domena GCD

W matematyce dziedzina NWD jest domeną integralną R z tą właściwością, że dowolne dwa elementy mają największy wspólny dzielnik (NWD); tj. istnieje unikalny minimalny ideał główny zawierający ideał generowany przez dwa dane elementy. Równoważnie, dowolne dwa elementy R mają najmniejszą wspólną wielokrotność (LCM).

Dziedzina GCD uogólnia unikalną domenę faktoryzacji (UFD) na ustawienie nienoetherowskie w następującym sensie: domena całkowa jest UFD wtedy i tylko wtedy, gdy jest domeną GCD spełniającą warunek łańcucha wstępującego na głównych ideałach (a w szczególności jeśli jest noetherowski ).

Domeny GCD pojawiają się w następującym łańcuchu inkluzji klas :

rngs ⊃ pierścienie ⊃ pierścienie przemienne ⊃ domeny całkowe ⊃ domeny całkowo zamknięte ⊃ domeny NWD ⊃ dziedziny rozkładu na czynniki pierwsze ⊃ dziedziny głównych ideałów ⊃ domeny euklidesowe ⊃ pola ⊃ ciała algebraicznie domknięte

Nieruchomości

Każdy nieredukowalny element dziedziny GCD jest liczbą pierwszą . Dziedzina GCD jest całkowicie domknięta , a każdy element niezerowy jest pierwotny . Innymi słowy, każda domena GCD jest domeną Schreiera .

Dla każdej pary elementów x , y dziedziny GCD R , NWD d x i y oraz LCM m x i y można wybrać tak, że dm = xy , lub inaczej, jeśli x i y są elementami niezerowymi i d jest dowolnym NWD d x i y , wtedy xy / d jest LCM x i y i odwrotnie. Wynika z tego, że operacje NWD i LCM czynią iloraz R /~ siatką rozdzielczą , gdzie „~” oznacza relację równoważności bycia elementami stowarzyszonymi . Równoważność między istnieniem GCD a istnieniem LCM nie jest konsekwencją podobnego wyniku na pełnych sieciach , ponieważ iloraz R / ~ nie musi być kompletną siecią dla domeny R w GCD . ^{[ potrzebne źródło ]}

Jeśli R jest domeną GCD, to pierścień wielomianowy R [ X ₁ ,..., X _n ] jest również domeną GCD.

R jest dziedziną GCD wtedy i tylko wtedy, gdy skończone przecięcia jej głównych ideałów są główne. W szczególności $a) \ cap (b) = (c)}$ ${\ displaystyle b}$ , gdzie jest LCM i $}$ ${\ Displaystyle a$ .

W przypadku wielomianu w X w dziedzinie GCD można zdefiniować jego zawartość jako NWD wszystkich jego współczynników. Wtedy zawartość iloczynu wielomianów jest iloczynem ich zawartości, co wyraża lemat Gaussa , który obowiązuje w dziedzinach GCD.

Przykłady

Unikalną domeną faktoryzacji jest domena GCD. Wśród domen GCD unikalne domeny faktoryzacji to dokładnie te domeny, które są również domenami atomowymi (co oznacza, że istnieje co najmniej jedna faktoryzacja na elementy nieredukowalne dla dowolnej niezerowej jednostki).
Dziedzina Bézouta (tj. dziedzina integralna, w której każdy skończenie wygenerowany ideał jest głównym) jest dziedziną GCD. W przeciwieństwie do głównych domen idealnych (gdzie każdy ideał jest główny), domena Bézouta nie musi być unikalną domeną faktoryzacji; na przykład pierścień całych funkcji jest nieatomową domeną Bézouta i istnieje wiele innych przykładów. Domena integralna jest Prüfer GCD wtedy i tylko wtedy, gdy jest domeną Bézout.
Jeśli R jest nieatomową domeną GCD, to R [ X ] jest przykładem domeny GCD, która nie jest ani unikalną domeną faktoryzacji (ponieważ jest nieatomowa), ani domeną Bézouta (ponieważ X i nieodwracalna i niezerowy element a z R generuje ideał niezawierający 1, ale mimo to 1 jest NWD z X i a ); bardziej ogólnie dowolny pierścień R [ X ₁ ,..., X _n ] ma te właściwości.
Przemienny ${\ Displaystyle R [X; S]}$ monoidalny R jest domeną GCD, jeśli ${\ displaystyle R}$ jest domeną GCD, a ${\ displaystyle S}$ jest pozbawioną skręcania znoszącą półgrupą GCD. Półgrupa GCD to półgrupa z dodatkową właściwością, że dla każdej $półgrupie$ ${$ $\$ $}$ b istnieje taka że ${\ Displaystyle (a + S) \ czapka (b + S) = c + S}$ . W szczególności, jeśli $jest$ grupą abelową , $[X; G]}$ $\ Displaystyle$ jest domeną GCD, jeśli jest domeną GCD i $.$ wolna od skręcania
Pierścień nie jest domeną GCD dla wszystkich liczb całkowitych bez kwadratów $]$ $\ mathbb {Z} [{\ sqrt {-d}}$ }

^ Anderson, DD (2000). „Domeny GCD, lemat Gaussa i zawartość wielomianów”. W Chapman, Scott T.; Glaz, Sarah (red.). Nienoetherowska przemienna teoria pierścieni . Matematyka i jej zastosowanie . Tom. 520. Dordrecht: Wydawcy akademiccy Kluwer. s. 1–31. doi : 10.1007/978-1-4757-3180-4_1 . MR 1858155 .
^ dowód, że domena gcd jest integralnie zamknięta , PlanetMath.org
^ Robert W. Gilmer, Przemienne pierścienie półgrupowe , University of Chicago Press, 1984, s. 172.
^ Ali, Majid M.; Smith, David J. (2003), „Uogólnione pierścienie GCD. II” , Beiträge zur Algebra und Geometrie , 44 (1): 75–98, MR 1990985 . P. 84: „Łatwo zauważyć, że domena integralna jest domeną Prüfer GCD wtedy i tylko wtedy, gdy jest to domena Bezout, i że domena Prüfer nie musi być domeną GCD”.
Bibliografia _ Parker, Tom (1973), „Właściwości podzielności w pierścieniach półgrup” , Michigan Mathematical Journal , 22 (1): 65–86, MR 0342635 .
^ Mihet, Dorel (2010), „Uwaga na temat nieunikalnych domen faktoryzacji (UFD)” , Resonance , 15 (8): 737–739 .

[1] Anderson, DD (2000). „Domeny GCD, lemat Gaussa i zawartość wielomianów”. W Chapman, Scott T.; Glaz, Sarah (red.). Nienoetherowska przemienna teoria pierścieni . Matematyka i jej zastosowanie . Tom. 520. Dordrecht: Wydawcy akademiccy Kluwer. s. 1–31. doi : 10.1007/978-1-4757-3180-4_1 . MR 1858155 .

[2] wód, że domena gcd jest integralnie zamknięta , PlanetMath.org

[3] Robert W. Gilmer, Przemienne pierścienie półgrupowe , University of Chicago Press, 1984, s. 172.

[4] Ali, Majid M.; Smith, David J. (2003), „Uogólnione pierścienie GCD. II” , Beiträge zur Algebra und Geometrie , 44 (1): 75–98, MR 1990985 . P. 84: „Łatwo zauważyć, że domena integralna jest domeną Prüfer GCD wtedy i tylko wtedy, gdy jest to domena Bezout, i że domena Prüfer nie musi być domeną GCD”.

[5] Bibliografia _ Parker, Tom (1973), „Właściwości podzielności w pierścieniach półgrup” , Michigan Mathematical Journal , 22 (1): 65–86, MR 0342635 .

[6] Mihet, Dorel (2010), „Uwaga na temat nieunikalnych domen faktoryzacji (UFD)” , Resonance , 15 (8): 737–739 .