Podpierścień

W matematyce podpierścień R jest podzbiorem pierścienia , który sam jest pierścieniem, gdy binarne operacje dodawania i mnożenia na R są ograniczone do podzbioru i który ma tę samą multiplikatywną tożsamość co R . Dla tych, którzy definiują pierścienie bez wymogu istnienia tożsamości multiplikatywnej, podpierścień R jest po prostu podzbiorem R , który jest pierścieniem dla operacji R (oznacza to, że zawiera addytywną tożsamość R ). Ten ostatni daje ściśle słabszy warunek, nawet dla pierścieni, które mają tożsamość multiplikatywną, tak że na przykład wszystkie ideały stają się podpierścieniami (i mogą mieć tożsamość multiplikatywną różną od tożsamości R ). Z definicją wymagającą multiplikatywnej tożsamości (która jest używana w tym artykule), jedynym ideałem R , który jest podpierścieniem R , jest samo R.

Definicja

Podpierścień pierścienia ( R , +, ∗, 0, 1) to podzbiór S z R , który zachowuje strukturę pierścienia, tj. pierścień ( S , +, ∗, 0, 1) z S ⊆ R . Równoważnie jest to zarówno podgrupa ( R +, 0), , jak i podmonoid ( R , ∗, 1) .

Przykłady

Pierścień i jego ilorazy $nie mają$ $podpierścieni$ pełnym pierścieniem.

Każdy pierścień ma unikalny najmniejszy podpierścień, izomorficzny z jakimś pierścieniem, $n jest$ nieujemną liczbą całkowitą charakterystyka . Liczby całkowite $\mathbb {Z}$ n = = 0 in this statement, since $\mathbb {Z}$ is isomorphic to $\mathbb {Z} /0\mathbb {Z}$ .

Test podpierścienia

Test podpierścieni to twierdzenie , które stwierdza, że dla dowolnego pierścienia R podzbiór S z R jest podpierścieniem wtedy i tylko wtedy, gdy jest domknięty przy mnożeniu i odejmowaniu oraz zawiera multiplikatywną tożsamość R .

Na przykład pierścień Z liczb całkowitych jest podpierścieniem ciała liczb rzeczywistych , a także podpierścieniem pierścienia wielomianów Z [ X ].

Przedłużenia pierścienia

Jeśli S jest podpierścieniem pierścienia R , to równoważnie mówi się, że R jest przedłużeniem pierścienia S , zapisywanym jako R / S w notacji podobnej do tej dla rozszerzeń ciał .

Subring generowany przez zestaw

Niech R będzie pierścieniem. Każde przecięcie podpierścieni R jest ponownie podpierścieniem R . Dlatego, jeśli X jest dowolnym podzbiorem R , przecięcie wszystkich podpierścieni R zawierających X jest podpierścieniem S z R . S jest najmniejszym podpierścieniem R zawierającym X . („Najmniejszy” oznacza, że jeśli T jest jakimkolwiek innym podpierścieniem R zawierającym X , to S jest zawarty w T .) Mówi się, że S jest podpierścieniem R generowanym przez X . Jeśli S = R, możemy powiedzieć, że pierścień R jest generowany przez X .

Stosunek do ideałów

Właściwymi ideałami są podpierścienie (bez jedności), które są domknięte przy mnożeniu zarówno w lewo, jak iw prawo przez elementy R .

Jeśli pominie się wymaganie, aby pierścienie miały element jedności, to podpierścienie muszą być tylko niepuste i poza tym zgodne ze strukturą pierścienia, a ideały stają się podpierścieniami. Ideały mogą, ale nie muszą, mieć własną multiplikatywną tożsamość (różniącą się od tożsamości pierścienia):

Ideał I = {( z ,0) | z w Z } pierścienia Z × Z = {( x , y ) | x , y w Z } ze składnikowym dodawaniem i mnożeniem ma tożsamość (1,0), różną od tożsamości (1,1) pierścienia. Więc I jest pierścieniem z jednością i „podpierścieniem-bez-jedności”, ale nie „podpierścieniem-z-jednością” Z × Z .
Właściwe ideały Z nie mają multiplikatywnej tożsamości.

Jeśli I jest ideałem pierwszym pierścienia przemiennego R , to przecięcie I z dowolnym podpierścieniem S z R pozostaje w S . W tym przypadku mówi się, że I leży nad I ∩ S . Sytuacja jest bardziej skomplikowana, gdy R nie jest przemienne.

Profil według przemiennych podpierścieni

Pierścień może być profilowany ^{[ wymagane wyjaśnienie ]} na podstawie różnorodności podpierścieni przemiennych , które zawiera:

Pierścień kwaternionów H zawiera tylko płaszczyznę zespoloną jako płaski podpierścień
coquaternion zawiera trzy typy przemiennych planarnych podpierścieni: podwójną płaszczyznę liczbową , płaszczyznę liczb zespolonych z podziałem , a także zwykłą płaszczyznę zespoloną
Pierścień rzeczywistych macierzy 3 × 3 zawiera również trójwymiarowe przemienne podpierścienie generowane przez macierz identyczności i nilpotentny ε rzędu 3 (εεε = 0 ≠ εε). Na przykład grupę Heisenberga można zrealizować jako połączenie grup jednostek dwóch z tych podpierścieni nilpotentnych generowanych przez macierze 3 × 3.

Zobacz też

Ian T. Adamson (1972). Elementarne pierścienie i moduły . Uniwersyteckie teksty matematyczne . Olivera i Boyda. s. 14–16. ISBN 0-05-002192-3 .
Strona 84 Lang, Serge (1993), Algebra (wyd. Trzecie), Reading, Massachusetts: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0 , Zbl 0848.13001
Davida Sharpe'a (1987). Pierścienie i faktoryzacja . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge . s. 15–17 . ISBN 0-521-33718-6 .