Lista pól liczbowych z klasą numer jeden

To jest niepełna lista pól liczbowych z klasą numer 1.

Uważa się, że istnieje nieskończenie wiele takich pól liczbowych, ale nie zostało to udowodnione.

Definicja

Numer klasy pola liczbowego jest z definicji rzędem idealnej grupy klas jej pierścienia liczb całkowitych .

Zatem pole liczbowe ma klasę numer 1 wtedy i tylko wtedy, gdy jego pierścień liczb całkowitych jest domeną głównego ideału (a zatem unikalną dziedziną faktoryzacji ). Podstawowe twierdzenie arytmetyki mówi, że Q ma klasę numer 1.

Kwadratowe pola liczbowe

Są one postaci K = Q ( √ d ), dla liczby całkowitej d bez kwadratów .

Prawdziwe pola kwadratowe

K nazywa się rzeczywistym kwadratem, jeśli d > 0. K ma numer klasy 1 dla następujących wartości d (sekwencja A003172 w OEIS ):

2*, 3, 5*, 6, 7, 11, 13*, 14, 17*, 19, 21, 22, 23, 29*, 31, 33, 37*, 38, 41*, 43, 46, 47 , 53*, 57, 59, 61*, 62, 67, 69, 71, 73*, 77, 83, 86, 89*, 93, 94, 97*, ...

(dokończyć do d = 100)

*: Wąski numer klasy to również 1 (patrz powiązana sekwencja A003655 w OEIS).

Pomimo tego, co wydaje się mieć miejsce w przypadku tych małych wartości, nie wszystkie liczby pierwsze, które są przystające do 1 modulo 4, pojawiają się na tej liście, w szczególności pola Q ( √ d ) dla d = 229 i d = 257 mają numer klasy większy niż 1 (w rzeczywistości równy 3 w obu przypadkach). Zakłada się, że gęstość takich liczb pierwszych, dla których Q ( √ d ) ma klasę 1, jest różna od zera, aw rzeczywistości bliska 76%, jednak nie wiadomo nawet, czy istnieje nieskończenie wiele rzeczywistych pól kwadratowych o klasie 1.

Wyimaginowane pola kwadratowe

K ma klasę numer 1 dokładnie dla 9 następujących ujemnych wartości d :

-1, -2, -3, -7, -11, -19, -43, -67, -163.

(Z definicji wszystkie one również mają wąski numer klasy 1.)

Pola sześcienne

Całkowicie prawdziwe pole sześcienne

Pierwsze 60 całkowicie rzeczywistych pól sześciennych (uporządkowanych według dyskryminatora ) ma klasę numer jeden. Innymi słowy, wszystkie sześcienne pola dyskryminatora między 0 a 1944 (włącznie) mają klasę numer jeden. Następne całkowicie rzeczywiste pole sześcienne (z dyskryminatora 1957) ma klasę numer dwa. Wielomiany definiujące całkowicie rzeczywiste pola sześcienne, które mają wyróżniki mniejsze niż 500 z klasą numer jeden, to:

x ³ − x ² − 2 x + 1 (wyróżnik 49)
x ³ − 3 x − 1 (wyróżnik 81)
x ³ − x ² − 3 x + 1 (wyróżnik 148)
x ³ − x ² − 4 x − 1 (wyróżnik 169)
x ³ − 4 x − 1 (wyróżnik 229)
x ³ − x ² − 4 x + 3 (wyróżnik 257)
x ³ − x ² − 4 x + 2 (wyróżnik 316)
x ³ − x ² − 4 x + 1 (wyróżnik 321)
x ³ − x ² − 6 x + 7 (wyróżnik 361)
x ³ − x ² − 5 x − 1 (wyróżnik 404)
x ³ − x ² − 5 x + 4 (wyróżnik 469)
x ³ − 5 x − 1 (wyróżnik 473)

Złożone pole sześcienne

Wszystkie złożone ciała sześcienne z wyróżnikiem większym niż -500 mają klasę numer jeden, z wyjątkiem pól z wyróżnikami -283, -331 i -491, które mają numer klasy 2. Rzeczywisty pierwiastek wielomianu dla -23 jest odwrotnością liczby plastycznej (zanegowane), podczas gdy dla -31 jest odwrotnością superzłotego podziału . Wielomiany definiujące złożone pola sześcienne, które mają klasę numer jeden i dyskryminator większy niż -500, to:

x ³ - x ² + 1 (wyróżnik -23)
x ³ + x − 1 (wyróżnik −31)
x ³ − x ² + x + 1 (wyróżnik −44)
x ³ + 2 x − 1 (wyróżnik −59)
x ³ − 2 x − 2 (wyróżnik −76)
x ³ − x ² + x − 2 (wyróżnik −83)
x ³ − x ² + 2 x + 1 (wyróżnik −87)
x ³ − x − 2 (wyróżnik −104)
x ³ − x ² + 3 x − 2 (wyróżnik −107)
x ³ - 2 (wyróżnik -108)
x ³ − x ² − 2 (wyróżnik −116)
x ³ + 3 x − 1 (wyróżnik −135)
x ³ − x ² + x + 2 (wyróżnik −139)
x ³ + 2 x − 2 (wyróżnik −140)
x ³ − x ² − 2 x − 2 (wyróżnik −152)
x ³ − x ² − x + 3 (wyróżnik −172)
x ³ − x ² + 2 x − 3 (wyróżnik −175)
x ³ − x ² + 4 x − 1 (wyróżnik −199)
x ³ − x ² + 2 x + 2 (wyróżnik −200)
x ³ − x ² + x − 3 (wyróżnik −204)
x ³ − 2 x − 3 (wyróżnik −211)
x ³ − x ² + 4 x − 2 (wyróżnik −212)
x ³ + 3 x − 2 (wyróżnik −216)
x ³ − x ² + 3 (wyróżnik −231)
x ³ − x − 3 (wyróżnik −239)
x ³ - 3 (wyróżnik -243)
x ³ + x − 6 (wyróżnik −244)
x ³ + x − 3 (wyróżnik −247)
x ³ − x ² − 3 (wyróżnik −255)
x ³ − x ² − 3 x + 5 (wyróżnik −268)
x ³ − x ² − 3 x − 3 (wyróżnik −300)
x ³ − x ² + 3 x + 2 (wyróżnik −307)
x ³ − 3 x − 4 (wyróżnik −324)
x ³ − x ² − 2 x − 3 (wyróżnik −327)
x ³ − x ² + 4 x + 1 (wyróżnik −335)
x ³ − x ² − x + 4 (wyróżnik −339)
x ³ + 3 x − 3 (wyróżnik −351)
x ³ - x ² + x + 7 (wyróżnik -356)
x ³ + 4 x − 2 (wyróżnik −364)
x ³ − x ² + 2 x + 3 (wyróżnik −367)
x ³ - x ² + x - 4 (wyróżnik -379)
x ³ − x ² + 5 x − 2 (wyróżnik −411)
x ³ − 4 x − 5 (wyróżnik −419)
x ³ - x ² + 8 (wyróżnik -424)
x ³ − x − 8 (wyróżnik −431)
x ³ + x − 4 (wyróżnik −436)
x ³ − x ² − 2 x + 5 (wyróżnik −439)
x ³ + 2 x − 8 (wyróżnik −440)
x ³ − x ² − 5 x + 8 (wyróżnik −451)
x ³ + 3 x − 8 (wyróżnik −459)
x ³ − x ² + 5 x − 3 (wyróżnik −460)
x ³ − 5 x − 6 (wyróżnik −472)
x ³ − x ² + 4 x + 2 (wyróżnik −484)
x ³ − x ² + 3 x + 3 (wyróżnik −492)
x ³ + 4 x − 3 (wyróżnik −499)

Pola cyklotomiczne

Poniżej znajduje się pełna lista n , dla których pole Q (ζ _n ) ma klasę numer 1:

od 1 do 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 40, 42, 44, 45, 48, 50, 54, 60, 66, 70, 84, 90.

Z drugiej strony wiadomo, że maksymalne rzeczywiste subpola Q (cos(2π/2 ⁿ )) pól cyklotomicznych o 2 potęgach Q (ζ _{2 ⁿ} ) (gdzie n jest dodatnią liczbą całkowitą) mają numer klasy 1 dla n ≤ 8 i przypuszcza się, że mają klasę numer 1 dla wszystkich n . Weber wykazał, że pola te mają nieparzysty numer klasy. W 2009 roku Fukuda i Komatsu wykazali, że numery klas tych pól nie mają czynnika pierwszego mniejszego niż 10 ⁷ , a później poprawili to ograniczenie do 10 ⁹ . Te pola to n -te warstwy cyklotomii Z ₂ -przedłużenie Q . Również w 2009 roku Morisawa wykazał, że numery klas warstw cyklotomicznego Z ₃ -przedłużenia Q nie mają czynnika pierwszego mniejszego niż 10 ⁴ . Coates postawił pytanie, czy dla wszystkich liczb pierwszych p każda warstwa cyklotomicznego Zp _- przedłużenia Q ma klasę numer 1. ^{[ Potrzebne źródło ]}

pola CM

Jednoczesne uogólnienie przypadku urojonych pól kwadratowych i pól cyklotomicznych to przypadek pola CM K , czyli całkowicie urojonego kwadratowego rozszerzenia całkowicie rzeczywistego pola . W 1974 roku Harold Stark przypuszczał, że istnieje skończenie wiele pól CM klasy 1. Pokazał, że istnieje skończenie wiele pól o ustalonym stopniu. Niedługo potem Andrew Odlyzko wykazał, że istnieje tylko skończenie wiele pól Galois CM klasy 1. W 2001 roku V. Kumar Murty wykazało, że ze wszystkich ciał CM, których domknięcie Galois ma rozwiązywalną grupę Galois, tylko skończenie wiele ma klasę numer 1.

Pełna lista 172 abelowych pól CM klasy 1 została określona na początku lat 90. przez Kena Yamamurę i jest dostępna na stronach 915–919 jego artykułu na ten temat. Połączenie tej listy z pracą Stéphane'a Louboutina i Ryotaro Okazakiego daje pełną listę kwartycznych pól CM klasy 1.

Zobacz też

Notatki

Neukirch, Jürgen (1999). Algebraische Zahlentheorie . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . Tom. 322. Berlin: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8 . MR 1697859 . Zbl 0956.11021 .