Lemat Siegela

W matematyce , szczególnie w transcendentalnej teorii liczb i przybliżeniu diofantycznym , lemat Siegela odnosi się do granic rozwiązań równań liniowych uzyskanych przez konstrukcję funkcji pomocniczych . Istnienie tych wielomianów zostało udowodnione przez Axela Thue ; Dowód Thue wykorzystywał zasadę pudełka Dirichleta . Carl Ludwig Siegel opublikował swój lemat w 1929 roku. Jest to czyste twierdzenie o istnieniu dla a układ równań liniowych .

Lemat Siegela został udoskonalony w ostatnich latach, aby uzyskać ostrzejsze granice oszacowań podanych przez lemat.

Oświadczenie

Załóżmy, że mamy dany układ M równań liniowych z N niewiadomymi takimi, że N > M , powiedzmy

${\ Displaystyle a_ {11} X_ {1} + \ cdots + a_ {1N} X_ {N} = 0}$

${\ Displaystyle \ cdots}$

${\ Displaystyle a_ {M1} X_ {1} + \ cdots + a_ {MN} X_ {N} = 0}$

gdzie współczynniki są wymiernymi liczbami całkowitymi, nie wszystkie są równe 0, i są ograniczone przez B . System ma wtedy rozwiązanie

${\ Displaystyle (X_ {1}, X_ {2}, \ kropki, X_ {N})}$

z X s wszystkie liczby całkowite wymierne, nie wszystkie 0, i ograniczone przez

${\ Displaystyle (NB) ^ {M / (NM)}.}$

Bombieri i Vaaler (1983) podali następującą ostrzejszą granicę dla X :

${\ Displaystyle \ max | X_ {j} | \ \ równoważnik \ lewo (D ^ {- 1}} {\ sqrt {\ det ( AA^{T}}}}\right)^{\!1/(NM)}}$

gdzie D jest największym ^wspólnym dzielnikiem M × M mniejszych macierzy A , a AT jest jej transpozycją . Ich dowód polegał na zastąpieniu zasady przegródki technikami z geometrii liczb .

Zobacz też

• Przybliżenie diofantyczne

•   Bombieri, E.; Vaaler, J. (1983). „O lemacie Siegela”. Inventiones Mathematicae . 73 (1): 11–32. Bibcode : 1983InMat..73...11B . doi : 10.1007/BF01393823 . S2CID 121274024 .
•    Hidry, Marc; Silverman, Joseph H. (2000). Geometria diofantyczna . Absolwent Teksty z matematyki. Tom. 201. Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-98981-5 . MR 1745599 .
• Wolfganga M. Schmidta . Przybliżenie diofantyczne . Notatki z wykładu z matematyki 785. Springer. (1980 [1996 z niewielkimi poprawkami]) (strony 125-128 i 283-285)
• Wolfganga M. Schmidta. „Rozdział I: Lemat i wysokości Siegela” (strony 1–33). Przybliżenia diofantyczne i równania diofantyczne , notatki z wykładów z matematyki, Springer Verlag 2000.