Stała Gelfonda-Schneidera

Gelfonda -Schneidera lub liczba Hilberta wynosi dwa do potęgi pierwiastka kwadratowego z dwóch :

2 ^{√ 2} = 2,665 144 142 690 225 188 650 297 249 8731 ...

która została udowodniona jako liczba przestępna przez Rodiona Kuźmina w 1930 r. W 1934 r. Aleksandr Gelfond i Theodor Schneider niezależnie udowodnili bardziej ogólne twierdzenie Gelfonda-Schneidera , które rozwiązało część siódmego problemu Hilberta opisanego poniżej.

Nieruchomości

Pierwiastek kwadratowy ze stałej Gelfonda-Schneidera to liczba przestępna

{\ Displaystyle {\ sqrt {2 ^ {\ sqrt {2}}}} = {\ sqrt {2}} ^ {\ sqrt {2}} =}

1,632 526 919 438 152 844 77 . ...

Tej samej stałej można użyć do udowodnienia, że „irracjonalność podniesiona do irracjonalnej potęgi może być racjonalna”, nawet bez uprzedniego udowodnienia jej transcendencji. Dowód przebiega w następujący sposób: albo $racjonalny , co dowodzi$ , albo jest irracjonalny (jak się okazuje) i Następnie

{\ Displaystyle \ lewo ({\ sqrt {2}} ^ {\ sqrt {2}} \ prawej) ^ {\ sqrt {2}} = {\ sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}\times {\sqrt {2}}}={\sqrt {2}}^{2}=2}

jest irracjonalna do irracjonalnej potęgi, która jest racjonalna, co dowodzi twierdzenia. Dowód nie jest konstruktywny , ponieważ nie mówi, który z dwóch przypadków jest prawdziwy, ale jest znacznie prostszy niż dowód Kuźmina .

Siódmy problem Hilberta

Częścią siódmego z dwudziestu trzech problemów Hilberta postawionych w 1900 roku było udowodnienie lub znalezienie kontrprzykładu dla twierdzenia, że a ^b jest zawsze transcendentalne dla algebraicznego a ≠ 0, 1 i irracjonalnego algebraicznego b . W przemówieniu podał dwa wyraźne przykłady, z których jednym jest stała Gelfonda-Schneidera 2 ^{√ 2} .

W 1919 r. wygłosił wykład z teorii liczb i przedstawił trzy hipotezy: hipotezę Riemanna , ostatnie twierdzenie Fermata i transcendencję 2 ^{√ 2} . Wspomniał publiczności, że nie spodziewał się, że ktokolwiek na sali będzie żył wystarczająco długo, aby zobaczyć dowód tego wyniku. Ale dowód transcendencji tej liczby został opublikowany przez Kuźmina w 1930 roku, jeszcze za życia Hilberta . Mianowicie Kuzmin udowodnił przypadek, w którym wykładnik b jest rzeczywistą kwadratową irracjonalną liczbą niewymierną , która została później rozszerzona na dowolną algebraiczną irracjonalność b przez Gelfonda i Schneidera.

Zobacz też

Stała Gelfonda

Dalsza lektura

Ribenboim, Paulo (2000). Moje liczby, moi przyjaciele: popularne wykłady z teorii liczb . Uniwersytekst. Springer-Verlag . ISBN 0-387-98911-0 . Zbl 0947.11001 .
Tijdeman, Robert (1976). „O metodzie Gel'fond-Baker i jej zastosowaniach”. W Felix E. Browder (red.). Rozwój matematyczny wynikający z problemów Hilberta . Proceedings of Symposia in Pure Mathematics . Tom. XXVIII.1. Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne . s. 241–268. ISBN 0-8218-1428-1 . Zbl 0341.10026 .