamków, to rozszerzenie (oprócz wzlotu, leżenia i nieporównywalności) spełnia -własność w dół.

Istnieje jeszcze jeden warunek wystarczający dla spadku własności:

Jeśli A ⊆ B jest płaskim przedłużeniem pierścieni przemiennych, to zachodzi właściwość malejąca.

Dowód : Niech p ₁ ⊆ p ₂ będzie ideałem pierwszym A i niech q ₂ będzie ideałem pierwszym B takim, że q ₂ ∩ A = p ₂ . Chcemy udowodnić, że istnieje ideał pierwszy q ₁ z B zawarty w q ₂ taki, że q ₁ ∩ A = p ₁ . Ponieważ A ⊆ B jest płaskim przedłużeniem pierścieni, stąd A _{p ₂} ⊆ B _{q ₂} jest płaskim przedłużeniem pierścieni. W rzeczywistości A _{p ₂} ⊆ B _{q ₂} jest wiernie płaskim rozszerzeniem pierścieni, ponieważ mapa inkluzji A _{p ₂} → B _{q ₂} jest lokalnym homomorfizmem. Dlatego indukowana mapa na widmach Spec( B _{q ₂} ) → Spec( A _{p ₂} ) jest suriekcją i istnieje ideał pierwszy Bq _{_{2 , który skraca} się} do ideału pierwszego p ₁ A _{p ₂} z A _{p ₂} . Skróceniem tego ideału pierwszego B q _{2 _do} B jest ideałem pierwszym q ₁ B zawartym w q ₂ , który sprowadza się do p ₁ . Dowód jest kompletny. CO BYŁO DO OKAZANIA

Atiyah, MF i IG Macdonald , Wprowadzenie do algebry przemiennej , Perseus Books, 1969, ISBN 0-201-00361-9 MR 242802
Winfrieda Brunsa; Jürgen Herzog, Pierścienie Cohena-Macaulaya . Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 39. Cambridge University Press, Cambridge, 1993. xii + 403 s. ISBN 0-521-41068-1
Cohen, IS; Seidenberg, A. (1946). „Pierwsze ideały i integralna zależność” . Byk. Amer. Matematyka soc . 52 (4): 252–261. doi : 10.1090/s0002-9904-1946-08552-3 . MR 0015379 .
Kaplansky, Irving , Pierścienie przemienne , Allyn i Bacon, 1970.
Matsumura, Hideyuki (1970). Algebra przemienna . WA Beniamin. ISBN 978-0-8053-7025-6 .
Ostry, RY (2000). „13 Całkowa zależność od podpierścieni (13.38 Twierdzenie o wzroście, s. 258–259; 13.41 Twierdzenie o zjeździe w dół, s. 261–262)”. Kroki algebry przemiennej . Teksty studenckie London Mathematical Society. Tom. 51 (wyd. Drugie). Cambridge: Cambridge University Press. s. XII + 355. ISBN 0-521-64623-5 . MR 1817605 .