Transcendentalna teoria liczb

Transcendentalna teoria liczb to gałąź teorii liczb , która bada liczby przestępne (liczby, które nie są rozwiązaniami żadnego równania wielomianowego o współczynnikach wymiernych ), zarówno pod względem jakościowym, jak i ilościowym.

Transcendencja

Główny artykuł: liczba transcendentalna

Podstawowe twierdzenie algebry mówi nam, że jeśli mamy niestały wielomian o współczynnikach wymiernych (lub równoważnie, usuwając mianowniki , ze współczynnikami całkowitymi ), to wielomian ten będzie miał pierwiastek w liczbach zespolonych . Oznacza to, że dla niestałego wielomianu współczynnikach wymiernych będzie taka liczba zespolona, ​​że ​​P ${\ displaystyle$$P }$${\ Displaystyle P (\ alfa) = 0}$ . $P$ transcendencji dotyczy odwrotnego pytania: czy biorąc pod uwagę liczbę zespoloną $że$${\ Displaystyle P (\ alfa) = 0?}$ wielomian o współczynnikach wymiernych takich, Jeśli taki wielomian nie istnieje, to liczbę nazywamy transcendentalną.

Mówiąc bardziej ogólnie, teoria zajmuje się algebraiczną niezależnością liczb. Zbiór liczb {α ₁ , α ₂ , …, α _n } nazywamy algebraicznie niezależnym względem ciała K , jeśli nie ma niezerowego wielomianu P w n zmiennych o współczynnikach w K takich, że P (α ₁ , α ₂ , …, α _n ) = 0. Zatem ustalenie, czy dana liczba jest przestępna, jest w rzeczywistości szczególnym przypadkiem niezależności algebraicznej, gdzie n = 1, a pole K jest ciałem liczb wymiernych .

Powiązanym pojęciem jest to, czy istnieje wyrażenie w postaci zamkniętej dla liczby, w tym wykładniki i logarytmy, a także operacje algebraiczne. Istnieją różne definicje „formy zamkniętej”, a pytania dotyczące formy zamkniętej często można sprowadzić do pytań o transcendencję.

Historia

Aproksymacja za pomocą liczb wymiernych: Liouville do Rotha

Użycie terminu transcendentalny w odniesieniu do obiektu, który nie jest algebraiczny, sięga XVII wieku, kiedy Gottfried Leibniz udowodnił, że funkcja sinus nie jest funkcją algebraiczną . Kwestia, czy pewne klasy liczb mogą być transcendentalne, sięga 1748 r., Kiedy Euler stwierdził, że log liczb a b nie jest algebraiczny _dla liczb wymiernych aib , pod warunkiem , że b nie ma postaci b = a ^c dla jakiegoś wymiernego c .

Twierdzenie Eulera zostało udowodnione dopiero w XX wieku, ale prawie sto lat po jego twierdzeniu Josephowi Liouville udało się udowodnić istnienie liczb, które nie są algebraiczne, co do tej pory nie było pewne. Jego oryginalne artykuły na ten temat z lat czterdziestych XIX wieku naszkicowały argumenty wykorzystujące ułamki ciągłe do konstruowania liczb przestępnych. Później, w latach pięćdziesiątych XIX wieku, podał warunek konieczny , aby liczba była algebraiczna, a tym samym warunek wystarczający, aby liczba była przestępna. To kryterium transcendencji nie było wystarczająco silne, aby było również konieczne, i rzeczywiście nie wykrywa tej liczby e jest transcendentalne. Ale jego praca dostarczyła większej klasy liczb transcendentalnych, obecnie znanych jako liczby Liouville'a na jego cześć.

Kryterium Liouville'a zasadniczo mówiło, że liczb algebraicznych nie można bardzo dobrze aproksymować liczbami wymiernymi. Więc jeśli liczba może być bardzo dobrze przybliżona przez liczby wymierne, to musi być transcendentalna. Dokładne znaczenie „bardzo dobrze przybliżone” w pracy Liouville'a odnosi się do pewnego wykładnika. Pokazał, że jeśli α jest liczbą algebraiczną stopnia d ≥ 2, a ε jest dowolną liczbą większą od zera, to wyrażenie

${\ Displaystyle \ lewo | \ alfa - {\ Frac {p} {q}} \ prawo | < {\ Frac {1} {q ^ {d + \ varepsilon}}}}$

może być spełniony tylko przez skończenie wiele liczb wymiernych p / q . Używanie tego jako kryterium transcendencji nie jest trywialne, ponieważ trzeba sprawdzić, czy istnieje nieskończenie wiele rozwiązań p / q dla każdego d ≥ 2.

W dwudziestowiecznych pracach Axela Thue , Carla Siegela i Klausa Rotha zredukowano wykładnik w pracy Liouville'a z d + ε do d /2 + 1 + ε, a ostatecznie w 1955 r. do 2 + ε. Ten wynik, znany jako twierdzenie Thue-Siegel-Roth , jest pozornie najlepszy z możliwych, ponieważ jeśli wykładnik 2 + ε zostanie zastąpiony tylko przez 2, to wynik nie jest już prawdziwy. Jednak Serge Lang przypuszczał poprawę wyniku Rotha; w szczególności przypuszczał, że q ^2+ε w mianowniku po prawej stronie można zredukować do ${\ Displaystyle q ^ {2} (\ log q) ^ {1+ \ epsilon}}$ .

Praca Rotha skutecznie zakończyła pracę rozpoczętą przez Liouville'a, a jego twierdzenie pozwoliło matematykom udowodnić transcendencję wielu innych liczb, takich jak stała Champernowne'a . Twierdzenie wciąż nie jest jednak wystarczająco mocne, aby wykryć wszystkie liczby przestępne, a wiele słynnych stałych, w tym e i π, albo nie jest, albo nie jest dobrze aproksymowalnych w powyższym sensie.

Funkcje pomocnicze: Hermite do Baker

Na szczęście w XIX wieku opracowano pionierskie metody radzenia sobie z algebraicznymi właściwościami e , aw konsekwencji π poprzez tożsamość Eulera . Praca ta koncentrowała się na wykorzystaniu tzw. funkcji pomocniczej . Są to funkcje , które zazwyczaj mają wiele zer w rozważanych punktach. Tutaj „wiele zer” może oznaczać wiele różnych zer lub tylko jedno zero, ale z dużą krotnością , lub nawet wiele zer, wszystkie z dużą krotnością. Karol Hermit użył funkcji pomocniczych, które przybliżały funkcje dla każdej liczby naturalnej , aby udowodnić transcendencję mi $\ displaystyle e$$e }$$\ displaystyle$ w 1873 roku. Jego praca została oparta na mi k x przez Ferdinanda von Lindemanna w latach osiemdziesiątych XIX wieku w celu udowodnienia, że ​​e ^α jest transcendentalne dla niezerowych liczb algebraicznych α. W szczególności dowiodło to, że π jest transcendentalne, ponieważ e ^{π i} jest algebraiczny, a tym samym odpowiedział przecząco na problem starożytności , czy możliwe było kwadraturę koła . Karl Weierstrass rozwinął swoją pracę jeszcze dalej i ostatecznie udowodnił twierdzenie Lindemanna – Weierstrassa w 1885 roku.

W 1900 roku David Hilbert przedstawił swój słynny zbiór problemów . Siódmy z nich i jeden z najtrudniejszych w ocenie Hilberta dotyczył transcendencji liczb postaci a ^b , gdzie a i b są algebraiczne, a nie jest zerem ani jedynką, a b jest niewymierne . W latach trzydziestych XX wieku Alexander Gelfond i Theodor Schneider udowodnił, że wszystkie takie liczby są rzeczywiście transcendentalne, używając niewyraźnej funkcji pomocniczej, której istnienie zostało potwierdzone lematem Siegela . Wynik ten, twierdzenie Gelfonda – Schneidera , udowodnił transcendencję liczb, takich jak e ^π i stała Gelfonda – Schneidera .

Kolejny duży wynik w tej dziedzinie nastąpił w latach 60. XX wieku, kiedy Alan Baker poczynił postępy w rozwiązaniu problemu postawionego przez Gelfonda na temat form liniowych w logarytmach . Sam Gelfond zdołał znaleźć nietrywialną dolną granicę ilości

${\ Displaystyle |\ beta _ {1} \ log \ alfa _ {1} + \ beta _ {2} \ log \ alfa _ {2} | \,}$

gdzie wszystkie cztery niewiadome są algebraiczne, α nie jest ani zerem, ani jedynką, a β jest niewymierne. Jednak znalezienie podobnych dolnych granic dla sumy trzech lub więcej logarytmów umknęło Gelfondowi. Dowód twierdzenia Bakera zawierał takie granice, rozwiązując przy okazji problem numeracji klas Gaussa dla klasy numer jeden. Ta praca zdobyła medal Baker the Fields za jej zastosowanie w rozwiązywaniu równań diofantycznych . Z czysto transcendentalnego punktu widzenia teorii liczb Baker udowodnił, że jeśli α ₁ , ..., α _n są liczbami algebraicznymi, żadna z nich nie jest równa zeru ani jedynki, a β ₁ ​​, ..., β _n są liczbami algebraicznymi takimi, że 1, β ₁ , ..., β _n są liniowo niezależne od liczb wymiernych, to liczba

${\ Displaystyle \ alfa _ {1} ^ {\ beta _ {1}} \ alfa _ {2} ^ {\ beta _ {2}} \ cdots \ alfa _{n}^{\beta_{n}}}$

jest transcendentalny.

Inne techniki: Cantor i Zilber

W latach siedemdziesiątych XIX wieku Georg Cantor zaczął rozwijać teorię mnogości iw 1874 roku opublikował artykuł dowodzący , że liczby algebraiczne można umieścić w korespondencji jeden do jednego ze zbiorem liczb naturalnych , a zatem zbiór liczb przestępnych musi być niepoliczalnym . Później, w 1891 roku, Cantor użył swojego bardziej znanego argumentu diagonalnego aby udowodnić ten sam wynik. Chociaż wynik Cantora jest często cytowany jako czysto egzystencjalny, a zatem bezużyteczny do konstruowania pojedynczej liczby przestępnej, dowody w obu wyżej wymienionych artykułach podają metody konstruowania liczb przestępnych.

Podczas gdy Cantor użył teorii mnogości, aby udowodnić pełnię liczb przestępnych, niedawnym osiągnięciem było wykorzystanie teorii modeli do prób udowodnienia nierozwiązanego problemu w transcendentalnej teorii liczb. Problem polega na określeniu stopnia transcendencji pola

${\ Displaystyle K = \ mathbb {Q} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}, e ^ {x_ {1}},\ldkropki ,e^{x_{n}})}$

dla liczb zespolonych x ₁ , ..., x _n liniowo niezależnych od liczb wymiernych. Stephen Schanuel przypuszczał , że odpowiedź brzmi co najmniej n , ale żaden dowód nie jest znany. Jednak w 2004 roku Boris Zilber opublikował artykuł, w którym wykorzystał techniki teorii modeli do stworzenia struktury, która zachowuje się bardzo podobnie do liczb zespolonych wyposażone w operacje dodawania, mnożenia i potęgowania. Co więcej, w tej abstrakcyjnej strukturze przypuszczenie Schanuela rzeczywiście się sprawdza. Niestety nie wiadomo jeszcze, czy ta struktura jest w rzeczywistości taka sama jak liczby zespolone z wymienionymi operacjami; może istnieć jakaś inna abstrakcyjna struktura, która zachowuje się bardzo podobnie do liczb zespolonych, ale w której hipoteza Schanuela się nie sprawdza. Zilber przedstawił kilka kryteriów, które dowiodłyby, że omawiana struktura to C , ale nie mógł udowodnić tak zwanego aksjomatu silnego domknięcia wykładniczego. Od tego czasu udowodniono najprostszy przypadek tego aksjomatu, ale do zakończenia dowodu hipotezy wymagany jest dowód, że jest on w pełni powszechny.

Podchodzi do

Typowym problemem w tej dziedzinie matematyki jest ustalenie, czy dana liczba jest przestępna. Cantor użył argumentu liczności , aby pokazać, że istnieje tylko policzalnie wiele liczb algebraicznych, a zatem prawie wszystkie liczby są przestępne. Liczby transcendentalne reprezentują zatem typowy przypadek; mimo to udowodnienie, że dana liczba jest transcendentalna (lub nawet po prostu irracjonalna), może być niezwykle trudne.

Z tego powodu teoria transcendencji często zmierza w kierunku podejścia bardziej ilościowego. Mając więc określoną liczbę zespoloną α, można zapytać, jak blisko α jest liczba algebraiczna. Na przykład, jeśli założy się, że liczba α jest algebraiczna, to czy można wykazać, że musi ona mieć bardzo wysoki stopień lub minimalny wielomian o bardzo dużych współczynnikach? Ostatecznie, jeśli można wykazać, że żaden skończony stopień lub rozmiar współczynnika nie jest wystarczający, to liczba musi być transcendentalna. Ponieważ liczba α jest przestępna wtedy i tylko wtedy, gdy P (α) ≠ 0 dla każdego niezerowego wielomianu P ze współczynnikami całkowitymi można podejść do tego problemu, próbując znaleźć dolne granice postaci

${\ Displaystyle | P (a) |> F (A, d)}$

gdzie prawa strona jest pewną dodatnią funkcją zależną od pewnej miary A wielkości współczynników P i jej stopnia d , i taką, że te dolne granice mają zastosowanie do wszystkich P ≠ 0. Takie ograniczenie nazywa się miarą transcendencji .

Przypadek d = 1 dotyczy „klasycznego” przybliżenia diofantycznego z prośbą o dolne granice dla

${\ displaystyle | topór + b |}$ .

Metody teorii transcendencji i aproksymacji diofantycznej mają wiele wspólnego: obie wykorzystują pojęcie funkcji pomocniczej .

Główne wyniki

Gelfonda – Schneidera było głównym postępem w teorii transcendencji w latach 1900–1950. W latach sześćdziesiątych XX wieku metoda Alana Bakera dotycząca form liniowych w logarytmach liczb algebraicznych ożywiła teorię transcendencji, z zastosowaniami do wielu klasycznych problemów i równań diofantycznych .

Klasyfikacja Mahlera

Kurt Mahler w 1932 roku podzielił liczby przestępne na 3 klasy, zwane S , T i U. Definicja tych klas opiera się na rozszerzeniu idei liczby Liouville'a (cyt. powyżej).

Miara niewymierności liczby rzeczywistej

Jednym ze sposobów zdefiniowania liczby Liouville'a jest rozważenie, jak mała dana liczba rzeczywista x tworzy wielomiany liniowe | qx − p | bez robienia z nich dokładnie 0. Tutaj p , q są liczbami całkowitymi z | p |, | q | ograniczony przez dodatnią liczbę całkowitą H .

Niech będzie minimalną niezerową wartością bezwzględną, którą przyjmują te wielomiany i przyjmują: ${\ Displaystyle m (x, 1, H)}$

${\ Displaystyle \ omega (x, 1, H) = - {\ Frac {\ log m (x, 1, H. )}{\log H}}}$

${\ Displaystyle \ omega (x, 1) = \ limsup _ {H \ do \ infty} \, \ omega (x, 1, H).}$

ω( x , 1) jest często nazywane miarą niewymierności liczby rzeczywistej x . Dla liczb wymiernych ω( x , 1) = 0 i wynosi co najmniej 1 dla niewymiernych liczb rzeczywistych. Zdefiniowano liczbę Liouville'a, która ma nieskończoną miarę irracjonalności. Twierdzenie Rotha mówi, że niewymierne rzeczywiste liczby algebraiczne mają miarę niewymierności 1.

Miara transcendencji liczby zespolonej

Następnie rozważ wartości wielomianów o liczbie zespolonej x , gdy te wielomiany mają współczynniki całkowite, stopień co najwyżej n i wysokość co najwyżej H , gdzie n , H jest dodatnimi liczbami całkowitymi.

Niech ${\ Displaystyle m (x, n, H)}$ będzie minimalną niezerową wartością bezwzględną, którą takie wielomiany przyjmują w ${\ Displaystyle x}$ i przyjmują: m ( x , n , H. ) {\ Displaystyle m (x, n, H)}

${\ Displaystyle \ omega (x, n, H) = - {\ Frac {\ log m (x, n, H)}{n\log H}}}$

${\ Displaystyle \ omega (x, n) = \ limsup _ {H \ do \ infty} \, \ omega (x, n, H).}$

Załóżmy, że jest to nieskończone dla pewnej minimalnej dodatniej liczby całkowitej n . Liczba zespolona x w tym przypadku nazywana jest liczbą U stopnia n .

Teraz możemy zdefiniować

${\ Displaystyle \ omega (x) = \ limsup _ {n \ do \ infty} \, \ omega (x, n).}$

ω( x ) jest często nazywane miarą transcendencji x . Jeśli ω( x , n ) są ograniczone, to ω( x ) jest skończone, a x nazywamy liczbą S . Jeśli ω( x , n ) są skończone , ale nieograniczone, x nazywamy liczbą T. x jest algebraiczne wtedy i tylko wtedy, gdy ω( x ) = 0.

Oczywiście liczby Liouville'a są podzbiorem liczb U. William LeVeque w 1953 roku skonstruował liczby U o dowolnym stopniu. Liczby Liouville'a , a więc i liczby U, są zbiorami nieprzeliczalnymi. Są to zbiory o mierze 0.

Liczby T obejmują również zbiór miary 0. Wykazanie ich istnienia zajęło około 35 lat. Wolfgang M. Schmidt w 1968 roku wykazał, że istnieją przykłady. Jednak prawie wszystkie liczby zespolone to liczby S. Mahler udowodnił, że funkcja wykładnicza wysyła wszystkie niezerowe liczby algebraiczne do liczb S: pokazuje to, że e jest liczbą S i daje dowód transcendencji π . Wiadomo, że ta liczba π nie jest liczbą U. Wiele innych liczb transcendentalnych pozostaje niesklasyfikowanych.

Dwie liczby x , y nazywane są algebraicznie zależnymi , jeśli istnieje niezerowy wielomian P w dwóch nieoznaczonych o współczynnikach całkowitych takich, że P ( x , y ) = 0. Istnieje potężne twierdzenie, że dwie liczby zespolone, które są algebraicznie zależne, należą do ta sama klasa Mahlera. Pozwala to na konstruowanie nowych liczb przestępnych, takich jak suma liczby Liouville'a z e lub π .

Symbol S prawdopodobnie oznaczał nazwisko nauczyciela Mahlera, Carla Ludwiga Siegela , a T i U to tylko dwie kolejne litery.

Równoważna klasyfikacja Koksmy

Jurjen Koksma w 1939 roku zaproponował inną klasyfikację opartą na aproksymacji liczbami algebraicznymi.

Rozważ przybliżenie liczby zespolonej x liczbami algebraicznymi stopnia ≤ n i wysokości ≤ H . Niech α będzie taką liczbą algebraiczną tego skończonego zbioru, że | x − α| ma minimalną wartość dodatnią. Zdefiniuj ω*( x , H , n ) i ω*( x , n ) przez:

${\ Displaystyle | x- \ alfa |= H ^ {- n \ omega ^ {*} (x, H, n) -1}.} ω$

${\ Displaystyle \ omega ^ {*} (x, n) = \ limsup _ {H \ do \ infty} \, \ omega ^ {*} (x, n, H).}$

Jeśli dla najmniejszej dodatniej liczby całkowitej n , ω*( x , n ) jest nieskończone, x nazywamy U*-liczbą stopnia n .

Jeśli ω*( x , n ) są ograniczone i nie zbiegają się do 0, x nazywamy liczbą S* ,

Liczba x nazywana jest liczbą A*, jeśli ω*( x , n ) zbiegają się do 0.

Jeśli wszystkie ω*( x , n ) są skończone, ale nieograniczone, x nazywamy liczbą T* ,

Klasyfikacje Koksmy i Mahlera są równoważne, ponieważ dzielą liczby przestępne na te same klasy. Liczby A* to liczby algebraiczne.

Konstrukcja LeVeque'a

Pozwalać

${\ Displaystyle \ lambda = {\ tfrac {1} {3}} + \ suma _ {k = 1} ^ {\ infty} 10 ^ {- k!}.}$

Można wykazać, że n- ty pierwiastek z λ (liczba Liouville'a) jest liczbą U stopnia n .

Tę konstrukcję można ulepszyć, aby stworzyć niepoliczalną rodzinę liczb U stopnia n . Niech Z będzie zbiorem składającym się z każdej innej potęgi 10 w powyższym szeregu dla λ. Zbiór wszystkich podzbiorów Z jest nieprzeliczalny. Usunięcie dowolnego podzbioru Z z szeregu dla λ tworzy niezliczoną liczbę różnych liczb Liouville'a, których n- te pierwiastki są liczbami U stopnia n .

Typ

Supremum ciągu {ω( x , n )} nazywamy typem . Prawie wszystkie liczby rzeczywiste są liczbami S typu 1, co jest wartością minimalną dla liczb rzeczywistych S. Prawie wszystkie liczby zespolone to liczby S typu 1/2, co również jest minimalne. Twierdzenia dotyczące prawie wszystkich liczb zostały wymyślone przez Mahlera, aw 1965 roku udowodnione przez Vladimira Sprindzhuka.

Otwarte problemy

Chociaż twierdzenie Gelfonda-Schneidera dowiodło, że duża klasa liczb jest przestępna, klasa ta nadal była policzalna. Wiele dobrze znanych stałych matematycznych nadal nie jest znanych jako transcendentalne, aw niektórych przypadkach nie wiadomo nawet, czy są one racjonalne, czy irracjonalne. Częściową listę można znaleźć tutaj .

Głównym problemem w teorii transcendencji jest wykazanie, że określony zbiór liczb jest algebraicznie niezależny, a nie tylko pokazanie, że poszczególne elementy są transcendentalne. Więc chociaż wiemy, że e i π są transcendentalne, nie oznacza to, że e + π jest transcendentalne, ani inne kombinacje tych dwóch (z wyjątkiem e ^π , stałej Gelfonda , który jest znany jako transcendentalny). Innym poważnym problemem jest radzenie sobie z liczbami, które nie są związane z funkcją wykładniczą. Główne wyniki teorii transcendencji zwykle obracają się wokół e i funkcji logarytmicznej, co oznacza, że ​​​​całkowicie nowe metody są zwykle wymagane do radzenia sobie z liczbami, których nie można wyrazić w kategoriach tych dwóch obiektów w elementarny sposób.

Hipoteza Schanuela rozwiązałaby w pewnym sensie pierwszy z tych problemów, ponieważ dotyczy niezależności algebraicznej i rzeczywiście potwierdziłaby, że e + π jest transcendentalne. Jednak nadal obraca się wokół funkcji wykładniczej, więc niekoniecznie dotyczy liczb, takich jak stała Apéry'ego lub stała Eulera-Mascheroniego . Kolejnym niezwykle trudnym nierozwiązanym problemem jest tak zwany problem stałej lub tożsamościowej .

Notatki

•    Piekarz, Alan (1975). Transcendentalna teoria liczb . wydanie w miękkiej oprawie 1990. Cambridge University Press . ISBN 0-521-20461-5 . Zbl 0297.10013 .
•   Gelfond, AO (1960). Liczby transcendentalne i algebraiczne . Dover. Zbl 0090.26103 .
•   Lang, Serge (1966). Wprowadzenie do liczb transcendentalnych . Addison-Wesley. Zbl 0144.04101 .
•   Natarajan, Saradha [po francusku] ; Thangadurai, Ravindranathan (2020). Filary transcendentalnej teorii liczb . Springer Verlag . ISBN 978-981-15-4154-4 .
•   Sprindzuk, Władimir G. (1969). Problem Mahlera w metrycznej teorii liczb (1967) . AMS Tłumaczenia monografii matematycznych. Przetłumaczył z rosyjskiego B. Volkmann. Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne . ISBN 978-1-4704-4442-6 .
•    Sprindzuk, Władimir G. (1979). Metryczna teoria przybliżeń diofantycznych . Seria Scripta w matematyce. Przetłumaczone z rosyjskiego przez Richarda A. Silvermana. Przedmowa Donalda J. Newmana. Wiley'a . ISBN 0-470-26706-2 . Zbl 0482.10047 .

Dalsza lektura

•   Alan Baker i Gisbert Wüstholz , Formy logarytmiczne i geometria diofantyczna , Nowe monografie matematyczne 9 , Cambridge University Press, 2007, ISBN 978-0-521-88268-2