Twierdzenie Brauera-Siegela

W matematyce twierdzenie Brauera-Siegela , nazwane na cześć Richarda Brauera i Carla Ludwiga Siegela , jest asymptotycznym wynikiem zachowania algebraicznych pól liczbowych , uzyskanym przez Richarda Brauera i Carla Ludwiga Siegela . Próbuje uogólnić wyniki znane z numerów klas urojonych pól kwadratowych na bardziej ogólną sekwencję pól liczbowych

${\ Displaystyle K_ {1}, K_ {2}, \ ldots. \}$

We wszystkich przypadkach innych niż wymierne pole Q i urojone pola kwadratowe, należy wziąć pod uwagę regulator R _i K i , ponieważ K _i ma wtedy jednostki nieskończonego rzędu według twierdzenia Dirichleta o _jednostkach . Ilościowa hipoteza standardowego twierdzenia Brauera-Siegela jest taka, że ​​jeśli D _i jest wyróżnikiem K _i , to

${\ Displaystyle {\ Frac {[K_ {i}: \ mathbf {Q}]} {\ log | D_ {i} |}} \ do 0 {\ tekst {jak}} i \ do \ infty.}$

Zakładając , że i hipotezę algebraiczną, że K _i jest rozszerzeniem Galois Q , wniosek jest taki, że

${\ Displaystyle {\ Frac {\ log (h_ {i} R_ {i})}} {\ log {\ sqrt {| D_ {i}|}}}} \ do 1 {\ tekst { as }}i\do \infty }$

gdzie h _i jest numerem klasy K _i . Jeśli ktoś założy $,$ że wszystkie stopnie są ograniczone powyżej jednostajną stałą N oto co jest faktycznie udowodnione w artykule Brauera.

Wynik ten jest nieskuteczny , podobnie jak wynik na polach kwadratowych, na których został zbudowany. Skuteczne rezultaty w tym kierunku zapoczątkowały prace Harolda Starka z początku lat 70.

• Richard Brauer , O funkcji Zeta algebraicznych pól liczbowych , American Journal of Mathematics 69 (1947), 243–250.