Punkt Heegnera
W matematyce punkt Heegnera jest punktem na krzywej modułowej , która jest obrazem kwadratowego wyimaginowanego punktu górnej półpłaszczyzny . Zostały one zdefiniowane przez Bryana Bircha i nazwane na cześć Kurta Heegnera , który wykorzystał podobne pomysły, aby udowodnić hipotezę Gaussa o wyimaginowanych polach kwadratowych klasy numer jeden.
Twierdzenie Grossa-Zagiera
Grossa – Zagiera ( Gross i Zagier 1986 ) opisuje wysokość punktów Heegnera w kategoriach pochodnej funkcji L krzywej eliptycznej w punkcie s = 1. W szczególności, jeśli krzywa eliptyczna ma (analityczny) stopień 1 , to punkty Heegnera można wykorzystać do skonstruowania racjonalnego punktu na krzywej nieskończonego porządku (więc grupa Mordella-Weila ma rangę co najmniej 1). Mówiąc bardziej ogólnie, Gross, Kohnen i Zagier (1987) wykazali, że punkty Heegnera można wykorzystać do konstruowania punktów wymiernych na krzywej dla każdej dodatniej liczby całkowitej n , a wysokościami tych punktów były współczynniki formy modułowej o wadze 3/2. Shou-Wu Zhang uogólnił twierdzenie Grossa-Zagiera z krzywych eliptycznych na przypadek modułowych rozmaitości abelowych (Zhang 2001 , 2004 , Yuan , Zhang & Zhang 2009 ).
Hipoteza Bircha i Swinnertona-Dyera
Kolyvagin później użył punktów Heegnera do skonstruowania systemów Eulera i wykorzystał to do udowodnienia większości hipotezy Bircha-Swinnertona-Dyera dla krzywych eliptycznych stopnia 1. Brown udowodnił hipotezę Bircha-Swinnertona-Dyera dla większości krzywych eliptycznych rzędu 1 na globalnych polach o dodatniej charakterystyce ( Brown 1994 ).
Obliczenie
Punkty Heegnera można wykorzystać do obliczenia bardzo dużych punktów wymiernych na krzywych eliptycznych rzędu 1 (patrz ( Watkins 2006 ) w celu zapoznania się z ankietą), których nie można znaleźć metodami naiwnymi. Implementacje algorytmu są dostępne w Magmie , PARI/GP i Sage .
- Birch, B. (2004), „Punkty Heegnera: początki”, w: Darmon, Henri ; Zhang, Shou-Wu (red.), Heegner Points and Rankin L-Series (PDF) , Mathematical Sciences Research Institute Publications, tom. 49, Cambridge University Press, s. 1–10, doi : 10.1017/CBO9780511756375.002 , ISBN 0-521-83659-X , MR 2083207 .
- Brown, ML (2004), moduły Heegnera i krzywe eliptyczne , notatki z wykładów z matematyki, tom. 1849, Springer-Verlag, doi : 10.1007/b98488 , ISBN 3-540-22290-1 , MR 2082815 .
- Darmon, Henri; Zhang, Shou-Wu, wyd. (2004), Heegner points and Rankin L-series , Mathematical Sciences Research Institute Publications, tom. 49, Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9780511756375 , ISBN 978-0-521-83659-3 , MR 2083206
- Gross, Benedykt H .; Zagier, Don B. (1986), „Punkty Heegnera i pochodne serii L”, Inventiones Mathematicae , 84 (2): 225–320, Bibcode : 1986 InMat..84..225G , doi : 10.1007/BF01388809 , MR 0833192 , S2CID 125716869 .
- Gross, Benedykt H .; Kohnen, Winfried; Zagier, Don (1987), „Punkty Heegnera i pochodne serii L. II”, Mathematische Annalen , 278 (1–4): 497–562, doi : 10.1007 / BF01458081 , MR 0909238 , S2CID 121652706 .
- Heegner, Kurt (1952), "Diophantische Analysis und Modulfunktionen", Mathematische Zeitschrift , 56 (3): 227-253, doi : 10.1007/BF01174749 , MR 0053135 , S2CID 120109035 .
- Watkins, Mark (2006), Kilka uwag na temat obliczeń punktowych Heegnera , arXiv : math.NT/0506325v2 .
- Brown, Mark (1994), „O przypuszczeniu Tate'a dla powierzchni eliptycznych nad polami skończonymi”, Proc. Matematyka Londynu. soc. , 69 (3): 489–514, doi : 10.1112/plms/s3-69.3.489 .
- Yuan, Xinyi ; Zhang, Shou-Wu; Zhang, Wei (2009), „Twierdzenie Grossa – Kohnena – Zagiera nad całkowicie rzeczywistymi polami”, Compositio Mathematica , 145 (5): 1147–1162, doi : 10.1112 / S0010437X08003734 , S2CID 17981061 .
- Zhang, Shou-Wu (2001), „Formuła Grossa-Zagiera dla GL2”, Asian Journal of Mathematics , 5 (2): 183–290, doi : 10.4310/AJM.2001.v5.n2.a1 .
- Zhang, Shou-Wu (2004), „Wzór Grossa – Zagiera dla GL (2) II” , w: Darmon, Henri ; Zhang, Shou-Wu (red.), Heegner points and Rankin L-series , Mathematical Sciences Research Institute Publications , tom. 49, Cambridge University Press , s. 191–214, doi : 10.1017/CBO9780511756375 , ISBN 978-0-521-83659-3 , MR 2083206 .