Problem z numerem klasy

W matematyce problem liczb klas Gaussa ( dla urojonych pól kwadratowych ), jak zwykle rozumiany, polega na zapewnieniu dla każdego n ≥ 1 pełnej listy urojonych pól kwadratowych ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {d}})}$ (dla ujemnych liczb całkowitych d ) o numerze klasy n . Nosi imię Carla Friedricha Gaussa . Można to również określić w kategoriach wyróżników . Istnieją powiązane pytania dotyczące rzeczywistych pól kwadratowych i zachowania jako ${\ displaystyle d \ to - \ infty}$ .

Trudność polega na efektywnym obliczeniu granic: dla danego dyskryminatora łatwo jest obliczyć numer klasy, a istnieje kilka nieefektywnych dolnych granic numeru klasy (co oznacza, że obejmują one stałą, która nie jest obliczana), ale efektywne granice ( i wyraźne dowody kompletności list) są trudniejsze.

Oryginalne przypuszczenia Gaussa

Disquisitiones Arithmeticae Gaussa z 1801 r. (Sekcja V, art. 303 i 304).

Gauss omawia urojone pola kwadratowe w artykule 303, podając pierwsze dwa przypuszczenia, i omawia rzeczywiste pola kwadratowe w artykule 304, podając trzecie przypuszczenie.

Hipoteza Gaussa (numer klasy dąży do nieskończoności): ${\ Displaystyle h (d) \ do \ infty {\ text {as}} d \ do - \ infty.}$
Problem z liczbą klas Gaussa (listy z niskimi numerami klas): Dla danego niskiego numeru klasy (takiego jak 1, 2 i 3 ), Gauss podaje wykazy urojonych pól kwadratowych z podanym numerem klasy i uważa je za kompletne.
Nieskończenie wiele rzeczywistych ciał kwadratowych pierwszej klasy: Gauss przypuszcza, że istnieje nieskończenie wiele rzeczywistych ciał kwadratowych pierwszej klasy.

Pierwotny problem liczb klas Gaussa dla wyimaginowanych pól kwadratowych jest znacznie inny i łatwiejszy niż współczesne stwierdzenie: ograniczył się on do dyskryminatorów parzystych i dopuścił dyskryminatory niefundamentalne.

Status

Rozwiązana
hipoteza Gaussa , Heilbronn, 1934.
Listy numerów niskich klas: Klasa numer 1: rozwiązana, Baker (1966), Stark (1967), Heegner (1952).; Klasa nr 2: rozwiązana, Baker (1971), Stark (1971); Klasa nr 3: rozwiązana, Oesterlé (1985); Numery klas h do 100: rozwiązana, Watkins 2004
Nieskończenie wiele rzeczywistych ciał kwadratowych z klasą numer jeden: Otwarta.

Listy wyróżników klasy nr 1

Dla urojonych kwadratowych pól liczbowych (podstawowymi) wyróżnikami klasy 1 są:

{\ Displaystyle d = -3, -4, -7, -8, -11, - 19,-43,-67,-163.}

Niefundamentalnymi wyróżnikami klasy 1 są:

{\ Displaystyle d = -12, -16, -27, -28.}

Zatem parzyste wyróżniki klasy nr 1, fundamentalne i niefundamentalne (oryginalne pytanie Gaussa) to:

{\ Displaystyle d = -4, -8, -12, -16, -28.}

Nowoczesne rozwiązania

W 1934 roku Hans Heilbronn udowodnił hipotezę Gaussa. Równoważnie, dla dowolnego numeru klasy istnieje tylko skończenie wiele pól liczb urojonych kwadratowych z tym numerem klasy.

Również w 1934 roku Heilbronn i Edward Linfoot wykazali, że istnieje co najwyżej 10 urojonych kwadratowych pól liczbowych o klasie numer 1 (9 znanych i co najwyżej jedno kolejne). Wynik był nieefektywny (patrz efektywne wyniki w teorii liczb ): nie dawał ograniczeń co do wielkości pozostałego pola.

W późniejszych opracowaniach przypadek n = 1 został po raz pierwszy omówiony przez Kurta Heegnera , używając form modułowych i równań modułowych , aby pokazać, że takie pole nie może istnieć. Ta praca nie została początkowo przyjęta; dopiero późniejsze prace Harolda Starka i Bryana Bircha (np. na temat twierdzenia Starka-Heegnera i liczby Heegnera ) zostały wyjaśnione i praca Heegnera zrozumiana. Praktycznie jednocześnie Alan Baker udowodnił to, co obecnie znamy jako twierdzenie Bakera o postaciach liniowych w logarytmach liczb algebraicznych , co rozwiązało problem zupełnie inną metodą. Przypadek n = 2 został rozwiązany wkrótce potem, przynajmniej w zasadzie, jako zastosowanie pracy Bakera.

Pełna lista urojonych pól kwadratowych z klasą numer jeden to ${\ Displaystyle \ mathbf {Q} ({\ sqrt {k}})}$ z k jednym z

{\ Displaystyle -1, -2, -3, -7, -11, -19, -43 ,-67,-163.}

Ogólny przypadek czekał na odkrycie Doriana Goldfelda w 1976 r., Że problem liczby klas można powiązać z funkcjami L krzywych eliptycznych . To skutecznie zredukowało kwestię efektywnego wyznaczania do kwestii ustalenia istnienia wielokrotności zera takiej L-funkcji. Dzięki dowodowi twierdzenia Grossa-Zagiera w 1986 r. Pełną listę urojonych pól kwadratowych o danym numerze klasy można było określić za pomocą skończonych obliczeń. Wszystkie przypadki do n = 100 zostały obliczone przez Watkinsa w 2004 r. Pełna lista numerów klas (sekwencja A202084 w OEIS )

Prawdziwe pola kwadratowe

Kontrastujący przypadek rzeczywistych pól kwadratowych jest bardzo różny i wiadomo o wiele mniej. Dzieje się tak dlatego, że tym, co wchodzi do wzoru analitycznego na numer klasy, nie jest h , sam numer klasy — ale h log ε , gdzie ε jest jednostką podstawową . Ten dodatkowy czynnik jest trudny do kontrolowania. Równie dobrze może się zdarzyć, że klasa numer 1 dla rzeczywistych pól kwadratowych występuje nieskończenie często.

Heurystyki Cohena-Lenstry to zbiór dokładniejszych przypuszczeń na temat struktury grup klas pól kwadratowych. Przewidują, że dla pól rzeczywistych około 75,45% pól uzyskanych przez dołączenie pierwiastka kwadratowego z liczby pierwszej będzie miało klasę numer 1, co jest wynikiem zgodnym z obliczeniami.

Zobacz też

Lista pól liczbowych z klasą numer jeden

Notatki

Goldfeld, Dorian (lipiec 1985), „Problem liczby klas Gaussa dla urojonych pól kwadratowych” (PDF) , Biuletyn Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego , 13 (1): 23–37, doi : 10.1090 / S0273-0979-1985-15352 -2
Heegner, Kurt (1952), "Diophantische Analysis und Modulfunktionen", Mathematische Zeitschrift , 56 (3): 227–253, doi : 10.1007/BF01174749 , MR 0053135 , S2CID 120109035
Cohen, Henri (1993), Kurs obliczeniowej algebraicznej teorii liczb , Berlin: Springer , ISBN 978-3-540-55640-4
Baker, Alan (1990), Transcendentalna teoria liczb , Cambridge Mathematical Library (wyd. 2), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-39791-9 , MR 0422171

Linki zewnętrzne

Weisstein, Eric W. „Problem liczbowy klas Gaussa” . MathWorld .